函数模型及其应用 高考数学专题复习要点及习题解答

1、函数模型及其应用1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)eq f(k,x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)2.三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随

2、x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn1，)当t1时，由y4得k4，由eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)1a4得a3.所以yeq blcrc (avs4alco1(4t，0t1，,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)t3，t1.)(2)由y0.25得eq blcrc (avs4alco1(0t1，,4t0.25)或eq blcrc (avs4alco1(t1，,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)t30.25，)解得eq f(1,16)t5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5eq f(1,

3、16)eq f(79,16)(小时)由题悟法解决分段函数模型问题的3个注意点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏；(3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)即时应用国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元(1)写出飞机票的

4、价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解：(1)设旅行团人数为x人，由题得0 x75(xN*)飞机票价格为y元，则yeq blcrc (avs4alco1(900， 0 x30，,90010 x30，30 x75，)即yeq blcrc (avs4alco1(900， 0 x30，,1 20010 x，30 x75.)(2)设旅行社获利S元，则Seq blcrc (avs4alco1(900 x15 000，0 x30，,x1 20010 x15 000，30 x75，)即Seq blcrc (avs4alco1(900 x15 000，0 x30，,10 x602

5、21 000，30 x75.)因为S900 x15 000在区间(0,30上为单调增函数，故当x30时，S取最大值12 000元，又S10(x60)221 000在区间(30,75上，当x60时，取得最大值21 000.故当x60时，旅行社可获得最大利润一抓基础，多练小题做到眼疾手快1小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是()解析：选C出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.2(2015北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加

6、油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A6升B8升C10升 D12升解析：选B因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 60035 000600(千米)，故每100千米平均耗油量为4868(升)3已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为()A800米 B900米C1 000米 D1 200米解析：选A设这个广场的长为x米，则宽为eq f(40 000,x)米所以其周长为l2

7、eq blc(rc)(avs4alco1(xf(40 000,x)800，当且仅当x200时取等号4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为()A3 B4C5 D6解析：选C由题图，易求得y与x的关系式为y(x6)211，则eq f(y,x)12eq blc(rc)(avs4alco1(xf(25,x)12102，eq f(y,x)有最大值2，此时x5.5(2016辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿

8、，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t内的路程为seq f(1,2)t2米，那么，此人()A可在7秒内追上汽车B可在9秒内追上汽车C不能追上汽车，但期间最近距离为14米D不能追上汽车，但期间最近距离为7米解析：选D已知seq f(1,2)t2，车与人的间距d(s25)6teq f(1,2)t26t25eq f(1,2)(t6)27.当t6时，d取得最小值7.二保高考，全练题型做到高考达标1某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A118元 B105元C106元 D108元解析：选D设进货价为a元，由题意

9、知132(110%)a10%a，解得a108.2某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件()A100元 B110元C150元 D190元解析：选D设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y(1 0005x)(20 x)5x2900 x20 0005(x90)260 500.故当x90时，ymax60 500，此时售价为每件190元3(2016北京朝阳统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)公司决定从原有员工中分流x(0

10、x100，xN*)人去进行新开发的产品B的生产分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A15 B16C17 D18解析：选B由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100 x)(11.2x%)t，则由eq blcrc (avs4alco1(0 x100，xN*，,100 x11.2x%t100t，)解得00)则当年广告费投入_万元时，该公司的年利润最大解析：由题意得Leq f(51,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(8,x)eq f

11、(43,2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(r(x)f(4,r(x)2(x0)当eq r(x)eq f(4,r(x)0，即x4时，L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大答案：47.某人根据经验绘制了2015年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿_千克解析：前10天满足一次函数关系，设为ykxb，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得eq blcrc (avs4alco1(10kb，,3010kb，)解得keq f(20,

12、9)，beq f(70,9)，所以yeq f(20,9)xeq f(70,9)，则当x6时，yeq f(190,9).答案：eq f(190,9)8某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_解析：由题意知七月份的销售额为500(1x%)，八月份的销售额为500(1x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 8605002500(1x%)500(1x%)2，根据题意有3 8605002500(1x%)

13、500(1x%)27 000，即25(1x%)25(1x%)266，令t1x%，则25t225t660，解得teq f(6,5)或teq f(11,5)(舍去)，故1x%eq f(6,5)，解得x20.故x的最小值为20.答案：209.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE4米，CD6米为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上(1)设MPx米，PNy米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值解：(1)作PQAF于Q，所以PQ(8y)米，EQ(x4)米又EPQEDF，所以eq f(EQ,PQ)eq

14、 f(EF,FD)，即eq f(x4,8y)eq f(4,2).所以yeq f(1,2)x10，定义域为x|4x8(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，则S(x)xyxeq blc(rc)(avs4alco1(10f(x,2)eq f(1,2)(x10)250，S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x10，所以当x4,8时，S(x)单调递增所以当x8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米10一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq f(1,4)，已知到今

15、年为止，森林剩余面积为原来的eq f(r(2),2).(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0 x1)则a(1x)10eq f(1,2)a，即(1x)10eq f(1,2)，解得x1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2).即每年砍伐面积的百分比为1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2).(2)设经过m年剩余面积为原来的eq f(r(2),2)，则a(1x)meq f(r(2),2)a，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq blc(rc)(a

16、vs4alco1(f(1,2)，所以eq f(m,10)eq f(1,2)，解得m5.故到今年为止，已砍伐了5年(3)设从今年开始，最多还能砍伐n年，则n年后剩余面积为eq f(r(2),2)a(1x)n.令eq f(r(2),2)a(1x)neq f(1,4)a，即(1x)neq f(r(2),4)，所以eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，即eq f(n,10)eq f(3,2)，解得n15.故今后最多还能砍伐15年三上台阶，自主选做志在冲刺名校1某商品在最近100天内的单价f(t)与时间t的函数关系是f(t)eq b

