年人教B版数学必修五讲义：第2章+23+232+第1课时+等比数列的前n项和

1、2022-2022 年人教 B 版数学必修五讲义： 第 2 章+2.3+2.3.2+第 1 课时 +等比数列的前 n 项和及答案2.3.2 等比数列的前 n 项和第 1 课时 等比数列的前 n 项和学 习 目 标 核 心 素 养1.把握等比数列的前 n 项和公式及其应用 重点 1.通过等比数列前 n 项和公式的学习,2会用错位相减法求数列的和难 考查同学的直观想象的素养点 2借助错位相减法求数列的和的方3能运用等比数列的前 n 项和公式解 法,提升同学的数学运算素养 . 决一些简洁的实际问题 .等比数列的前 n 项和公式摸索： 等比数列求和应留意什么？提示 公比 q 是否等于 1. 1在公比为

2、整数的等比数列 an 中,a1a23,a34,就 an的前 5 项和为 A10 B21 2C11 D12 C 设公比为 qqZ,就 a1a2a1a1q3,a3a1q 24,求解可得 q- 1 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修五讲义： 第 2 章+2.3+2.3.2+第 1 课时 +等比数列的前 案n 项和及答2,a11,就 an 的前 5 项和为1 2511. 1 22已知等比数列 an 的公比 q2,前 n 项和为 Sn,就S3 a2 A3 B4 C7 2D13 23 a1 12C易知等比数列 an 的首项为 a1,就S3 a212 a1 27 2. 3在等比数列 a

3、n 中,a12,S326,就公比 q_. 3 或 4S33 a1 1q3 2 1q26,q 2q120,q3 或 4. 1q1q4等比数列 an 中,公比 q 2,S544,就 a1_. 4由 S5a11 2544,1 2得 a14. 等比数列前 n 项和公式基本量的运算【例 1】在等比数列 an 中1如 q2,S41,求 S8；2如 a1a310,a4a65 4,求 a4 和 S5. 解 1法一： 设首项为 a1,q2,S41,4 a1 12121,即 a11 15,- 2 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修五讲义： 第 2 章+2.3+2.3.2+第 1 课时 +等比

4、数列的前 案n 项和及答S88 a1 1q1 815 1217. 1q12法二： S44 a1 1q1,且 q2,1qS88 a1 1q4 a1 1q1q 4S41q 41 12 417. 1q1qa1a1q 210,2设公比为 q,由通项公式及已知条件得a1q 3a1q 55 4.a1 1q 2 10,即a1q 3 1q 2 5 4,a1 0,1q 2 0,得, q 31 8,即 q1 2,a18. a4a1q 38131,531 2 . 2S55 a1 1q811 21q11 21解答关于等比数列的基本运算问题,通常是利用a1,an,q,n,Sn这五个基本量的关系列方程组求解,而在条件与结

5、论间联系不很明显时,均可用 a1与 q列方程组求解2运用等比数列的前n 项和公式要留意公比q1 和 q 1 两种情形,在解有- 3 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修五讲义： 第 2 章+2.3+2.3.2+第 1 课时 +等比数列的前 案n 项和及答关的方程组时,通常用两式相除约分的方法进行消元1在等比数列 an 中,其前 n 项和为 Sn. 1S230,S3155,求 Sn；2已知 S41,S817,求 an. a1 1q 30,解 1由题意知 a1 1qq 2 155,a15,a1180,解得 或 q5 q5 6,从而 Sn1 4 5 n15 4或 Sn 1 080

6、1 5 6 n11 . 2设 an 的公比为 q,由 S41,S817 知 q 1,所以4 a1 1q1,1q8 a1 1q17,1q得1q 1 4 1 17,解得 q2,所以a11 15,或a11 5,q2q 2.- 4 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修五讲义： 第 2 章+2.3+2.3.2+第 1 课时 +等比数列的前 案n 项和及答所以 an2 n115或 an1n 2 n15 . 等比数列前 n 项和 的综合应用【例 2】借贷 10 000 元,月利率为 1%,每月以复利计息,王老师从借货后笫 二 个 月 开 始 等 额 仍 贷 , 分 1.01 61.061

7、,1.01 51.051. 6 个 月 付 清 , 试 问 每 月 应 支 付 多 少 元解 法一：设每个月仍贷 a 元,第 1 个月后欠款为 a0 元,以后第 n 个月仍贷a 元后,仍剩下欠款 an 元1n6,就 a010 000,a11.01a0a,a21.01a1a1.01 2a011.01a,a61.01a5a 1.01 6a011.01 1.01 5a.由题意,可知a60,即 1.01 6a011.01 1.01 5a0,a1.01 6 10 21.01 61由于 1.01 61.061,所以 a2 1.061 101 739元1.0611故每月应支付 1 739 元法二： 一方面,

8、借款 10 000 元,将此借款以相同的条件储备 6 个月,就它的本利和为 S110 410.01 610 4 1.01 6元另一方面,设每个月仍货a 元,分 6 个月仍清,到货款仍清时,其本利和为S2a10.01 5a10.01 4 aa 10.0161a1.01 61 10 2元1.011由 S1S2,得 a1.01 6 10 21 739元1.01 61故每月应支付 1 739 元- 5 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修五讲义： 第 2 章+2.3+2.3.2+第 1 课时 +等比数列的前 案n 项和及答解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数,所谓复

