专题16：固定累加型规律问题（老师版）

1、专题16：固定累加型规律问题-2022年中考数学解题方法终极训练一、单选题1找出以下图形变化的规律，则第 2022 个图形中黑色正方形的数量是（ ）A3030B3031C3032D3033【答案】D【解析】观察前几个图形的黑色正方形的数量2、3、5、6、8得出变化规律： 当n为偶数时，第n个图形的黑色正方形的数量为（）个，当n为奇数时，第n个图形的黑色正方形的数量为（）个，据此规律求解即可【详解】解：观察前几个图形可知：第1个图形中黑色正方形的数量是2，第2个图形中黑色正方形的数量是3，第3个图形中黑色正方形的数量是5，第4个图形中黑色正方形的数量是6，第5个图形中黑色正方形的数量是8，得出规

2、律：当n为偶数时，第n个图形的黑色正方形的数量为（）个，当n为奇数时，第n个图形的黑色正方形的数量为（）个，第 2022 个图形中黑色正方形的数量是=3033个，故选：D【点评】本题考查图形的变化规律探究，正确得出变化规律是解答的关键2下面由火柴棒拼出的一列图形中，第1个图形有4根火柴棒，第2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火荣棒，则第7个图形有（）根火柴棒A16B22C15D21【答案】B【解析】根据变化规律，后一个图形比前一个图形多3根火柴棒，然后写出第n个图形的表达式从而可得结论【详解】解：第1个图形中有4根火柴棒；第2个图形中有4+3=7根火柴棒；第3个图形中有4+32=10根火

3、柴棒；第n个图形中火柴棒的根数有4+3（n-1）=（3n+1）根火柴棒当n=7时，3n+1=21+1=22故选：B【点评】本题是对图形变化规律的考查，比较简单，观察出后一个图形比前一个图形多3根火柴棒是解题的关键3用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：第一个图中有6枚棋子，第二个图中有9枚棋子，第三个图中有12枚棋子，第四个图中有15枚棋子，若第n个图中有2019枚棋子，则n的值是（ ）A670B671C672D673【答案】C【解析】仔细观察，可以发现，每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，根据这一规律得出第n个图形中的棋子数与n的关系，然后代入数值解方程即可求解【详解】解：观察发现：

4、每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，所以第n个图形中的棋子数为3+3n，由3+3n=2019得：n=672，故选：C【点评】本题考查探索图形的变化规律、解一元一次方程，解答的关键是发现第n个图形中棋子个数与n的关系4按一定规律排列的单项式，第（为正整数）个单项式是（）ABCD【答案】B【解析】根据每一项的系数、字母指数的变化规律得出答案【详解】解：a（1）21a1，（1）32 a2，（1）43 a3，（1）54 a4，第n（n为正整数）为故选：B【点评】本题考查算术平方根，数字的变化美，探索和发现每一项的系数、字母指数的变化规律是得出正确答案的关键5按图示的方式摆放餐桌和椅子，图1中共有6

5、把椅子，图2中共有10把椅子，按此规律，则图7中椅子把数是（）A28B30C36D42【答案】B【解析】观察图形变化，得出n张餐桌时，椅子数为4n+2把（n为正整数），代入n7即可得出结论【详解】解：1张桌子可以摆放的椅子数为：2+146，2张桌子可以摆放的椅子数为：2+2410，3张桌子可以摆放的椅子数为：2+3414，n张桌子可以摆放的椅子数为：2+4n，令n7，可得2+4730（把）故选：B【点评】此题考查图形类规律探究，列式计算,根据图形的排列总结规律并运用解决问题是解题的关键6如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第个图案有4个三角形和1个正方形，第个图

6、案有7个三角形和2个正方形，第个图案有10个三角形和3个正方形，依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n=（）A504B505C506D507【答案】B【解析】根据图形的变化规律、正方形和三角形的个数可发现第个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个，进而可求得当时的值【详解】解：第个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个；第个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个；第个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个；第个图案有个三角形和个正方形，正三角形和正方形的个数共有个；第个图案有个三角形和个正方形，正三角

