高考数学复习点拔：空间几何体

1、10/102019年高考数学复习点拔：空间几何体空间几何体常见易错题、典型陷阱题精讲1.一个由半球和四棱锥组成的几何体 ,其三视图如下图 ,那么该几何体的体积为A.B.C.D.1答案C2.封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球 ,假设ABBC ,AB6 ,BC8 ,AA13 ,那么V的最大值是A.4B.C.6D.答案B解析由题意知 ,底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3 ,所以球的最大直径为3 ,V的最大值为。3.在梯形ABCD中 ,ABC ,ADBC ,BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A.B. C. D.2答案C

2、解析过点C作CE垂直AD所在直线于点E ,梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径 ,线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径 ,ED为高的圆锥 ,如下图 ,该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BCCE2DE122121 ,应选C.一个几何体的三视图及其尺寸如下图 ,那么该几何体的外表积为资*源%库A.16B.88C.228D.448答案DSPABSPBC222.所以几何体的外表积为448.在正三棱锥SABC中 ,点M是SC的中点 ,且AMSB ,底面边长AB2 ,那么正三棱锥SABC的外接球的外表积为A.6B.12C.32D.36答案B.半径为

3、1的球O中内接一个圆柱 ,当圆柱的侧面积最大时 ,球的体积与圆柱的体积的比值为_.答案解析如下图 ,设圆柱的底面半径为r ,那么圆柱的侧面积为S2r24r42当且仅当r21r2 ,即r时取等号。所以当r时 ,.如图 ,平面四边形ABCD ,ABBC3 ,CD1 ,AD ,ADC90 ,沿直线AC将ACD翻折成ACD ,直线AC与BD所成角的余弦的最大值是_.答案.在三棱锥PABC中 ,PA平面ABC ,ABACPA2 ,且在ABC中 ,BAC120 ,那么三棱锥PABC的外接球的体积为_.资*源%库答案解析由余弦定理得：BC2AB2AC22ABACcosBAC ,BC2222222212 ,B

4、C2.设平面ABC截球所得截面圆半径为r ,那么2r4 ,所以r2.由PA2且PA平面ABC知球心到平面ABC的距离为1 ,所以球的半径为R ,所以V球R3。.如图 ,侧棱长为2的正三棱锥VABC中 ,AVBBVCCVA40 ,过点A作截面AEF ,那么截面AEF的周长的最小值为_.答案61.如图 ,在RtABC中 ,ABBC4 ,点E在线段AB上。过点E作EFBC交AC于点F ,将AEF沿EF折起到PEF的位置点A与点P重合 ,使得PEB30。1求证：EFPB；2试问：当点E在何处时 ,四棱锥PEFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥PEFCB的体积。1证明EFBC且BCAB ,EFA

5、B ,即EFBE ,EFPE.又BEPEE ,EF平面PBE ,又PB?平面PBE ,EFPB.2解设BEx ,PEy ,那么xy4.SPEBBEPEsinPEBxy21.当且仅当xy2时 ,SPEB的面积最大。此时 ,BEPE2.易错起源1、三视图与直观图例112019课标全国甲如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 ,那么该几何体的外表积为A.20B.24C.28D.322将长方体截去一个四棱锥 ,得到的几何体如下图 ,那么该几何体的侧视图为答案1C2D1一个几何体的三视图如下图 ,那么该几何体的直观图可以是2一几何体的直观图如图 ,以下给出的四个俯视图中正确的选项是答案1D2B空间几

6、何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图 ,因此在分析空间几何体的三视图问题时 ,先根据俯视图确定几何体的底面 ,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征 ,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置 ,再确定几何体的形状 ,即可得到结果。【技巧点拔】1.一个物体的三视图的排列规那么俯视图放在正主视图的下面 ,长度与正主视图的长度一样 ,侧左视图放在正主视图的右面 ,高度与正主视图的高度一样 ,宽度与俯视图的宽度一样。即“长对正、高平齐、宽相等。Ziyuanku2.由三视图复原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体。易错起源、

7、几何体的外表积与体积例212019北京某三棱锥的三视图如下图 ,那么该三棱锥的体积为A.B.C.D.12如图 ,在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中 ,点E ,F分$来源：ziyuanku别在C1D1与C1B1上 ,且C1E4 ,C1F3 ,连接EF ,FB ,DE ,BD ,那么几何体EFC1DBC的体积为A.66B.68C.70D.72答案1A2A故所求几何体EFC1DBC的体积为66.某几何体的三视图如下图 ,那么这个几何体的体积为_.答案1求多面体的外表积的根本方法就是逐个计算各个面的面积 ,然后求和。2求体积时可以把空间几何体进行分解 ,把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单

