有理数概念与运算含答案

1、19/19有理数的见解与运算中考要求内容基本要求略高要求较高要求有理数理解有理数的意义会比较有理数的大小数轴能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点一一对应会用有理数表示拥有相反意义的相反数量；借助数轴理解相反数的意义，掌握相反数的性质会务实数的相反数掌握有理数的加、减、乘、除及能用有理数的运算有理数的运算理解乘方的意义乘方和简单的混淆运算（以三步解决简单问题为主）近似数、有效数字在解决实诘问题中，能按问题的认识近似数和有效数字的见解；要求对结果取近似值；能对含有和科学计数法会用科学计数法表示数较大数值的信息作出合理的解说和推测重难点1掌握有理数相关分类、数轴、相反数、近似数、有效数字和

2、科学计数法等相关见解2娴熟去括号法例，以及有理数的相关运算课前预习数学符号的由来在文明和科学的发展过程中，人类创办用符号取代语言、文字的方法，这是由于符号比语言、文字更精练、更直观、更具一般性。纵观历史，数学的发展创办了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促使了数学的发展，历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步步连续走下去，数学的每一个进步都必然陪伴着新的数学符号的产生。“”是15世纪德国数学家魏德美所创办的。它的意思是：在横线上加上一竖，表示增添“”也是德国数学家魏德美创办的。它的意思是：从加号中减去一竖，表示减少“”是18世纪美国数学家欧德莱最初使用的。它的意思是：表示增添的另一种方法，

3、因此把加好斜过来写“”是18世纪瑞士人哈纳创办的。它的含义是分解的意思，因此用一条横线把两个原点分开“=”是16世纪英国学者列科尔德创办的。列科尔德以为世界上再也没有比两条平行而相等的直线更同样了，因此用来表示两数相等。17世纪初，法国数学家笛卡尔在他的几何学中，第一次使用“”表示根号17世纪德国数学家莱布尼茨在几何学顶用“”表示相像，用“”全等。MSDC模块化分级讲义系统初中数学.有理数B级.第1讲.教师版Page1of19例题精讲模块一正负数与有理数的分类1.关于正负数的理解不可以简单理解为带“”号的数就是正数，带“”号的数就是负数。相反意义的两个量是互相的，也是相对的。掌握有理数的两种分

4、类：按“定义”分类与按“性质符号”分类正负数【例1】假如收入200元，记作200元，那么支出150元，记作【难度】1星【解析】察看用正负数表示相反意义的量【答案】150【坚固】假如水位降落3m，记作“3m”，那么“4m”表示【难度】1星【解析】察看用正负数表示相反意义的量【答案】水位上涨4m【例2】某轿车的车圈部件的半径设计标准是200mm，预计偏差0.5mm，甲工人制作的部件半径为200.4mm，乙工人制作的部件半径为199.2mm，则工人制作的产品合格【难度】1星【解析】察看用正负数表示相反意义的量【答案】甲【坚固】一名工人师傅看到加工部件外径尺寸在图纸上注明是6000.0305（单位：m

5、m），则该部件的最大尺寸为，最小尺寸为【难度】1星【解析】察看用正负数表示相反意义的量【答案】60.05mm，59.97mm有理数的分类【例3】以下说法：0是整数；负分数必然是负有理数；一个数不是整数就是负数；为有理MSDC模块化分级讲义系统初中数学.有理数B级.第1讲.教师版Page2of19数；最大的负有理数是1，正确的序号是【难度】2星【解析】察看有理数的分类【答案】【坚固】以下说法：正数、零、负数统称为有理数；正有理数、负有理数统称有理数；整数和分数统称为有理数；小数必然是有理数；0C表示没有温度，错误的序号是【难度】2星【解析】察看有理数的分类【答案】【坚固】以下说法：存在最小的自然

6、数；存在最小的正有理数；不存在最大的正有理数；存在最大的负有理数；不是正整数就不是整数，错误的序号是【难度】2星【解析】察看有理数的分类【答案】模块二数轴、相反数、倒数数形联合思想是一种重要的数学思想。数轴就是数形联合的工具。数轴是条直线，可以向双方无量延长。数轴的三因素：原点、正方向、单位长度、三者缺一不可以。全部有理数都可以用数轴上点表示，反过来，不可以说数轴上全部的点都表示有理数相反数是成对出现的，不可以独自存在。相反数和为零。?数轴【例4】数轴上与原点距离5个单位长度的点有个，它们分别表示的有理数是和【难度】1星【解析】察看数轴的相关见解【答案】2、5、5【坚固】与原点距离不大于3个单