7、形和正方形的个数共有个 第个图案中正三角形和正方形的个数共有个故选择：B【点评】本题考查了图形变化类的规律问题、利用一元一次方程求解等，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律二、填空题7观察下列的“蜂窝图”2021个图案中的“”的个数是_【答案】6064【解析】通过分析前面4个，可以发现后一个图形比前一个图形中的“”的个数多3个，利用此规律，即可出第2021个图案中的“”的个数【详解】解：通过观察可以发现：第1个有4个，第2个有7个，第3个有10个，第4个有13个，由此可知，后一个图形比前一个图形要多三个“”，故第n个图形中的“”的个数为：个当时，有个故答案为：6064【点评】本题主要是考查了

8、图形类的规律问题，通过观察前几个图形，找到对应规律，进而求得第个图形对应的个数，这是解决此类问题的重点8如图，将n个边长都为1的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为_【答案】【解析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n-1）个阴影部分的和【详解】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：故答案为：【点评】本题考查了正方形的性质，解题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方

9、法，难点是求得一个阴影部分的面积9如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去若点，则点的坐标为_【答案】【解析】由勾股定理可计算出AB的长，其周长为p=6，AOB经过3次旋转后点B2的横坐标为OA+AB+OB=p=6，即为三角形的周长，纵坐标为2，即B2(6，2)；再经过3次旋转后点B4的横坐标为2(OA+AB+OB)=2p=12，即为三角形的周长2倍，纵坐标为2，即B4(12，2)；再经过3次旋转后点B6的横坐标为3（OA+AB+OB）=3p=18，即为三角形的周长的

10、3倍，纵坐标为2，即B6(18，2)；一般地，AOB经过3n次旋转后点B2n的横坐标为n（OA+AB+OB）=np=6n，即为三角形的周长的n倍，纵坐标为2，B2n(6n，2)从而根据规律可求得B2022的坐标【详解】，在RtAOB中，由勾股定理得：AOB的周长为AOB经过3次旋转后点B2的横坐标为OA+AB+OB=p=6，即为三角形的周长，纵坐标为2，即B2(6，2)；AOB再经过3次旋转后点B4的横坐标为2(OA+AB+OB)=2p=12，即为三角形的周长2倍，纵坐标为2，即B4(12，2)；再经过3次旋转后点B6的横坐标为3（OA+AB+OB）=3p=18，即为三角形的周长的3倍，纵坐标

11、为2，即B6(18，2)；一般地，经过3n次旋转后点B2n的横坐标为n（OA+AB+OB）=np=6n，即为三角形的周长的n倍，纵坐标为2，即B2n(6n，2)2022是偶数B2022(6066，2)故答案为：【点评】本题是平面直角坐标系中坐标规律探索问题，先由特殊情况出发，得出一般性规律，再回到特殊情况，体现了数学中的归纳思想，这是问题的关键注意数形结合10如图，点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，第4次从点向右移动12个单位长度至点，依此类推这样第_次移动到的点到原点的距

12、离为2021【答案】1347【解析】根据前几次移动得出的数据，得到移动次数为奇数和偶数时的规律，根据移动的奇次与偶次分别列出方程即可求解【详解】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点B，则B表示的数，132；第2次从点B向右移动6个单位长度至点C，则C表示的数为2+64；第3次从点C向左移动9个单位长度至点D，则D表示的数为495；第4次从点D向右移动12个单位长度至点E，则E表示的数为-5+127；由以上数据可知，当移动次数n为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：1-3+6-9+12-15+3(n-1)-3n=1+(6-3)+(12-9)+3(n-1)-3(n-2)-3n=1+（3n+1），当

