初二数学春季讲义 第5讲.典型中点构造.尖子班.教师版

1、PAGE 18PAGE 19PAGE 15典型中点构造5典型中点构造四边形4级四边形4级四边形综合四边形5级典型中点构造四边形6级平移和几何最值问题春季班第六讲春季班第五讲春季班第四讲满分晋级阶梯漫画释义 空欢喜漫画释义知识互联网 知识互联网题型切片题型切片题型切片（三个）对应题目题型目标三角形中位线例1，例2，例7，练习1，练习2，练习3；中点四边形例3，练习4；直角三角形斜边中线例4，例5，例6，练习5编写思路编写思路本讲内容主要分为三个题型，题型一三角形中位线是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形性质等知识内容的应用和深化，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到，难点在

2、于构造中点连接成中位线达到转移线段所处位置的效果；题型二中点四边形内容难度不大，主要在于利用三角形中位线的内容将四边形对角线进行位置上的转移进而形成新的特殊四边形，知识导航部分进行了归纳总结，老师在此部分应注重引导，让学生能够在充分理解的基础上独自进行归纳；题型三直角三角形斜边中线是中点模型中的重要组成部分，难度较去年秋季学习时略有增加本讲的最后一部分是2013年北师大附中期中考试真题，本题为阅读材料题，需要学生有快速学习新知识能力，考查形式贴近中考，题目难易设计梯度性明显，引导性强，能够引导学生逐步进行思考，最终利用三角形中位线知识进行求解题型一：三角形中位线题型一：三角形中位线思路导航 思

3、路导航三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段；定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半 如图：若为的中位线,则，且三角形中位线中隐含的重要性质：一个三角形有三条中位线三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形三角形的三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一如图：、是的三条中位线，则有，例题精讲 例题精讲如图，已知，分别是的中点，求证：且 延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AFAE=EC四边形ADCF是平行四边形CF/DA且CF=DA，CF/BD且CF=B

4、D四边形DBCF是平行四边形DF/BC且DF=BC又DE/BC，且教师可以让学生尝试不同方法证明三角形中位线，并复习了平行四边形的判定与性质下面方法请做参考方法一：如图1，过点作的平行线交延长线于点，证明，再证四边形为平行四边形方法二：如图2，分别过点作平行线交于点，证明，再证与均为平行四边形即可典题精练 典题精练已知四边形是梯形， 如图1，、是、的中点求证：且 如图2，、是、的中点试写出与、之间的关系 如图3，若梯形满足、是、的中点试写出与、 之间的数量关系 此题设计目的是突显这一讲中的经典辅助线，总结梯形中的几个经典几何模型同时告诉学生梯形中位线可以转化为三角形中位线来研究证明不难，记住结

5、论对解答填空选择有帮助，在解答题中最好通过添加辅助线转化为三角形中位线来解答可以转化为三角形中位线；可以转化为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要结论 方法一：连接并延长交的延长线于，是的中点易证， 是的中点是的中位线且且方法二：过F作，交于，交的延长线于 四边形是平行四边形，是的中点 易证， 是的中点 ，四边形是平行四边形，且 ，证明：连接并延长交于，是的中点 易证，是的中位线且， 证明：过作交于，交于 四边形、是平行四边形，、分别是、的中点， 在中， 此题主要是借助梯形，将三角形中的两个重要结论放在一起，让学生灵活运用四边形ABCD中， E、F分别为AB、CD的中点，求证：；四边形

6、ABCD中，ACBD，E、F分别为AB、CD的中点，求证：取AD中点M，连接EM、FM则EM、FM分别为ABD和DAC中位线即，在MEF中，故取AC中点N，连接EN、FN则EN、FN分别为ABC和ACD中位线即，在NEF中，故当EF恰好过四边形ABCD对角线AC中点时取等号（如矩形、正方形均为此种情况）取AD中点P，连接EP、FP则EP、FP分别为ABD和DAC中位线即，且EPBD，FPACACBD，PEF为直角三角形，故题型二题型二：中点四边形思路导航 思路导航定义：顺次连接一个四边形四边中点所得四边形称为中点四边形 中点四边形题型的思路是将四边形转化为三角形，构造三角形中位线进行证明而探索