7、位长度的点表示的整数是【难度】2星【解析】察看数轴的相关见解【答案】3、2、1、0、1、2、3MSDC模块化分级讲义系统初中数学.有理数B级.第1讲.教师版Page3of19【坚固】在数轴上，点P到表示2的点的距离是3，则点P表示的数为【难度】2星【解析】察看数轴的相关见解【答案】1或5【例5】以以下图，小明在写作业时，不慎将两滴墨水滴在数轴上，依据图中的数值，试定墨迹遮住的整数共有几个4.11014.3【难度】1星【解析】察看数轴的相关见解【答案】如图，遮住数中的整数有4、3、2、2、3、4，共有6个【坚固】数轴上表示整数的点称为整点，某条数轴的单位长度为1cm，若在数轴上随意画出一条长20

8、06cm的线段，则线段遮住的整数点共有个【难度】2星【解析】察看数轴的相关见解【答案】2006或2007相反数与倒数【例6】3的相反数是，m1的相反数是(2.4)的相反数是，(4)与互为相反数一个数的相反数是最大的负整数，则这个数是若a的相反数仍是a，则a_【难度】2星【解析】察看相反数相关见解【答案】3、1m。2.4、4。1。0【坚固】以下说法:一个数的相反数不是负数，则这个数必然是负数；一个数的相反数大于它的相反数，则这个数是正数；若“a”是正数，则“a”是负数；一个数不小于它的相反数，则这个数是正数，正确的序号有【难度】2星【解析】察看相反数相关见解【答案】MSDC模块化分级讲义系统初中

9、数学.有理数B级.第1讲.教师版Page4of19【坚固】已知(a1)与5互为相反数，则a_【难度】2星【解析】察看相反数相关见解【答案】6【坚固】已知a与b互为相反数，则2a22b的值为【难度】2星【解析】察看相反数相关见解【答案】2【例7】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x1，求abx2cdx的值【难度】3星【解析】察看相反数与倒数的相关见解【答案】解：由相反数、倒数的定义可得ab0，cd1则当x1时，原式=01110当x1时，原式=0(1)21(1)2【坚固】已知a和b互为相反数，m和n互为倒数，c(2)，求2a2bmn的值c【难度】3星【解析】察看相反数与倒数相关见解【答案】解：

10、由相反数和倒数的定义可得ab0，mn1c(2)原式mn112(ab)02c2【坚固】已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数，a和b(ab)而且A、B两点间的距离是41,求a、b4【难度】3星【解析】察看相反数相关见解【答案】解：a、b两数互为相反数ab0abMSDC模块化分级讲义系统初中数学.有理数B级.第1讲.教师版Page5of19A、B两点间距离有11ba4b(b)444b17，a1788模块三近似数、有效数字、科学记数法1.把一个大于10的数表示成a10n的形式（此中1a10）科学计数法但是一种计数方法，不对原数放大或减小从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，全部数字都

11、是这个数的有效数字若近似数后带有“十、百、千、万、亿”等数词，则按这个近似数的最后一位在原数中的地点，在原数中处哪一位，则精准到哪一位，而有效数字的个数与这个量词没关5.用科学计数法表示的近似数a10n，则看a的最后一位在原数所处的地点，是哪一位就精准到哪一位，它的有效数字就是a中的有效数字科学记数法【例8】用科学计数法表示以下各数（保存3位有效数字）43670000_521400000_5201000_【难度】1星【解析】察看科学计数法与有效数字【答案】4.37107；5.21108；5.20106【坚固】地球半径大概是6370千米，用科学计数法表示为米一双没洗的手，带有各样细菌约80000

12、万个，用科学计数法表示为个天文学里常用“光年”作为距离单位，规定1光年为光在一年内流传的距离，大概是96400亿千米，用科学计数法表示为千米一天有8.64104秒，一个月按30天计算，有秒（用科学记数法表示）地球绕太阳每小时转动经过的行程约是1.1105km，用科学计数法表示地球一天（以24小时计算）转动的行程约是kmMSDC模块化分级讲义系统初中数学.有理数B级.第1讲.教师版Page6of19【难度】2星【解析】察看科学计数法【答案】6.37106；8108；9.641012；2.592106；2.64106；近似数与有效数字【例9】小明的体重为56.029kg，请按以下要求取这个数的近似

