高数微积分中值定理和导数应用

1、高数微积分中值定理和导数应用课件第1页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四第三章中值定理与导数的应用 中值定理 洛必达法则泰勒公式导数的应用第2页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四中值定理 第 一 节学习重点理解罗尔定理掌握拉格朗日中值定理及其推论第3页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四 微分中值定理包括：罗尔( Rolle )定理、拉格朗日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理3.1 中 值 定 理 微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种微分

2、性质。 微分中值定理是微分学的理论基础。是利用导数研究函数性质的理论依据。第4页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四一、费尔马 ( Fermat )引理（1）极值(局部最值)的定义：则称函数 (或极小值), 并称 为 极值未必是函数 在 上的最大值,极值只是局部最大的.第5页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四第6页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四（2）费尔马(Fermat)引理(极值必要条件)证明:第7页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四第8页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四说明:称

3、使 的点 为函数 的驻点二、罗尔(Rolle)定理第9页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四怎样证明罗尔定理 ？ 想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理！第10页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四证明:第11页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四三、拉格朗日(Lagrange )定理第12页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四怎样证明拉格朗日定理 ？拉格朗日定理若添加条件: 则为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件: 则推广为拉格朗日定理。 知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的新问题转化为已掌握的老问题。因此想到利用

4、罗尔定理！第13页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四满足罗尔定理条件弦线与f(x)在端点处相等设所以函数第14页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四证明：构造辅助函数第15页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四拉格朗日公式各种形式第16页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四有限增量公式微小增量公式第17页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四推论1：证拉格朗日中值定理的推论第18页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四推论2：推论3：推论4：第19页，共33页，2022年，5月

5、20日，20点49分，星期四四、柯西 (Cauchy )定理第20页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四证明：构造辅助函数第21页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四拉格朗日定理罗尔定理柯西定理第22页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四例1. 设函数 f (x) = (x1)(x2)(x3), 试判断方程 f x 有几个实根, 分别在何区间?解: 因为 f (1)= f (2)= f (3), 且f (x)在1, 2上连续,在(1,2)内可导, 由罗尔定理, 1(1, 2),使 f(1;同理, 2, , 使 f (2;又因f (x是

6、二次方程, 至多两个实根,故f (x有两个实根, 分别位于(1,2) 和(2,3)内.第23页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四例. 设 f (x) = x2 + x. 在1, 1上验证拉格朗日中值定理的正确性.解: (1) f (x) = x2 + x在1, 1上连续, 在(1, 1)内可导.(2)看是否存在(1,1), 使得f (1)f (1)=f () 2即 2(2 +1) = 20或 4 = 0. = 0 (1,1). 故 = 0 (1,1), 使得f (1)f (1)=f () 2.第24页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四例. 证明 当x

7、 0时, 证: 改写原式,(利用公式证不等式时, 往往要把待证式中的一部分写成的形式, 以便构造函数 f (x).)第25页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四所以, 记 f (t) = ln(1+t), 知f (t)在0, x上满足拉格朗日中值定理的条件.且因故第26页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四证在 内可导，且 . 设 ，显然 在 上连续;即第27页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四例5. 设 f (x)在(, +)内可导. f (0)=0. 证明 (, +), 使得 2f () f () = 32 f 2(1)证: 这一类问题, 往往可考虑用中值定理解决.变形.注意到,第28页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四左端, 从而, 待证式为故, 记F(x) = f 2(x), g(x) = x3在0, 1上连续, 在(0,1)内可导.由柯西中值定理, (0, 1), 使得第29页，共33页，2022年，5月20日，20点49分，星期四证思考题第30页，共33页，2022年，5月20日