高中数学 映射与函数

1、高中数学 映射与函数第1页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四 （2）象和原象：给定一个集合A到集合B的映射， 且aA，bB，如果元素a和元素b对应，那么， 我们把元素b叫做元素a的 ，元素a叫做元素 b的 .2.函数 （1）函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关 系f，使对于集合A中的 ，在集合B中 都有 ，称f：AB为 从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),xA.x 的取值范围A叫做函数的 ， 叫做函数的值域.象原象任意一个数x唯一确定的数f(x)和它对应定义域函数值的集合f(x)|xA第2页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四

2、 （2）函数的三要素 、 和 . （3）函数的表示法 表示函数的常用方法： 、 、 .3.反函数 （1）定义 函数y=f(x)（xA）中，设它的值域为C，根据这 个函数中x，y的关系，用y把x表示出来，得到x= (y).如果对于y在C中的 ，通过x= (y)，x在A中都有 和它对应，那么, x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这定义域值域对应法则解析法列表法图象法任何一个值唯一的值第3页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四样的函数x=(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的 ，记作 ，习惯上用x表示自变量，用y表示函数，把它改写成 .（2）互为反函数的函数图象

3、的关系函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线 对称.反函数x=f -1(y)y=f -1(x)y=x第4页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四基础自测1.设集合M=x|0 x2，N=y|0y2，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的 有（） A. B. C. D.解析 由映射的定义，要求函数在定义域上都有图象，并且一个x对应着一个y，据此排除，选C.D第5页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四2.给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射； f（x）= 是函数； 函数y=2x（xN）的图象是一条直线； f（x）= 与

4、g(x)=x是同一个函数. 其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析 由函数的定义知正确.满足f（x）= 的x不存在，不正确.又y=2x（xN)的图象是一条直线上的一群孤立的 点，不正确. 又f（x）与g（x）的定义域不同，也不正确. A第6页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四3.下列各组函数是同一函数的是 （）第7页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四解析 排除A； 排除B；当 即x1时,y=|x|+|x-1|=2x-1,排除C.故选D. 答案 D 第8页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四4.函数f(x)=3x+5,

5、x0,1的反函数f-1(x)= . 解析 y=3x+5, 又0 x1,5y8, f(x)的反函数为y第9页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四5.已知f（ ）=x2+5x,则f(x)= . 解析第10页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四题型一 求函数的解析式【例1】 （1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为 ，求f(x)的解析式；（2）已知（3）已知f(x)满足2f(x)+ =3x,求f(x). 问题（1）由题设f（x）为二次函数， 故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解； 问题（2）已

6、知条件是一复合函数的解析式，因此 可用换元法；问题（3）已知条件中含x， ，可用 解方程组法求解. 题型分类 深度剖析思维启迪第11页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四解 （1）f（x）为二次函数，设f(x)=ax2+bx+c (a0)，且f(x)=0的两根为x1,x2.由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0.由已知得c=1.由、式解得b=2,a= ,c=1,f（x）= x2+2x+1.第12页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四第13页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四第14页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星

7、期四探究提高 求函数解析式的常用方法有：(1)代入法，用g(x)代入f(x)中的x,即得到fg(x)的解析式；(2)拼凑法，对fg(x)的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,代入 fg(x)，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式. 第15页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四知能迁移1 （1）已知f( +1)=lg x，求f（x）；(2)已知f（x）是一次

8、函数，且满足3f（x+1）-2f(x-1)=2x+17，求f（x）.解 (1) （2）设f（x）=ax+b（a0），则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，a=2，b=7，故f（x）=2x+7.第16页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四题型二 分段函数【例2】设函数f(x)= 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x解的个数为（）A.1 B.2C.3D.4 求方程f(x)=x的解的个数，先用待定系数法求f（x）的解析式，再用数形结合或解方程. 思维启迪第17页，共44页，2022年，5