8、几何体体积的和或差。求解时注意不要多算也不要少算。【技巧点拔】空间几何体的外表积和体积计算是高考中常见的一个考点 ,解决这类问题 ,首先要熟练掌握各类空间几何体的外表积和体积计算公式 ,其次要掌握一定的技巧 ,如把不规那么几何体分割成几个规那么几何体的技巧 ,把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧。易错起源、多面体与球例31三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上 ,SA平面ABC ,SA2 ,AB1 ,AC2 ,BAC60 ,那么球O的外表积为A.4B.12C.16D.642如图 ,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器 ,容器高8cm ,将一个球放在容器口 ,再向容器内注水 ,当球

9、面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的厚度 ,那么球的体积为A 3B 3C 3D 3答案1C2A解析1在ABC中 ,设球心为点O ,球半径为Rcm ,正方体上底面中心为点A ,上底面一边的中点为点B ,在RtOAB中 ,OAR2cm ,AB4cm ,OBRcm ,由R2R2242 ,得R5 ,V球R3cm3。应选A.在三棱锥ABCD中 ,侧棱AB ,AC ,AD两两垂直 ,ABC ,ACD ,ABD的面积分别为 ,那么三棱锥ABCD的外接球体积为_.答案三棱锥PABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：1点P可作为长方体上底面的一个顶点 ,点A、B、C可作为下底面的三个顶点

10、；2PABC为正四面体 ,那么正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线。【技巧点拔】与球有关的组合体问题 ,一种是内切 ,一种是外接。解题时要认真分析图形 ,明确切点和接点的位置 ,确定有关元素间的数量关系 ,并作出适宜的截面图。如球内切于正方体 ,切点为正方体各个面的中心 ,正方体的棱长等于球的直径。球外接于正方体 ,正方体的顶点均在球面上 ,正方体的体对角线长等于球的直径。球与旋转体的组合 ,通常作它们的轴截面解题 ,球与多面体的组合 ,通过多面体的一条侧棱和球心或“切点“接点作出截面图。ziyuanku1.如下图 ,将图1中的正方体截去两个三棱锥 ,得到图2中的几何体 ,那么该几何体的侧

11、视图为答案B解析由所截几何体可知 ,FC1被平面AD1E遮挡 ,可得B图。2.以下图是棱长为2的正方体的外表展开图 ,那么多面体ABCDE的体积为A.2B.C.D.答案D解析多面体ABCDE为四棱锥如图 ,利用割补法可得其体积V4 ,选D.3.某几何体的三视图如下图 ,该几何体的体积为A.82B.8C.8D.8答案B解析由三视图可知 ,该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成 ,所以该几何体的体积为V2221228。4.圆柱被一个平面截去一局部后与半球半径为r组成一个几何体 ,该几何体三视图中的正视图和俯视图如下图。假设该几何体的外表积为1620 ,那么r等于A.1B.2C.4

12、D.8答案B解析如图 ,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体 ,球的半径为r ,圆柱的底面半径为r ,高为2r ,那么外表积S4r2r24r2r2r54r2.又S1620 ,54r21620 ,r24 ,r2 ,应选B.5.如下图 ,平面四边形ABCD中 ,ABADCD1 ,BD ,BDCD ,将其沿对角线BD折成四面体ABCD ,使平面ABD平面BCD ,假设四面体ABCD的顶点在同一个球面上 ,那么该球的体积为A.B.3C.D.2答案A解析如下图 ,6.有一块多边形的菜地 ,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形如下图 ,ABC45 ,ABAD1 ,DCBC ,那么这块菜地的面积

13、为_.答案2解析如图 ,在直观图中 ,过点A作AEBC ,垂足为点E ,那么在RtABE中 ,AB1 ,ABE45 ,BE。而四边形AECD为矩形 ,AD1 ,ECAD1 ,BCBEEC1.7.某几何体的三视图如下图单位：cm ,那么该几何体的外表积是_cm2 ,体积是_cm3.答案7232解析由三视图可知 ,该几何体为两个相同长方体的组合 ,长方体的长、宽、高分别为4cm、2cm、2cm ,其直观图如下：其体积V222432cm3 ,由于两个长方体重叠局部为一个边长为2的正方形 ,所以外表积为S22222442222832872cm2。8.如下图 ,从棱长为6cm的正方体铁皮箱ABCDA1B1C1D1中别离出来由三个正方形面板组成的几何图形。如果用图示中这样一个装置来盛水 ,那么最多能盛的水的体积为_cm3.答案369.一块石材表示的几何体的三视图如下图。将该石材切削、打磨 ,加工成球 ,那么能得到的最大球的半径等于_.答案2解析由三视图可知该几何体是一