13、移动次数n为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：1-3+6-9+12-3(n-1)+3n=1+(6-3)+(12-9)+3n-3(n-1)=1+=，当移动次数为奇数时，（3n+1）2021，n，当移动次数为偶数时，2021，n（舍去）故答案为：1347【点评】本题考查与数字相关的规律问题，根据前几次的数据得出规律的代数式，根据移动的奇次与偶次分别列出方程是解题的关键11如图是一组有规律的图案，第1个图形（如图1）由4个组成，第2个图形（如图2）由7个组成，第3个图形（如图3）由10个组成，第4个图形（如图4）由13个组成，则第6个图形由_个组成，第n（n为正整数）个图形由_个组成【答案】 19

14、（3n+1）#（1+3n）【解析】仔细观察图形可知：第一个图形有32-3+1=4个三角形；第二个图形有33-3+1=7个三角形；第三个图形有34-3+1=10个三角形，据此进一步代入求得答案即可【详解】解：观察发现：第一个图形有32-3+1=4个三角形；第二个图形有33-3+1=7个三角形；第三个图形有34-3+1=10个三角形；第n个图形有3（n+1）-3+1=3n+1个三角形；当n=6时，3n+1=36+1=19，故答案为：19；（3n+1）【点评】此题考查了规律型：图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的12观察下列各式：（x1）（x+1）x21；

15、（x1）（x2+x+1）x31；（x1）（x3+x2+x+1）x41；根据这一规律计算：22020+22019+22018+22+2+1的结果是_【答案】220211【解析】观察一系列等式得到一般性规律，利用得出的规律（x1）（xn+xn-1+x+1）=xn+11，把x=2，n=2020代入计算即可，【详解】解：根据题意得：（x1）（xn+xn-1+x+1）=xn+11，把x=2，n=2020代入得，22020+22019+22018+22+2+1=（21）（22020+22019+22018+22+2+1），=220211故答案为：220211【点评】本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计

16、算中的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键三、解答题13若干个有规律的数，排列如下：试探究：(1)第2012个数在第几行？这个数是多少？（每行的数都是从左往右数）(2)写出第n行第k个数的代数式；（用含n，k的式子表示）(3)求第2012个数所在行的所有数之和S【答案】(1)第63行，这个数为358；(2)（1）n+13k1；(3)【解析】每一行的数的个数和行数都是相同的，奇数行的数字都是3n1，偶数行的数字都是（3）n1，统一为（1）n+13n1；（1）设第2012个数在第n行，则1+2+3+n，估算得出答案即可；（2）有以上分析直接写出即可；（3）写出第2012个数所在行的所有数，进一步

17、求和即可(1)解：每一行的数的个数和行数都是相同的，奇数行的数字都是3n1，偶数行的数字都是（3）n1，设行数为n，数字个数为， =1+2+3+n，当n=62时，1953；当n=63时，2016；195320122016，所以第2012个数在第63行，从左往右数第2012195359个，这个数为358；(2)解：由以上分析可直接写出为（1）n+13k1；(3)解：S1+3+32+3623S3+32+362+363由得 2S3631S1+3+32+362 【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出规律，解决问题14把2100个连续的正整数1、2、3、2100，按如图方式排成一个数表

18、，如图用一个正方形框在表中任意框住4个数，设左上角的数为x（1）另外三个数用含x的式子表示出来，从小到大排列是 ；（2）被框住4个数的和为416时，x值为多少？（3）能否框住四个数和为324？若能，求出x值，若不能，说明理由；（4）从左到右，第1至第7列各数之和分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，求7个数中最大的数与最小的数之差【答案】（1）x+1、x+7、x+8；（2）x值为100；（3）不存在用正方形框出的四个数的和为324，见解析；（4）7个数中最大的数与最小的数之差为1800【解析】（1）根据数表的排列，可用含x的代数式表示出其它三个数；（2）根据四个数之和为416，可得出

