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文档简介

二、二维随机变量函数的密度函数 如果二维连续型随机变量X, Y的函数 是一维连续型随机变量. 已知X, Y的联合密度函数.如何求其函数 的密度函数?5个步骤与一维时类似.例1 设 与 独立, 且都服从参数为1的指数分布, 记试求 的密度函数试证 服从参数为2的指数分布.解 由已知条件, 得随机变量 及 的分布函数分别为 的分布函数:所以相应的密度为所以:即: 服从参数为2的指数分布.一般情况下，若是相应的密度函数. 求的分布解:两边对u求导得:同理:两边对v求导得:例2 设 为二维随机变量, 且服从区域 上的均匀分布, 其中记:求 的联合分布.解 由条件知: 随机变量 的联合密度函数为其它.则:注意到 只有四个取值, 相应的概率为:所以:所以, 联合分布为.例3 p80 3.14方法一 见书.方法二 补充公式:若则: 套用公式方法三 用卷积公式一般, 已知X, Y的联合密度函数为 则 的密度函数为 当X, Y相互独立时, 可以得到卷积公式:定理3.9 （正态分布可加性）设X与Y相互独立. 当 则可以推广到有限个相互独立的正态随机变量之和.证明: 由卷积公式将指数部分展开关于x配方, 凑成一个正态密度函数, 使广义积分等于1. 最终整理得:即:例4 已知X与Y相互独立. 其中k, l不同时为0.求Z的分布.解: 由定理3.8又X与Y相互独立, 所以kX与lY+c也相互独立.由定

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