7、中点四边形为特殊的平行四边形取决于原四边形的两条对角线是否相等或垂直中点四边形：对角线+中位线顺次连结平行四边形各边中点所构成的四边形是 平行四边形 ； 顺次连结矩形各边中点所构成的四边形是 菱形 ；顺次连结菱形各边中点所构成的四边形是 矩形 ；顺次连结直角梯形各边中点所构成的四边形是 平行四边形 ；顺次连结等腰梯形各边中点所构成的四边形是 菱形 ；顺次连结任意四边形各边中点所构成的四边形是 平行四边形 ；顺次连结对角线相等的四边形的各边中点所构成的四边形是 菱形 ；顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点所构成的四边形是 矩形 例题精讲 例题精讲如图，四边形中，分别是的中点 求证：四边形为平

8、行四边形 如图，连接分别是的中点HG、EF是DAC和BCA的中位线，可得HG/EF且HG=EF， 四边形为平行四边形教师可以让学生尝试不同方法去证明中点四边形，下面方法请参考方法一：连接，由中位线定理可知四边形为平行四边形方法二：连接，由，可得四边形为平行四边形典题精练 典题精练已知：如图1， 在正方形中，点、分别是边、上的点，且，、交于点，则可得结论： ；（不需要证明）如图2，若点、分别在正方形的边、的延长线上，且，此时上面的结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；如图3，在的基础上，连接和，若点、分别为、 的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论 四边形是正方形

9、，在和中， 点、分别为、的中点，同理：，四边形是平行四边形 ，平行四边形是菱形 ，又 菱形是正方形【探究一】中点四边形的周长等于原四边形对角线之和，面积为原四边形面积的一半；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，根据中位线的性质易知，A5B5=A3B3= QUOTE 12 A1B1=AB，B5C5= QUOTE 12 B3C3=B1C1=BC，【探究二】关于凹四边形或折四边形，课本中没有编写相关方面的知识，但我们应该给学生一个较为完整的认识体系.这样一方面提高了学生的认识，培养了学生由特殊到一般的认识事物的能力；另一方面巩固学生对刚学习的三角形中位线定理的认

10、识【变式2】O是ABC所在平面内一动点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，如果DEFG能构成四边形：如图，当O点在ABC内部时，证明四边形DEFG是平行四边形，当O点移动到ABC外部时，（1）的结论是否还成立？画出图形并说明理由，若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由.【解析】如图，由三角形中位线定理得DGBC且DG=BC，EFBC且EF=BC，故DG平行且等于EF，四边形DEFG是平行四边形；当点O移动到ABC外时，我们可画出下图，理由同（1），（1）中的结论仍然成立；易知四边形DEFG的形状是由线段BC和AO的数量关系和位置关系

11、确定的，所以要使四边形DEFG是矩形，只需BCAO，故O点所在位置满足的条件应是：O点在过点A的BC的垂线上（点A除外）.【探究三】易得四边形中一组对边的中点和两条对角线的中点构成的四边形是平行四边形；我们通常利用对角线将四边形分成两个三角形，从而过对角线的中点将三角形的一组对边缩小平移；【变式3】在四边形中，分别是、的中点，分别是对角线，中点，证明：与互相垂直连接，证明为菱形【变式4】如图，已知为的角平分线，在上截取，分别为边的中点求证：提示：如图，联结，取的中点，联结易知，易证题型三题型三：直角三角形斜边中线思路导航 思路导航直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半若为

12、斜边上的中线，则相关结论如上图，；为等腰三角形相关模型在由两个直角三角形组成的图中，为公共边的中点，总有结论：例题精讲 例题精讲在ABC中，CDAB交AB于D，BEAC交AC于E， F为BC的中点，连DF、EF、 DE ，请判定DEF的形状CDAB，BEACDBC和EBC是直角三角形F是斜边BC的中点DEF是等腰三角形典题精练 典题精练 锐角中，若于，于，、分别为、的中点，若，则的长为 如图，四边形ABCD中，取AC中点O，BC中点E，连接OD、OE、DE，则= ，提示：连接 60已知：在中，点在直线上，与直线垂直，垂足为，且点为中点，连接、 如图1，若点在线段上，探究线段与及与所满足的数量关

13、系，并直接写出你得到的结论； 如图2，若点在延长线上，你中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明； 结论不变，由题意知， 两式相减，得在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于PM、N是AP、BP的中点，分别连接EM、DM和DN、FN，求证：DEMFDN; PAE=PBFD为AB的中点，M是PA的中点同理又DEMFDN由，DEMFDNEM=AM,FN=BN本题运用了直角三角形斜边上中点的性质以及三角形中位线的相关性质真题赏析 真题赏析我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形请解答下列问题：写出一个你所学过的