19、关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再由x不在第7列即可得出结论；（3）根据四个数之和为324，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再由x在第7列即可得出不存在用正方形框出的四个数的和为324；（4）根据数表的排布，可得出总共300行其每行最右边的数比最左边的数大6，用其300即可得出结论【详解】解：（1）观察数表可知：另外三个数分别为x+1、x+7、x+8故答案为：x+1、x+7、x+8（2）设正方形框出的四个数中最小的数为x，根据题意得：x+（x+1）+（x+7）+（x+8）416，解得：x100100147+2，100为第2列的数，符合题意答：被框住4个数的和为416时

20、，x值为100（3）设正方形框出的四个数中最小的数为x，依题意得根据题意得：x+（x+1）+（x+7）+（x+8）324，解得：x77，77117，77为第7列的数，不符合题意，不存在用正方形框出的四个数的和为324（4）本数表共2100个数，每行7个数，共排300行，即有7列，每列共300个数，每一行最右边的数比最左边的数大6，a7a16（21007）1800答：7个数中最大的数与最小的数之差为1800【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，解题的关键是：（1）根据数表中数的规律找出其它三个数；（2）由四个数之和为416，列出一元一次方程；（3）由四个数之和为324，列

21、出一元一次方程；（4）根据数表中数的规律，找出每行最右边数比最左边数大615用火柴棒按下图中的方式搭图形（1）按图示规律填空：图形符号火柴棒根数（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要 根火柴棒？【答案】（1）4；6；8；10；12；（2）（2+2n）【解析】（1）由图形发现，后面的图形都比前面相邻的图形多2根火柴棒，由此计算得出答案即可；（2）利用表中的规律得出一般的规律即可【详解】解：（1）填表如下：图形符号火柴棒根数4681012（2）搭第n个图形需要（2n+2）根火柴故答案为：（2n+2）【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，进一步利用规律解决问题16请观察下列

22、等式，找出规律并回答以下问题，（1）按照这个规律写下去，第5个等式是：_；第n个等式是：_（2）计算：若a为最小的正整数，求：【答案】（1），；（2）；【解析】（1）根据规律可得第5个算式；根据规律可得第n个算式；（2）根据运算规律可得结果利用非负数的性质求出与的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果【详解】（1）根据规律得：第5个等式是，第n个等式是；（2），；为最小的正整数，原式，【点评】本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键17用数学猜想解决问题数学猜想是依据已知条件或已有结论，运用实验、观察、归纳、类比的方法，对研究的问题做出由特殊到一般的归纳推测数学猜想是

23、问题解决的常用方法，也是数学发展的重要思维形式【探究活动】观察下列等式：第1个等式：a1；第2个等式：a2；第3个等式：a3第4个等式：a4（1）按以上规律列出第5个等式：a5 ；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an = （n为正整数）；（3）猜想下列算式的结果（直接写结果） 【拓展应用】（4）仿照上面的探究过程求的值【答案】（1），；（2），；（3）；（4）【解析】（1）根据题目所给的式子进行求解即可；（2）根据；即可得到；（3）根据即可得到，由此进行求解即可；（4）根据，即可得到，则，然后根据进行求解即可【详解】解：（1）由题意得：，故答案为：，；（2）；，故答案为：，；（3），故答案为：；（4），【点评】本题主要考查了数字类的变化规律，找出数字之间的运算规律是解题的关键18下列是用火柴棒拼出的一列图形仔细观察，找出规律，解答下列各题： （1）第5个图中共有_根火柴；（2）第个图形中共有_根火柴（用含的式子表示）；（3）请计算第2021个图形中共有多少根火柴？【答案】（1）16；（2）；（3）6064【解析】（1）观察图形发现规律：每个图形比前一个图形多3根火柴，进而求解；（2）根据每个图形比前一个图形多3根火柴，总结规律即可；（3）将代入（2）中代数式求解即可【详解】（1