《自动控制理论》第五章 重点与难点

1、PAGE PAGE 157第5章 线性系统的频域分析法 重点与难点一、基本概念1. 频率特性的定义设某稳定的线性定常系统，在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量为同频率的正弦函数，其振幅与输入正弦信号的振幅之比称为幅频特性，其相位与输入正弦信号的相位之差称为相频特性。系统频率特性与传递函数之间有着以下重要关系：2. 频率特性的几何表示用曲线来表示系统的频率特性，常使用以下几种方法：（1）幅相频率特性曲线：又称奈奎斯特（Nyquist）曲线或极坐标图。它是以为参变量，以复平面上的矢量表示的一种方法。（2）对数频率特性曲线：又称伯德（Bode）图。这种方法用两条曲线分别表示幅频特性和相频特性。横坐标

2、为，按常用对数lg分度。对数相频特性的纵坐标表示，单位为“”（度）。而对数幅频特性的纵坐标为，单位为dB。（3）对数幅相频率特性曲线：又称尼柯尔斯曲线。该方法以为参变量，为横坐标，为纵坐标。3. 典型环节的频率特性及最小相位系统（1）惯性环节：惯性环节的传递函数为其频率特性 对数幅频特性 (5.1)其渐近线为 (5.2)在=1处，渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为3dB。对数相频特性 (5.3)其渐近线为 (5.4)当=0.1时，有 (5.5)当=10时，有 (5.6)由式（5.5）、式（5.6）得 因此： (5.7)（2）振荡环节：振荡环节的传递函数为其频率特性对数幅频特性 (5.8)其渐

3、近线为 (5.9)当时，在 处渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为。对数相频特性 （3）不稳定环节：不稳定环节的传递函数为其频率特性 对数幅频特性 其渐近线为对数相频特性为 其渐近线为（4）不稳定环节：不稳定环节的传递函数为其频率特性 对数幅频特性 其渐近线为对数相频特性 各典型环节的奈奎斯特图，零极点分布图及伯德图分别如图5-1、图5-2及图5-3所示。表5-1给出了典型环节频率特性的汇总。（5）最小相位系统：开环稳定的系统称为最小相位系统。4. 奈奎斯特稳定性判据反馈控制系统闭环极点在的右半平面的个数式中为系统开环极点在右半平面的个数；为开环幅相曲线（0，+）逆时针包围点（-1，j0）的圈

4、数。式中 为正穿越次数和正半次穿越的和；为负穿越次数和负半次穿越的和。判断：若，则系统稳定；若，则系统不稳定。正穿越：随着的增大，开环幅相曲线逆时针穿越点（-1，j0）左侧的负实轴，记为一次正穿越。负穿越：随着的增大，开环幅相曲线顺时针穿越点（-1，j0）左侧的负实轴，记为一次负穿越。半次穿越：开环幅相曲线起始于（或终止于）点（-1，j0）左侧的负实轴。若沿逆时针方向离开（或终止于）负实轴，记为半次正穿越；若沿顺时针方向离开（或终止于）负实轴，记为半次负穿越。半次穿越次数应为1/2。5. 稳定裕量当开环系统稳定时，系统相对稳定性由下述两个指标来度量：（1）幅值裕量：当系统开环相频特性为-180

5、时，系统开环频率特性幅值的倒数定义为幅值裕量，所对应的频率称为相角交界频率。即（2）相位裕量: 当系统开环频率特性的幅值为1时，系统开环频率特性相角与180的和定义为相位裕量，所对应的频率称为系统截止频率。即满足。6. 对数频率稳定性判据 按以下三种情况分别讨论系统的稳定性问题。图5-1 奈奎斯特曲线图 图5-2 零极点配置图 图5-3 伯德图（1）开环对数幅频特性与0dB线只有一个交点，且开环传递函数的零点在s左半平面。假定单位反馈系统的开环传递函数为其中，的根均在的左半平面，0，0，0；当=0时，1，常数项为1。这时系统的稳定性判据可描述为：闭环系统稳定的充分必要条件是穿越0dB线的频率所

6、对应的开环对数相频特性大于-180。其相位裕量为。表5-1 典型环节典型环节幅相频率特性幅频特性相位频率特性放大环节KK0o积分环节-90o微分环节s+90o惯性环节一阶微分环节振荡环节不稳定环节表5-1 典型环节幅相频率特性曲线对数幅频特性相位频率特性对数幅频特性曲线相频特性曲线0O-90O+90o （2）开环对数幅频特性与0dB线只有一个交点（一般情形），单位反馈系统的开环传递函数可描绘为式中 0，0；当=0时，。这时系统的稳定性判据可描绘为：当为奇数时闭环系统不稳定；当为0或偶数时闭环系环稳定的充分必要条件是穿越0dB线的频率所对应的开环对数相频特性大于；其相位裕量为，幅值裕量为。其中，

7、为开环相频特性；为相频特性与线的交点。（3）系统的开环传递函数中有在右半平面的复数零极点的情形。当系统的开环传递函数中有在右半平面的复数零极点时，开环传递函数可写成式中 0，0；当=0时，。 判据如下：当为奇数时系统不稳定，当为零或偶数时闭环系统稳定的充要条件是穿越0dB线频率所对应的开环对数相频特性大于；系统的相位裕量为，幅值裕量为。其中，为开环相频特性；为相频特性与线的交点。7. 尼柯尔斯曲线若将开环频率特性表示 闭环频率特性表示为 则按下式做等曲线。按下式做等曲线。 8. 带宽频率和带宽对于I型及I型以上的系统则称为带宽频率。9. 谐振峰值及频率若 则 称谐振峰值，称为峰值频率。相位裕量

8、，截止频率与及的关系为式中 10. 在动态误差系数确定中的应用若系统误差传递函数为式中 的极点均在s左半平面。系统单位阶跃输入作用下的动态误差可写成将 看作输入的拉氏变换，将看作专递函数，求相应的正弦响应便可得到动态误差。二、基本要求（1）运用频率特性分析系统的稳态响应。（2）确定系统的动态误差系数。（3）做Nyquist曲线图，Bode图。（4）稳定性判据。（5）相位裕量、幅值裕量的计算。（6）闭环频率特性的基本知识和有关指标。（7）系统指标的近似估算。（8）用实验数据确定传递函数，由Bode图得到系统的传递函数。三、重点与难点1. 重点（1）开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐标图)；（2）奈奎斯特稳定判据；（3）开环频率特性指标；（4）闭环频率特性指标。2. 难点（1）非最小相位系统相频特性；（2）奈奎斯特路径有变化时奈奎斯特稳定判据的应用； （3）截止频率的计算 的确定对于计算系统的相位裕量至关重要，是本章计算内容的重点和难点。的计算可按以下步骤进行。 按分段描述方法，写