【高考数学精品】外接球内切球的9大题型

1、【高考数学专题】外接球内切球的9大类题型梳理与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图例如：球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径1. 球的表面积为S=4R22. 球的体积为Veq f(4,3)R3多面体、旋转体与球接、切问题的求解策略(1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题(2)利用平面几何知识寻找几何体元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心

2、的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解(3)若球面上4点P，A，B，C构成的3条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，用4R2a2b2c2求解一球的性质应用已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为( )ABCD【解析】因为ABC是边长为6的正三角形,所以ABC外接圆的半径r=，为球的直径，且，球半径R=4，所以点O到平面ABC的距离，SC为球O的直径,点S到平面ABC的距离为2d=4，此棱锥的体积为，选C.已知三棱锥中，三点在以为球心的球面上，若，且三棱

3、锥的体积为，则球表面积为（ ）ABCD【解析】由题意，.又的外接圆的半径因此球的半径球的表面积：，选C已知三棱锥P-ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【解析】底面中， ，的外接圆半径面，三棱锥外接球的半径，所以三棱锥外接球的表面积，选C二最值问题已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，则三棱锥体积的最大值为（ ）ABCD【解析】如图，设球心为，由，可得为直角三角形，斜边的中点为球小圆的圆心，接，则平面，由，可得，故三棱锥最大体积为，选在三棱锥中，底面，是线段上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面

4、积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ）ABCD【解析】将三棱锥补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球，记三角形的中心为，设球的半径为，则球心到平面的距离为，即，连接，则，.在中，取的中点为，连接，则，所以.在中，由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为，高中数学资料共享群（群号：734924357）则，所以最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为，所以，球的表面积为.选C.已知的三个顶点落在半径为的球的表面上，三角形有一个角为且其对边长为3，球心到所在的平面的距离恰好等于半径的一半，点为球面上任意一点，则三棱锥的体积的最大值为（ ）ABCD【

5、解析】设外接圆的圆心为，则平面，所以设外接圆的半径为，由正弦定理可得：，解得：由球的截面圆性质可得：，解得：所以点到平面的距离的最大值为：.在中，由余弦定理可得：当且仅当时，等号成立，所以.高中数学资料共享群（群号：734924357）所以，当且仅当时，等号成立.当三棱锥的底面面积最大，高最大时，其体积最大.所以三棱锥的体积的最大值为选C三球直径灵活应用已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）ABCD【解析】作出图形，设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD平面ABCCO1=，高SD=2O

6、O1=，ABC是边长为1的正三角形，SABC=，四球与其它几何体的综合如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）ABCD【解析】设球的半径为cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm所以由，得所以球的体积为选A四面体中，已知，且两两相互垂直，在该四面体表面上与点距离为的点形成一条曲线，则这条曲线的长度是( )ABCD【解析】在四面体表面上与点距离为的点形成一条曲线曲线分别与交于，同理，.选B.五球定义的灵活应用如图，

7、在底面为矩形的四棱锥中，平面，分别为棱，上一点，已知，且平面，四面体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）ABCD【解析】在棱CD上取一点H,使得HD=1平面BCE又平面BCE，平面平面BCE ，又平面平面ABCD=GH，平面平面ABCD=BC,= HD=1,故四面体可以补成一个长方体，且长，宽，高分别为4，1，1所以球的表面积为选C如图所示，在三棱锥中，点在平面内的投影恰好落在上，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD【解析】由已知可知平面，平面平面，又因为，平面，可构造直三棱柱，直三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，且球心为直三棱柱上下底面三角形外接圆圆心连线的中点.在中，由正弦

8、定理可求得外接圆半径为，外接球半径为，三棱锥外接球的表面积为，选D.六多面体放球中的解题策略已知二面角PABC的大小为120，且PABABC90，ABAP，AB+BC6若点P，A，B，C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（ ）A45BCD【解析】设ABx，（0 x6），则，由题意知三棱锥外接球的球心是过PAB和ABC的外心E，H，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，OB为三棱锥外接球半径，取AB的中点为G，如图，由条件知在EGH中，由余弦定理得EGH的外接圆直径，当时，OB2的最小值为，该球的表面积的最小值为.选B等腰三角形的腰，将它沿高翻折，使二面角成，此时四面体外接球的体

9、积为（ ）ABCD【解析】由题意，设所在的小圆为，半径为，又因为二面角为，即，所以为边长为的等边三角形，又正弦定理可得，即，设球的半径为，且，在直角中，所以，所以球的体积为，选D在三棱锥中，二面角的余弦值是，若都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）ABCD【解析】取的中点，连接.因为，所以，可得即为二面角的平面角，故.在直角中，同理可得，由余弦定理得解得.在中，所以为直角三角形，同理可得为直角三角形，取中点，则，在与中，所以点为该球的球心，半径为，所以球的表面积为.选C已知三棱锥中，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【解析】如图，取的中点，连接，则，又平面平面，平面平面，平面，

10、所以面，又平面，所以，在上取一点，使得，则为球心，设球的半径为，因为，所以为直角三角形，又为的中点，所以，又，又在中，即，解得.所以外接球表面积为.选C.表面积为20的球面上有四点，S,A,B,C且ABC是边长为23的等边三角形，若平面SAB平面ABC，则三棱锥S-ABC体积的最大值是 【解析】SABC故当S到面ABC的距离最大时，三棱锥S-ABC的体积最大，由图可知即当SEAB，E为AB中点时，三棱锥S-ABC的体积最大，作OHSE，OD面ABC，连接DE，由S球=20，得由于AB=23，得CE=3，故CD=23故SH=SO2-OH2=2故答案为3七球的截面问题如图，正四面体ABCD的棱长为

11、a，点E、F分别是棱BD、BC的中点，则平面AEF截该正四面体的内切球所得截面的面积为_.【解析】根据题意知,平面AEF截该正四面体的内切球所得截面一定是圆，设圆心为P，内切球的球心为O，作平面,则为底面三角形的中心在等边三角形中,在中,由勾股定理知,由图可知,为四面体外接球的半径,设在中,由勾股定理可得,解得所以正四面体ABCD的内切球半径为,因为OPAM，,所以，又因为由AM2NM2+AN2可得AM，即,解得OP平面AEF截该正四面体的内切球所得截面圆半径r1平面AEF截该正四面体的内切球所得截面的面积为已知三棱锥的所有顶点在球的球面上，平面，是等腰直角三角形，是的中点，过点作球的截面，则

12、截面面积的最小值是_.【解析】点是的外心，过点作平面使是外接球球心，半径设为，在直角梯形中，得过点作球的截面当截面时，截面面积最小，此时截面圆的半径为截面面积的最小值是八内切球问题图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为_.【解析】如图（2）作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上过点，分别作AD，BC的垂线，垂足分别为E，F设球的半径为r，球的半径为R由，得，九翻折问题与球在平行四边形中，且，以为折痕，将折起，使点到达点处，且满足，则三棱锥的外接球的表面积为_.【解析】解：在中，且由余弦定理，得即：，解得：在四面体中，三组对棱长相等，可将四面体放在长方体中设长方体的相邻三棱长分别为，设外接球半径为则，则，即，所以所以，四面体外接球的表面积为：在矩形中，为的中点，将和分别沿，翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_.【解析】由题意可知，所以可得面，设外接圆的半径为，由正弦定理可得，即，设三棱锥外接球的半径，因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，则，所以外接球的