13、数精准到百分位，有个有效数字，它们是。精准到十分位，有个有效数字，它们是。精准到个位，有个有效数字，它们是。【难度】1星【解析】察看近似数与有效数字【答案】56.03kg，4个有效数字，它们是5、6、0、3；56.0kg，3位有效数字，它们是5、6、056kg，2位有效数字，它们是5、6【坚固】以下说法近似数3.4102与近似数3400的精准度同样；近似数7千万与近似数7000万的精准度同样；近似数8.9与近似数8.90的有效数字的个数不同样样；近似数3.5万有两个有效数字，精准到十分位，说法正确的选项是【难度】2星【解析】察看近似数与有效数字【答案】【坚固】近似数3.70所表示的正确值a的范

14、围是（）A.3.695a3.705B.3.60a3.80C.3.695a3.705D.3.700a3.705【难度】2星【解析】察看近似数【答案】A【坚固】用四舍五入法按以下要求取各数的近似数小红测得数学书的长度为21.09cm（精准到0.1）某县的一个乡镇总人口为9.04104人（精准到千位）4654010（保存两位有效数字）生物学家发现一种病毒的长度为0.0000430mm（保存两位有效数字）MSDC模块化分级讲义系统初中数学.有理数B级.第1讲.教师版Page7of192.501106（精准到万位）59.98（精准到0.1）【难度】3星【解析】察看近似数与有效数字【答案】21.1cm；9

15、.0104人；4.7106；0.000043（或写成4.3105）；2.50106；60.0模块四有理数的运算在进行有理数加法运算时，优先确立符号，此后在计算绝对值，这样就不简单犯错。减法转变为加法作带分数加法时，可将整数部分与分数部分分开相加，此后再把结果相加。既有分数，又有小数时，平常把小数化成分数。有理数相乘，先确立积的符号，再确立积的绝对值；除法转变为乘法进行计算。5.要正确解答乘方运算，必然确实弄清乘方定义，它是求n个同样因数的积的运算，anan。6.(1)2n1，(1)2n11。7.带分数进行乘方运算时，一般要把带分数化为假分数，注意不可以犯以下错误：(31)291。24有理数加减

16、运算1)(171)0.75(23(0.125)(5(1)【例10】计算：(282)12)4447831.2537(2.125)(311(3.2)864)(5)441258(1)(2.4)(1(422)(23(2)1.753)(3)133534317887.214321912.79215321【难度】3星【解析】察看有理数的运算【答案】原式=28(17)1(111(1)34)41024原式=3(23)1(125)(41)=3(3)1(5)(1)(2)(12)(4)=18544878448787原式=83116347=(8)16(4)(3)13(7)=(5)(1)51444124441233MSD

17、C模块化分级讲义系统初中数学.有理数B级.第1讲.教师版Page8of19原式=(21)(31)(51)(31)=(2)5(1)1=3858588原式=(31)(22)(1)(42)=(3)(2)4(1)(2)12=135353535原式=(32)(23(12(33)21(1)(2323)=13)1)=()4(443433原式=178(87)4353(12)(0.21)(0.79)219=1752121【坚固】计算：1(2(31)(1)(5)(19992214)322000)4000(1)27563322(5.7)(1.5)(3.4)(4.2)80.811(3)10235333.125(1)(

18、1)(5.25)213.2(3)5(7)484612【难度】3星【解析】察看有理数的运算【答案】原式=4(3)(2)1(2(1(11)(17)2)=(35725原式=(2000)(1999)4000(1)(5)(2)2(1)=463323原式=(32)57(11)32(41)510255=(3)5(1)3(4)(27(12(1)10)5)=0525原式=44(21)31=(2)3(1)1=1553333原式=311(1)(51)2=3(5)211(1)(1)=0848484841357=1313577111原式=1346546=13理数加减运算解决实诘问题【例11】商

19、场新进了10箱橙子，每箱标准重量为50kg，到货后商场复秤结果以下（商场标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：0.5、0.3、0.9、0.1、0.4、0.2、0.7、0.8、0.3、0.1那么商场购进的橙子共多少千克？【难度】2星【解析】有理数加减运算【答案】(0.5)(0.3)(0.9)(0.1)(0.4)(0.2)(0.7)(0.8)(0.3)(0.1)=0.50.30.1(0.9)0.80.1(0.2)(0.7)(0.40.3)=0.7MSDC模块化分级讲义系统初中数学.有理数B级.第1讲.教师版Page9of1950100.7500.7(kg)即橙子共有500.7千克【例1

