高考新题型探究：数学阅读与信息整理

1、高考新题型探究数学阅读与信息如何整理？考向一数学阅读【典例1】(2020全国卷)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2an满足ai0,1(i=1,2,),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2an,C(k)= (k=1,2,m-1)是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1序列中,满足C(k) (k=1,2,3,4)的序列是()A.11010B.11011C.10001D.11001试题情境以周期序列的自相关性为背景,要求判断试题给出

2、的四个周期序列是否满足题设条件.学科应用主要考查学生对新概念的理解、探究能力.考查学生数学阅读的能力,对培养学生的创新应用意识起到积极引导作用.关键能力逻辑思维能力:通过对周期序列的自相关性数据收集、整理、分析,考查学生逻辑推理能力.运算求解能力:通过分类求解序列号,考查学生数学运算能力. C由ai+m=ai知,序列ai的周期为m,由已知,m=5,C(k)= aiai+k(k=1,2,3,4),对于选项A,C(1)= aiai+1= (a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)= (1+0+0+0+0)= ,C(2)= aiai+2= (a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7

3、)= (0+1+0+1+0)= ,不满足;对于选项B,C(1)= aiai+1= (a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)= (1+0+0+1+1)= ,不满足;对于选项D,C(1)= aiai+1= (a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)= (1+0+0+0+1)= ,不满足.考向二信息整理【典例2】(2020全国卷)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,20),其中xi和yi分别表

4、示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得 xi=60, yi=1 200, (xi- )2=80, (yi- )2=9 000, (xi- )(yi- )=800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(xi,yi)(i=1,2,20)的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.附:相关系数r= 试题情境以沙漠治理为背景设计,考查学生分析

5、和解决问题的能力、数据处理的能力,以及应用数学模型分析解决实际问题的能力.学科应用试题通过建立数学模型,考查学生整理和分析信息的能力.关键能力数学建模能力:重点考查学生对概率统计基本思想、基本统计模型的理解和运用.运算求解能力:本题设置了对动物数量的估计值、相关系数的求解,重在考查学生运算求解的能力.逻辑思维能力:根据对野生动物数量更准确的估计,确定合理的抽样方案,培养学生逻辑推理能力.【解析】(1)样区这种野生动物数量的平均数为 = 1 200=60,地块数为200,该地区这种野生动物数量的估计值为20060=12 000.(2)样本(xi,yi)的相关系数r= = 0.94.(3)分层抽样

6、:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.理由如下:由(2)知各地块的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的办法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.【数学阅读】1.(螺旋蚊香)原始的蚊香出现在宋代.根据宋代冒苏轼之名编写的格物粗谈记载:“端午时,收贮浮萍,阴干,加雄黄,作纸缠香,烧之,能祛蚊虫.”如图,为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”,画法如下:在水平直线l上取长度为1的线段AB,作一个等边三

7、角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧,交线段CB的延长线于点D,再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧,交线段AC的延长线于点E,以此类推,当得到的“螺旋蚊香”与直线l恰有21个交点时,“螺旋蚊香”的总长度的最小值为()A.310B.340C.930D.1 020A当以B为圆心,半径为:1,4,7,10,当以C为圆心,半径为:2,5,8,11,当以A为圆心,半径为:3,6,9,12,所以当“螺旋蚊香”与直线l恰有21个交点时,若使“螺旋蚊香”的总长度最小,则完成整数个循环,所以以B为圆心的弧与直线只有交点A(其余的与以A为圆心的弧与直线交点重合),以C为圆心的弧与直线10个交点

8、,以A为圆心的弧与直线有10个交点,即数列有10项,数列有10项,所以最后一个圆弧的半径为r=3+3(10-1)=30,所以“螺旋蚊香”的总长度的最小值为l= 2 = =310.2.(5G技术)中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2 .它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比 从1 000提升至4 000,则C大约增加了 ()附:lg 20.301 0A.10%B.20