17、lcrc (avs4alco1(f(t,4)22，0t40，tN，,f(t,2)52，40t100，tN，)日销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)eq f(t,3)eq f(109,3)(0t100，tN)则这种商品的日销售额的最大值为_解析：由题意知日销售额为s(t)f(t)g(t)，当0t100，最大值为s(40)736.综上，这种商品日销售额s(t)的最大值为808.5.答案：808.52有一种新型的洗衣液，去污速度特别快已知每投放k(1k4，且kR)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为ykf(x)，其中f(x)

18、eq blcrc (avs4alco1(f(24,8x)1，0 x4，,7f(1,2)x，4x14.)若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用(1)若只投放一次k个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k的值；(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由解：(1)由题意知keq blc(rc)(avs4alco1(f(24

19、,82)1)3，k1.(2)因为k4，所以yeq blcrc (avs4alco1(f(96,8x)4，0 x4，,282x，4x14.)当0 x4时，由eq f(96,8x)44，解得4x8，所以0 x4.当4x14时，由282x4，解得x12，所以44，所以在第12分钟时洗衣液还能起到有效去污的作用eq blc rc (avs4alco1(命题点一基本初等函数,难度：中、低)eq blc rc (avs4alco1(命题指数：,题型：选择题、填空题)1(2015山东高考)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()AabcBacbCbac Dbca解析：选

20、C因为函数y0.6x是减函数，00.60.60.60.61.5，即ba1.因为函数yx0.6在(0，)上是增函数，110.61，即c1.综上，baf(1)，则()Aa0,4ab0 Ba0,2ab0 Daf(1)且f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数f(x)在(，2上单调递减，则抛物线开口方向朝上，知a0，故选A.3(2014浙江高考)在同一直角坐标系中，函数f(x)xa(x0)，g(x)logax的图象可能是()解析：选D当a1时，函数f(x)xa(x0)单调递增，函数g(x)logax单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0a0)单调递增，函数g(x)logax单调递减

21、，且过点(1,0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知B错，因此选D.4(2015陕西高考)设f(x)ln x,0ab，若pf(eq r(ab)，qf eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)，req f(1,2)(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp BprqCqrp Dprq解析：选B因为ba0，故eq f(ab,2)eq r(ab).又f(x)ln x(x0)为增函数，所以feq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)f(eq r(ab)，即qp.又req f(1,2)(f(a)f(b)eq f(1,2)(ln aln b)lneq r(ab)p

22、，即prq.5(2015山东高考)若函数f(x)eq f(2x1,2xa)是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为()A(，1) B(1,0)C(0,1) D(1，)解析：选C因为函数yf(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，即eq f(2x1,2xa)eq f(2x1,2xa).化简可得a1，则eq f(2x1,2x1)3，即eq f(2x1,2x1)30，即eq f(2x132x1,2x1)0，故不等式可化为eq f(2x2,2x1)0，即12x2，解得0 x1，故选C.6(2015天津高考)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(

23、log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BacbCcab Dcba解析：选C由f(x)2|xm|1是偶函数可知m0，所以f(x)2|x|1.所以af(log0.53)2|log0.53|12log2312，bf(log25)2|log25|12log2514，cf(0)2|0|10，所以ca0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.解析：当a1时，函数f(x)axb在eq blcrc(avs4alco1(1，0)上为增函数，由题意得eq blcrc (avs4alco1(a1b1，,a0b0)无解当0a0，b0，ab8，则当a的值为_时，log2alog2(2b)

24、取得最大值解析：由于a0，b0，ab8，所以beq f(8,a).所以log2alog2(2b)log2alog2eq blc(rc)(avs4alco1(f(16,a)log2a(4log2a)(log2a2)24，当且仅当log2a2，即a4时，log2alog2(2b)取得最大值4.答案：411(2015福建高考)若函数f(x)2|xa|(aR)满足f(1x)f(1x)，且f(x)在m，)上单调递增，则实数m的最小值等于_解析：因为f(x)2|xa|，所以f(x)的图象关于直线xa对称又由f(1x)f(1x)，知f(x)的图象关于直线x1对称，故a1，且f(x)的增区间是eq blcrc

25、)(avs4alco1(1，)，由函数f(x)在eq blcrc)(avs4alco1(m，)上单调递增，知eq blcrc)(avs4alco1(m，)eq blcrc)(avs4alco1(1，)，所以m1，故m的最小值为1.答案：1eq blc rc (avs4alco1(命题点二函数与方程,难度：高、中)eq blc rc (avs4alco1(命题指数：,题型：选择题、填空题)1(2014湖北高考)已知f(x) 是定义在 R上的奇函数，当x0 时， f(x)x23x. 则函数g(x)f(x)x3 的零点的集合为()A1,3 B3，1,1,3 C2eq r(7)，1,3 D2eq r(

26、7)，1,3解析：选D当x0时，函数g(x)的零点即方程f(x)x3的根，由x23xx3，解得x1或3；当x0，f(2)3log2220，f(4)eq f(3,2)log24eq f(1,2)0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C.3(2015湖南高考)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_解析：由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示，则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点答案：(0,2)4(2015湖北高考)函数f(x)2sin xsineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)x2的零点个数为_解析：f(x)2sin xsineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,2)x22sin xcos xx2sin 2xx2，由f(x