14、特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；如图1，ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G求证：四边形AGEC是等邻角四边形如图2，若点D在ABC的内部，其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形? （2013北师大附期中）直角梯形，等腰梯形，矩形，正方形（写出一个即可）取AC中点H连接FH、EH AB=AC、DC=ACAB=CD、EH=FHHFE=FEHEHAB、FHCDBGE=GEH，HFE=GEBBGE=BEGAGE=GEC四边形AGEC是等邻角四边形存在，如图连接辅助线，同理可证，四边形AGHC为等邻角四

15、边形思维拓展训练思维拓展训练(选讲)请用中位线定理证明：三角形的重心分中线所成的两线段之比为 如图，已知，中，中线交于点，求证：证明思路如下：如图，取中点，连接，由中位线定理可得， 为平行四边形， 此结论还可以用面积法、相似证明，这里综合中位线定理及平行四边形判定，也很精彩！已知如图，是锐角的两条高，过顶点分别作的垂线，垂足分别为点，求证：取中点，中点，连接，可知，又为梯形中位线， 如图，已知：和都是直角三角形，且,连接，设为的中点求证：；如图，分别取的中点，连接， 由分别是的中点， 是直角三角形， ， ， 由，可得是平行四边形， ，在图1至图3中，点是线段的中点，点是线段的中点四边形和都是正

16、方形的中点是 如图1，点在的延长线上，点与点重合时，点与点重合，求证：，； 将 将还是等腰直角三角形吗？证明你的结论 四边形和都是正方形，又点与点重合，点与点重合， 等腰直角三角形 方法一：连接，如图，设与交于点分别是的中点，且；，且四边形是平行四边形又，是等腰直角三角形方法二：连接、，可证 可推出又，可得，均为平行四边形， 可推出复习巩固复习巩固题型一 三角形中位线 巩固练习已知：如图，平行四边形ABCD中，BDC的平分线DE交直线AB于E 取DE中点M并连接CM、BM直接写出线段BM和DE的位置关系 若BD=2DC，则DCM的形状是_证明你的结论 互相垂直 等腰三角形，证明思路如下：取中点

17、，连接可知，再证即可 已知：如图所示，在中，、分别为、上的点，且，、分别是、的中点，过的直线交 于点，交于点，求证： 连，取的中点，连、，、分别是与的中点， ， 还可以取的中点方法总结：已知四边形对角线中点，则取一边中点，可出两条中位线如图l，在四边形中，分别是的中点，连接并延长，分别与的延长线交于点，则（不需证明）（温馨提示：在图1中，连接，取的中点，连接，根据三角形中位线定理，可证得，从而，再利用平行线的性质，可证得）问题：如图2，在四边形中，与相交于点，分别是、的中点，连接，分别交于点，判断的形状，并证明 等腰三角形提示：如图，取中点，连接F、H、E分别是AD、DB、BC中点FH/AB且

18、HE/DC且AB=CDFH=HE，OM=ONOMN是等腰三角形题型二 中点四边形 巩固练习ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，、分别 为EF、EG、GF的中点，的周长为 如果ABC、EFG、分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第个三角形的周长是 16；题型三 直角三角形斜边中线 巩固练习 如图，在五边形中，为的中点求证：方法一：如图1，取AC中点M，取AD中点N，连BM、MF、NF、EN，得同理又又，方法二： 如图2，延长CB到M，使得MB=BC，延长DE到N，使得NE=DE连接AM、AN、MD、CN由 是等腰三角形 F是CD中点， 此题的

19、两种解法中综合了中点的三个基本用法：等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线；中位线，即以下三个模型：朱德著文忆母亲1944年2月15日，朱德的母亲钟太夫人在家乡四川仪陇病逝。朱德万分悲痛，4月5日著回忆我的母亲一文，以无限的深情赞颂母亲的优秀品质，寄托哀思。 朱德开篇写道：得到母亲去世的消息，我很悲痛。我爱我母亲，特别是她勤劳一生，很多事情是值得我永远回忆的。他在一封写给外甥的家信中说：“外祖母大人因人老关系，今年不比往年健康，但仍不辍劳作，尤喜纺棉。” 我应该感谢母亲，她教给我生产的知识和革命的意识，鼓励我以后走上革命的道路。在这条道路上，我一天比一天更加认识：只有这种知识、这种意识，才是世界上最可宝贵的财产。最后，朱德满怀