9、利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在运算时每一期本金的数额是不同的,复利 的运算公式为 SP1r n,其中 P 代表本金, n 代表存期, r 代表利率, S 代表本 利和2一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上上升度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？解 用 an 表示热气球在第 n 分钟上升的高度,由题意,得 an14 5an,因此,数列 an 是首项 a125,公比 q4 5的等比数列热气球在前 n 分钟内上升的总高度为：Sna1a2 ana1 1q n2514 5n12514 5n 125. 1q14 5故

10、这个热气球上升的高度不行能超过125 m. 错位相减法求和探究问题 1由项数相等的等差数列n 与等比数列 2n相应项的积构成新的数列n2 n是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n 项和 Sn的表达式是什么？- 6 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修五讲义： 第 2 章+2.3+2.3.2+第 1 课时 +等比数列的前 n 项和及答案提示 由等差数列及等比数列的定义可知数列 n2 n 既不是等差数列,也不是等比数列该数列的前n 项和 Sn 的表达式为 Sn12 122 232 3 n2 n. 2在等式 Sn12 122 232 3 n2 n 两边同乘以数列 2 n 的公比

11、后,该等式的变形形式是什么？仔细观看两式的结构特点,你能将求 Sn 的问题转化为等比数列的前 n 项和问题吗？提示 在等式 Sn12 122 232 3 n2 n,两边同乘以 2 n 的公比可变形为2Sn12 222 332 4 n1 2 nn2 n1,得： Sn 12 12 22 32 4 2 nn2 n1 2 12 22 3 2 nn2 n1. 此时可把求 Sn 的问题转化为求等比数列 2n 的前 n 项和问题我们把这种求由一个等差数列 an 和一个等比数列 bn 相应项的积构成的数列 anbn 前 n 项和的方法叫错位相减法【例 3】设数列 an 的前 n 项和为 Snn 2n,数列 b

12、n 的通项公式为 bnx n1x 01求数列 an的通项公式；2设 cnanbn,数列 cn 的前 n 项和为 Tn,求 Tn. S1,n1,思路探究 由 anSnSn1,n2完成第 1问；由题设知 an 为等差数列, bn 为等比数列,因此可用错位相减法求 Tn. S1,n1,2,n1,解 1an即 anSnSn1,n2,2n,n2.当 n1 时, an2n 也成立,an2n,即数列 an 的通项公式为 an2n. 2由 an2n,bnx n1 且 cnanbn 可得 cn2nx n1,- 7 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修五讲义： 第 2 章+2.3+2.3.2+

13、第 1 课时 +等比数列的前 案n 项和及答Tn24x6x 28x 3 2nx n1,就 xTn2x4x 26x 38x 4 2nx n.,得 1xTn22x2x 2 2x n12nx n. n1x当 x 1 时, 1xTn22nx n,1x22 n1 x n2nx n1Tn2 . 1x当 x1 时, Tn2468 2nn 2n. 错位相减法的适用范畴及留意事项：1适用范畴：它主要适用于 的前 n 项和 an 是等差数列, bn 是等比数列,求数列 anbn2留意事项：利用 “错位相减法 ”时,在写出 Sn 与 qSn 的表达式时,应留意使两式错对齐,以便于作差,正确写出1qSn 的表达式利用

14、此法时要留意争论公比 q 是否等于 1 的情形31 21 23 8 n n_. 2 n1n22n 令 Sn1 22 43 8 n n,就1 2Sn1 42 8 3 16 n12 n n2 n1,- 8 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修五讲义： 第 2 章+2.3+2.3.2+第 1 课时 +等比数列的前 案n 项和及答由得,1 2Sn1 21 41 8 1 nn2 n12 1 1nn 2 n1,11 2得 Sn22 2 nn 2 n2 n1n22 n . 1本节课的重点是等比数列前n 项和公式的基本运算2在等比数列的通项公式和前n 项和公式中,共涉及五个量：a1,an,

15、n,q,Sn,其中首项 a1 和公比 q 为基本量,且“ 知三求二” 3前 n 项和公式的应用中,留意前 n 项和公式要分类争论,即当 q 1 和 q1 时是不同的公式形式,不行忽视 q1 的情形1判定 正确的打“ ” ,错误的打“ ” 1求等比数列 an 的前 n 项和时可直接套用公式n Sna1 1q 1q来求 2首项为 a的数列既是等差数列又是等比数列, 就其前 n 项和为 Snna3如某数列的前 n 项和公式为 Sn aq naa 0,q 0 且 q 1,nN,就此数列肯定是等比数列 99 1212答案1232数列 2n1 的前 99 项和为 A2 1001B12 100C2 991 D12 99C数列 2n1 为等比数列,首项为 1,公比为 2,故其前 99 项和为 S992 991. 3已知等比数列 an 中,q2,n5,Sn62,就 a1_. 2 q2,n5,Sn62,- 9 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修五讲义： 第 2 章+2.3+2.3.2+第 1 课时 +等比数列的前 案n 项和及答a1 1q n1q62,即5 a1 1262,12a12. 4已知 an 是公