9、%C.50%D.100%B当 =1 000时,CWlog21 000,当 =4 000时,CWlog24 000,因为 ,所以将信噪比 从1 000提升至4 000,则C大约增加了20%.3.(病毒学)1943年,我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”,这一研究成果,使病毒在试管内繁殖成为现实,从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数y和天数t的函数关系为:y=2t-1,且该种病毒细胞的个数超过108时会发生变异,则该种病毒细胞实验最多进行的天数为()(lg 20.301 0)

10、A.25B.26C.27D.28C令y=2t-1=108,故t-1=log2108=8log210,即t=8log210+1=8 +127.6,故该种病毒细胞实验最多进行的天数为27.4.(旅游纪念)甲乙丙丁四位同学一起到某地旅游,当地有A,B,C,D,E,F六种手工纪念品,他们打算每人买一种,甲说:只要不是A就行;乙说:C,D,E,F都行;丙说:我喜欢C,但是只要不是D就行;丁说:除了C,E之外,其他的都可以.据此判断,他们四人可以共同买的手工纪念品为_. 【解析】甲可以选择的手工纪念品的集合为:B,C,D,E,F,乙可以选择的手工纪念品的集合为C,D,E,F,丙可以选择的手工纪念品的集合为

11、A,B,C,E,F,丁可以选择的手工纪念品的集合为A,B,D,F,这四个集合的交集中只有元素F,故答案为F.答案:F【信息整理】5.(信息安全)为了保证信息的安全传输,有一种为秘密密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x(为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文()A.4B.6C.8D.9D由题目可知加密密钥y=x(是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出的值.由题意得2=4,解得= ,则y= ,由 =3,得x=9.6.(瓷器)中国是世界上最古老的文明

12、中心之一,中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器,中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术,陶瓷形状各式各样,从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据,则该椭圆瓷盘的焦距为() A.8 cmB.2 cmC.4 cmD.4 cmC根据椭圆的定义,得到:2a=8,解得a=4,2b=4,解得b=2,所以c= ,所以焦距2c=4 (cm).7.(粒子运动)如图,一个粒子从原点出发,在第一象限和两坐标轴正半轴上运动,在第一秒时它从原点运动到点(0,1),接着它按图所示在y轴、x轴的垂直方向上来回运动,且每秒移动一个单位长度,那么,在

13、2 018秒时,这个粒子所处的位置在点_.【解析】如图,设粒子运动到A1,A2,An时所用的时间分别为a1,a2,an,则a1=2,a2=6,a3=12,a4=20,an-an-1=2n,将a2-a1=22,a3-a2=23,a4-a3=24,an-an-1=2n相加得:an-a1=2(2+3+4+n)=n2+n-2,则an=n(n+1),由4445=1 980,故运动了1 980秒时它到点A44(44,44),又由运动规律知:A1,A2,An中,奇数点处向下运动,偶数点处向左运动,故粒子到达A44(44,44)时向左运动38秒,即运动了2 018秒到达点(6,44),则所求点应为(6,44)

14、.答案:(6,44).8.(学习强国)“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员,面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态,紧跟时代脉博的热门APP,某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况,从全市抽取2 000名人员进行调查,统计他们每周利用“学习强国”的时长,如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数;(2)宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况,准备采用分层抽样的方法从8,10)和10,12)组中抽取50人了解情况,则两组各抽取多少人?再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会.现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言,求10,12)组中至少有1人发言的概率.【解析】(1)设被抽查人员利用“学习强国”的平均时长为 ,中位数为y, =0.051+0.13+0.255+0.37+0.159+0.111+0.0513=6.8,0.05+0.1+0.25+0.15(y-6)=0.5,解得y= ,即被抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8,中位数为 .(2)8,10)组的人数为2 0000.15=300,设抽取的人数为a,10,12)组的人数为2 0000.1=200,设抽取的人数为b,则 = = ,