9、月20日，8点55分，星期四解析 由f(-4)=f(0),得b=4,再由f(-2)=-2,得c=2,x0时，显然x=2是方程f(x)=x的解；x0时，方程f（x）=x即为x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2.综上，方程f（x）=x解的个数为3.答案 C 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，关键要抓住在不同的分段内研究问题.如本例，需分x0时，f（x）=x的解的个数和x0时，f（x）=x的解的个数.探究提高第18页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四知能迁移2 （2009山东理，10）定义在R上的函数f(x)满足则f(2 009)的值为（）A.-1 B.0 C

10、.1D.2 解析 当x0时，f(x)=f(x-1)-f(x-2), f(x+1)=f(x)-f(x-1). f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x) f(x+6)=f(x). 即当x0时，函数f(x)的周期是6. 又f(2 009)=f(3346+5)=f(5), 由已知得f(-1)=log2 2=1，f(0)=0,f(1)=f(0)- f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1- (-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1.C第19页，共44页，2022年，5月20日，8点55分

11、，星期四题型三 函数的实际应用【例3】 （12分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托 车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年 销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高 产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增 加的比例为x(0 x1)，则出厂价相应提高的比例为 0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年 利润=(出厂价-投入成本)年销售量. （1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例 x的关系式；第20页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 准确理解

12、题意，构建函数模型.解题示范解 （1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x(万元)，而出厂价为1.2(1+0.75x) (万元)，销售量为1 000(1+0.6x) (辆).故利润y=1.2(1+0.75x)-(1+x)1 000(1+0.6x),4分整理得y=-60 x2+20 x+200 (0 x0, 8分即-60 x2+20 x+200-2000,即3x2-x0.10分解得0 x ,适合0 x1.故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围是0 x0,且a1)的反函数，且f(2)=1,则 f(x)= （ ） A. B.2x-2 C. D.log2x 解析 函数y=a

13、x(a0,且a1)的反函数是 f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1，所以a=2, 故f(x)=log2x.D第32页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四4.（2008山东）设函数 的值为（） 解析A第33页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四5.（2008陕西）定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)= f(x)+f(y)+2xy(x,yR),f(1)=2,则f(-3)等于（ ）A.2 B.3C.6D.9 解析 f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+201=f(0)+f(1),f(0)=0.f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1

14、)+2(-1)1=f(-1)+f(1)-2,f(-1)=0.f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2(-2)1=f(-2)+f(1)-4,f(-2)=2.f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2(-3)1=f(-3)+f(1)-6,f(-3)=6. C第34页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四6.函数f(x)=x2-2ax-3在区间1,2上存在反函数的 充要条件是（ ） A.a(-,1 B.a2,+) C.a1,2 D.a(-,12,+) 解析 由二次函数的对称轴为x=a可得答案.D第35页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四二、填

15、空题7.某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米 以内为起步价8元（即行程不超过3千米，一律收费8元），若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是 元. 解析 车费为8+（7.4-3）1.5=14.615（元）. 15第36页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四8.（2009北京文，12）已知函数若f(x)=2,则x= .解析 当x1时，3x=2,x=log32;当x1时，-x=2,x=-2(舍去). log32第37页，共44页，2022年，5月20日，8

16、点55分，星期四9.已知符号函数sgn x= 解析(x+1)sgn x2的解集是 .x|x1则不等式第38页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四三、解答题10.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)=x2+2x. （1）求g(x)的解析式； （2）解不等式g(x)f(x)-|x-1|. 解 （1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x0，y0) 关于原点的对称点为P（x，y）， 第39页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四点Q（x0,y0）在函数y=f(x)的图象上，-y=x2-2x，即y=-x2+2x,故g(x)=-x2+2x.（2）由

17、g(x)f(x)-|x-1|可得:2x2-|x-1|0.当x1时，2x2-x+10,此时不等式无解.当x1时，2x2+x-10,因此，原不等式的解集为第40页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四11.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金 为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元. （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出 多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司 的月收益最大？最大月收益是多少？第41页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四解 （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为 ，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月所以,当x=4 050时,f(x)最大,最大值为f(4 050)=307 050. 即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元. 第42页，共44页，2022年，5月20日，8点55分，星期四12.已