20、2】数轴的原点O上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2次反向爬2个单位长度，第3次向正方向爬3个单位长度，第4次反向爬4个单位长度，挨次规律爬下去，当它爬完第100次处在B点求O、B两点之间的距离（用单位长度表示）若点C与原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，需要多少时间才能抵达？若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过1小时蜗牛离O点多远？【难度】4星【解析】有理数加减运算【答案】1(2)3(4)99(100)50，故O、B两点之间的距离为50个单位长度分两种状况，第一种状况：点C在数轴的正半轴，察看规律可知：除掉第一次，挨次每两次联合相当于向正方向行进1米，

21、因此再经过(501)298（次）运动即可行进50米，抵达B地；用时为：(1239899)22475（分钟）第二种状况：点C在数轴的负半轴，察看规律可知，每两次联合相当于向负半轴行进1米，故经过100次运动即可行进50米，抵达B地，用时为：(12100)22525（分钟）设第n次运动时，正好60分钟，那么有123456n602222222因此n15，此时它离A点：1234561314158（米）【坚固】A市的出租车无起步价，每公里收费2元，不足1公里的按1公里计价，9月4号上午A市某出租司机在南北大道上载人，其承载乘客的里程记录为：2.3、7.2、6.1、8、1.8（单位：9.3公里，向北行驶记

22、为正，向南行驶记为负），车每公里耗油0.1升，每升油4元，那么他这一上午的净收入是多少元？他最后距离出发点多远？【难度】3星【解析】有理数加减运算【答案】由于每公里收费2元，且不足1公里的按1公里计算(元)因此出租车司机的收入为收入：(3878102)276出租车所行驶的行程为2.37.26.189.31.834.7公里汽油成本：34.70.1413.88（元），收入7613.8862.12（元）.他最后距离出发点的距离：2.3(7.2)(6.1)89.3(1.8)4.5（公里）答：净收入为76元，最后距离出发点4.5公里【坚固】电子跳蚤在数轴上的某一点K0，第一步K0向左跳1个单位到点K1，

23、第二步由点K1向右跳2个单位到点K2，第三步有点K2向左跳3个单位到点K3，第四步由点K3向右跳4个单位到点K4，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰巧是19.94求电子跳蚤的初始地点点K0所表示的数MSDC模块化分级讲义系统初中数学.有理数B级.第1讲.教师版Page10of19【难度】4星【解析】察看有理数的运算【答案】假定电子跳蚤的起点K0为x0，规定向左为负，向右为正，依据题意可得：x01234569910019.94解得x030.06因此电子跳蚤初始地点点K0所表示的数为30.06有理数乘除运算【例13】计算：6(1(1(6)(0.25)1173)2)

24、143324254(10110.05)1554【难度】3星【解析】察看有理数的运算【答案】原式=(6)(10)(3)=6073749原式=(6)411=1327原式=3425=170153原式=4514454111(104)=()10(5)()=81()7520545202525【坚固】计算：21(71)0435(2.4)3(8)3(1)0.565162.25(2.3)331(3181)8(24)258832525712(5)(712)8712(3)20.25(3(1713171)0.253737(85)(1)(1)(377)(7)254481282(19)(3)2(5(371241)1)37

25、682.44(2.4)4326326511)(1)87(120.6)(3)1(3101001000MSDC模块化分级讲义系统初中数学.有理数B级.第1讲.教师版Page11of1971(1)(131511)312)14(9535(1212)6(42)315(15)3229183(3)5(576)3【难度】3星【解析】察看有理数的运算【答案】原式=0原式=5(12)3=66555原式=831=31624原式=9(23)3621410251000原式=25(2525)8(24)=(2525)(24)=38=588325258325原式=712(5)8(3)71200原式=17(21)0.25(13

26、)3=171(1)=163337744原式=(85)(25)(4)8500原式=(377)(8)=3(8)7(8)7(8)=612=174812747871277321原式=38(1)(3)=131942原式=95(8)7=607()11611原式=(2.4)414162.4原式=325321=32(51)=326666原式=110(100)1000106原式=87(1231873(1871362883)()=5)=()=(8)()=533555原式=71(1914493)=6123原式=1535(15225(15)=15)22原式=5(152)6=5215126=561=13262565MS

