学年高中数学第二章圆锥曲线与方程242抛物线的几何性质作业苏教版选修1-1

1、2.4.2 抛物线的几何性质 基础达标 1设抛物线 y 2mx的准线与直线 x1 的距离为 3,就抛物线的方程为 _解析：当 m0 时,准线方程为 xm 4 2,m8,此时抛物线方程为 y 28x；当 m0 的焦点, A 是抛物线上的一点,与 x轴正向的夹角为 60 ,就 | OA| _. 解析：如图,过 A 作 ADx 轴于 D. 在 Rt AFD中, AFD60 .令 FDm,就 FA2m. AD3m. 依据抛物线的定义可知pm2m. mp. | OA| OD 2AD 2p 2p23p221 2p. 3,就 M到该抛物线焦点的距答案：21 2pO的距离为4如抛物线y22x 上的一点M到坐标

2、原点离为 _y 22x解析：依题意,设点M x,y ,其中 x0,就有x 2y 23,由此解得x1,又该x0抛物线的准线方程为x1 2,结合抛物线的定义, 点 M到该抛物线的焦点的距离等于11 232. 答案：325直线 yx3 与抛物线 y 24x 交于 A,B 两点,过 A,B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 P,Q,就梯形 APQB的面积为 _解析：直线 yx3 与抛物线 y 24x 交于 A,B 两点,过 A,B 两点向抛物线的准线作y 2 4x垂线,垂足分别为 P,Q,联立方程组得,消元得 x 210 x90,yx3x1 x9解得,和, AP10,BQ2,PQ8,y 2 y6梯

3、形 APQB的面积为 48. 答案： 48 6. 如图,圆形花坛水池中心有一喷泉,水管 OP 1 m,水从喷头 P 喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,如最高点距水面 2 m,P 距抛物线对称轴 1 m,就为使水不落到池外,水池直径最小为 _m. 解析： 如图, 建立平面直角坐标系,设抛物线方程为 x 2 2py p0 ,就 P 1,1 ,代入抛物线方程得p1 2,抛物线 x 2 y,代入点 x, 2 ,得 x2,即水池半径最小为r 1 2m,水池直径最小为2r 2 22m. 答案： 222 7已知抛物线的焦点F 在 x 轴上,直线l 过点 F且垂直于x 轴, l 与抛物线交于A、B两点,

4、 O为坐标原点,如OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程解：由题意,抛物线方程为y 22px p 0 ,焦点 F p 2,0 ,直线 l ： xp 2,A、B 两点坐标为p 2,p ,p 2, p ,AB2| p|. OAB的面积为 4,1 2p 2 2| p| 4, p 22. 2x. 抛物线的标准方程为y2 48. 如图,过抛物线 y2x 上一点 A4,2 作倾斜角互补的两条直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证：直线BC的斜率是定值证明：设 kABk k 0 ,直线 AB, AC的倾斜角互补,kAC k k 0 ,直线 AB的方程是 yk x4 2. yk x42,由方程组 消去 y

5、 后,整理得y 2x,k 2x 2 8k 24k1 x16k 216k40. A4,2 ,B xB,yB 是上述方程组的解4xB16k 216k 4k 2,即 xB4k 24k1k 2,4k 24k1以 k 代换 xB中的 k,得 xCk 2,kBCyByC xBxCk xB42 kxB xC xC428k 2 2k xBxC8xBxCk8k k 281 4,2k直线 BC的斜率为定值 才能提升 1等腰直角三角形 OAB内接于抛物线 y 22px p0 ,O是抛物线的顶点,OAOB,就 OAB的面积为 _解析：设等腰直角三角形 OAB的顶点 A x1,y1 、B x2,y2 ,就 y212px

6、1,y222px2,2 2 2 2由 OAOB,就 x 1y 1x 2y 2,2 2x 1x 22px12px20,即 x1 x2 x1 x2 2p 0,x10,x20,2 p0,x1x2,即 A、B 关于 x 轴对称故直线 OA的方程为： yxtan 45 ,即 yx. y 22px x0 x2p由,解得, 舍 或,故 AB4p,yx y0 y2p1等腰三角形 OAB的面积为 2 2 p 4 p4p 2. 2答案： 4p2对于顶点在原点的抛物线,给出以下条件：焦点在 y 轴上；焦点在 x 轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；抛物线的通径的长为 5；由原点向过焦点的某条直线作

7、垂线,垂足坐标为 2,1 其中能得出抛物线方程为 y 2 10 x 的条件是 _ 要求填写合适条件的序号 解析：在两个条件中,应挑选,就由题意,可设抛物线方程为 y 22px p0 ；对于,由焦半径公式 r 1p 26, p 10,此时 y 2 20 x,不符合条件；对于, 2p 5,此时 y 25x,不符合题意；p 1 10对于,设焦点为 2,0 ,就由题意,满意 22p 1. 2解得 p5,此时 y 210 x,所以能使抛物线方程为 y 210 x. 答案：3某河上有座抛物线形拱桥,当水面距顶5 m时,水面宽为8 m,一木船宽4 m高 2 m,载货后木船露在水面上的部分高为 航？3 4 m

8、,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开头不能通解：如下列图建立直角坐标系xOy,设抛物线方程为x2 2py p0 ,过点 4 , 5 ,16 2p 5 , 2p16 5,抛物线方程为x 216 5y,x2 时, y5 4,OAOB,求证：直线AB相距为3 45 42 时不能通行4 创新题 A,B 为抛物线 y22px p0 上两点, O为原点,如过定点证明：设 A x1,y1 、B x2,y2 ,就 y2 212px1, y 2 2px2. 由于 OAOB,所以 x1x2y1y20,就 y 1y 22px1 2 px24p 2x1x2 4p 2y1y2,2 2所以 y1y2 4p 2. 2 2由于 y 2y 1 y2y1 y2y1 2px2x1 ,如 x1 x2,就y2y1 x2x12p y1y2,所以直线 AB的方程为 yy12p y1 y2 xx1 2 由于 y 12px1,所以 yy12 y1y2x y 2p,1所以 y2px y1y22 y 1y1y2y12px y1y2y1y2 y1y22p y1y2 x2p