模态分析理论

1、模态叠加法思想要点是在积分运动方程以前，利用系统自由振动的固有振型 将方程组转换为n个相互不耦合的方程，对这种方程可以解析或 数值地进行积分。对于每个方程可以采用各自不同的时间步长，即对于低阶振 型可采用较大的时间步长。当实际分析的时间历程较长，同时又只需要少数较低阶振型 的结果时，采用振型叠加法将是十分有利的。求解步骤：1.求解系统的固有频率和振型2.求解系统的动力响应求解固有频率与振型（求解不考虑阻尼影响的振动方程）Ma （t）+ Ka （t） = 0解可假设为：a 5 sin（t -1 ） 0是n阶向量，o是向量的振动频率，t是时间变量，t是 由初始条件确定的时间常数。代入振动方程，得到

2、一个广义特征值问题：K-o 2 M 卜 0求解可得n个特征解（气2,i）,（写,y （，册0 o o , , , w特征向量, , ,代表系统的n个固有振型，幅度可按以 12n下要求规定tM T（i=1，2，n），这样规定的固有振型又称正则振型。将g 5阳）代回特征方程，得：i i j j斜=s2me斜=们2mei i i j j j前式两边前乘以e T，后式两边前乘以g,得：tKe =meTme eTKe =meTmej i i j i i j i i j由所问）T=eKe =eT Ke 得： j i j i i j2tme =2tKe，推出（2-2）eTme = 0i j i j i ji

3、 j j i当s如.时，有e T m ei=0这表明固有振型对于矩阵m是正交的，可表示为:eT m e =；1 （i=j）i j 0 （i 主 j）得：eTKe=!吁（i=j）i j 0 （i 丰 j）如果定义o=吧e2 e3 k e s 201Q=籍O0s 2n则特征解的性质可表示成: T M Q = I T K Q = Q原特征值问题可表示为：K=MQ求解动力响应1.位移基向量的变换引入变换a(t)=S(t)=m ei=1其中尤(D=k七L七代入运动方程，并两边前乘以中T，可得:X(t)+tC x (t )+Qx (t )=OtQ (t)= R (t)初始条件相应地转换成：0则:x =tM

4、a X0 =tM a 0则:（i=j）（i 丰 j）2g1 12g2 2O其中g 其中g （i=1,2, ,n）是第i阶振型阻尼比，可得n个相互不耦合的二阶常微分方程X. (t)+2wg x. (t)+ 2 X (t)= r (t)(i=1，2,，n)i ii ii若C是Rayleigh阻尼，即c =以M + p K根据试验或相近似结构的资料已知两个振型的阻尼比g.和g j，可得2(g-g)(2 一2)i jj i p = 2(g_g59(2 -2) ji2.求解单自由度系统振动方程在振动分析中常常采用杜哈美(Duhamel)积分，又称叠加积分，其基本思想是将任意激振力r (t)分解为一系列微冲量的连 i续作用，分别求出系统对每个微冲量的响应，然后根据线性系统 的叠加原理，将它们叠加起来，得到系统对任意激振的响应。结 果是：x (t) 1 M G)e-辆。t) sinb (t-c)dc+ e-池(a sinb t + b cosB t)i Q iii i i iiEb x + xa = iqq b = xi其中b =：, a是由起始条件决定的常数，上式右边前 一项代表r (t)引起的系统强迫振动项，后一项代表在一定起始条 i件下的系统自由振动项。当阻尼很小，即E .TQ时，b. = 3，这时结果是x (t) = jtr G)sin(t-T)dT + (a s