27、DC模块化分级讲义系统初中数学.有理数B级.第1讲.教师版Page12of19原式=(42)25(18)=12(2)=(12)2=1117915333原式=3(7)5(3)=73652模块五有理数的大小比较1数轴法：利用数轴比较有理数的大小，数轴右边的数永久大于它左边的数2正数都大于0；负数都小于0；正数大于全部负数；两个负数，绝对值大的反而小数轴法【例14】在数轴上表示以下各数，再按大小次序用“”号连结起来.4，0，4.5，11，2，3.5，1，2122【难度】1星【解析】数轴法进行有理数大小比较【答案】先画出数轴，在数轴上方注明所求数（如图下所示）依据数轴上的大小次序，按从左到右挨次用“”

28、号连结起来.11-12223.5-4.5-4201-5-4-3-2-101234即:4.5410122113.522【坚固】已知有理数a与b在数轴上的地点以以下图：判断a，b，a，b的大小并用“”连结.b0a【难度】2星【解析】数轴进行有理数大小比较【答案】如右图b-a0a-b答案：baab.【坚固】三个有理数a、b、c在数轴上的地点以以下图，则（）cba111111ABcacbabbccaba111111CDcababcabacbc【难度】3星【解析】数轴法进行有理数大小比较【答案】由图可见cba，因此0abacMSDC模块化分级讲义系统初中数学.有理数B级.第1讲.教师版Page13of1

29、90bcac，由此011caab011，由有011acbcabac故111选择Bbccaba特别值法特别值法的合用范围：选择题，填空题【例15】已知0 x1，则x2，x，1的大小关系是什么？【难度】2星x【解析】特别值法【答案】0 x1令x1则x21，12112，则x2x124x42x【坚固】假如1a0，请用“”将a，a，a2，a2，1，1连结起来.【难度】2星aa【解析】特别值法【答案】1a0令a1则a1，a21，a21，12，122244aa211112则1aa2a2a12442aa【例16】设ma2，na1，paa，若a3,则（）a3a21A.mnpB.npmC.pnmD.pmn【难度】

30、2星【解析】特别值法【答案】a3令a4，m2，n3，p4，432pnm，应选C2332【坚固】设a0bc，abc1，mbc，nac，pab，则m，n，p之间的关系为（）abcAmpnBnpmCpmnDpnm【难度】2星【解析】特别值法【答案】a0bc，abc1令a4，b1，c2m3，n2，p342233npm应选A24MSDC模块化分级讲义系统初中数学.有理数B级.第1讲.教师版Page14of19模块六有理数的混淆运算有理数混淆运算，应注意以下几点：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；若有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号的次序挨次进行适合地运用互换律，联合律、分

31、派率有时可以使计算简单进行分数的乘除运算时，一般要把带分数化为假分数，把除法转变为乘法进行有理数混淆运算时易错点有：符号错误；如(2)24，224等；运算次序发生错误，如213212等；3知识理解错误，如36；2去括号法例，如2(212221)41522【例17】计算(1)(2112)计算33(1)0.4(5)2(5)24(1)11【难度】2星30310654423【解析】有理数混淆运算【答案】解：原式=(1203512(1101)(3030)30)1030303030原式=15(4)225(3)16(1)4545=(15)5316(1)()25=(15)(3)5(3)16(1)525=(93

32、16)(1)2=(17(1)17)22521171132【坚固】计算()11.256()(10)714842122(3)2(2)3(9)23332134(15()(6.5)(2)2)24【难度】2星MSDC模块化分级讲义系统初中数学.有理数B级.第1讲.教师版Page15of19【解析】有理数的混淆运算【答案】解：原式=(252575)25(1)10049148448=(251475)25(8)1004925844=(15)25(8)100444=(1)25(8)1004=1001000原式=1449(8)8127=1441(8)81271283=131原式=9(13)4161421332=91222讲堂检测12的相反数的绝对值的倒数是3【难度】1星【解析】相反数、绝对值、倒数相关见解【答案】322“神舟”五号载人飞船的成功发射，标记住我国发射围绕月球的探测卫星的条件已渐趋成熟，月球距地球380000km，用科学计数法表示为m【难度】2星【解析】科学计数法【答案】3.8108m3把60983四舍五入成2个有效数字的是【难度】2星【解析】有效数字与科学记数法MSDC模块化分级讲义系统初中数学.有理数B级.第1讲.教师版Pag