高二数学教案：12《独立性检验的基本思想及其初步应用》

1、1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 老师用书独具 三维目标1学问与技能明白独立性检验的基本思想、方法及初步应用会从列联表只要求2 2 列联表 、柱形图、条形图直观分析两个分类变量是否有关会用 程度上的相关性2过程与方法K 2 公式判定两个分类变量在某种可信运用数形结合的方法,借助对典型案例的探究,来明白独立性检验的基本思想,总结独 立性检验的基本步骤3情感、态度与价值观 1 通过本节课的学习,让同学感受数学与现实生活的联系,休会独立性检验的基本思想在解决日常生活问题中的作用合理推断的实事求是的好习惯 重点难点2 培育同学运用所学学问,依据独立性检验的思想作出重点：懂得独立性检验的基本思想

2、及实施步骤难点：明白独立性检验的基本思想、明白随机变量 K 2 的含义分别利用 2 2 列联表、等高条形图、K 2 公式分析两变量之间的关系,探究解题方法和 规律,充分懂得观测值 k 的意义,能娴熟正确地对问题作出判定,达到化难为易的目的 老师用书独具 教学建议 通过对典型案例“ 吸烟是否对患肺癌有影响？” 的提出,联系生活,引起共鸣,激发学 生的学习爱好从生活的实例动身,让同学充分体会数学与实际生活的联系,从而使得本节 学问的形成更自然、更生动要留意同学的主体参加,努力创设老师引导下的同学自主探 究、合作沟通的学习方式建议在教学过程中,老师点拨、同学探讨,共同完成例题的解 答要留意数学的思想

3、性,采纳反证法做类比,帮忙同学懂得独立性检验的思想,通过课堂 练习,检验同学能否娴熟把握用独立性检验思想解决实际问题的方法 教学流程 通过典型案例“ 吸烟是否与患肺癌有关系” 的争论,介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用创设问题情境引出列联表、等高条形图和K 2 公式等基础学问利用填一填的形式,使同学自主学习本节基础学问,并反馈明白,对懂得有困难的概念加以讲解引导同学在学习基础学问的基础上分析解决例题1 的问题,并总结规律方法,完成变式训练引导同学分析例题2,依据图中的数据运算出各类变量对应的频率,作出等宽且高度均为 1 的条形图并通过图形作出判定,完成变式训练完成当堂双基达标,巩固所学

4、学问及应用方法,并进行反馈矫正归纳整理,进行课堂小结,整体熟悉本节所学学问,强调重点内容和规律方法要求同学借鉴例题 3 的解法完成变式训练给出易错辨析题目及错解,让同学争论错因,并给出正确解答引导学生探究例题 3 的解法, 1 直接由表中数据代入公式,作出判定2 列出列联表,由公式计 算 观 测 值,作 出 判 断解 后 让 学 生 总 结 规 律 方法 .1. 明白独立性检验的基本思想、方法及其简洁应用 重点 课标解读 2通过收集数据,并依据独立性检验的原理作出合理推断,培育学生良好的思维习惯 难点 分类变量与列联表【问题导思】吸烟变量有几种类别？国籍变量呢？【提示】吸烟变量有吸烟与不吸烟两

5、种类别,而国籍变量就有多种类别,如中国、美国、法国 ,.1分类变量变量的不同“ 值” 表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量2列联表1 定义：列出的两个分类变量的频数表,称为列联表22 2列联表：一般地,假设有两个分类变量X 和 Y,它们的取值分别为 x1,x2 和 y1,y2 ,其样本频数列联表 称为 2 2 列联表 为：2 2 列联表y1y2总计x1a b abx2c d cd总计a c bd a bcd等高条形图【问题导思】表格和图形哪一个更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响？【提示】图形1 定义：将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来,其中两列的数据分 别对应不

6、同的颜色,这就是等高条形图2 特点：等高条形图与表格相比,更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,常用等高条形图展现列联表数据的频率特点3 用法：观看等高条形图发觉a ab和c cd相差很大,就判定两个分类变量之间有关系独立性检验1 定义：利用随机变量K 2 来判定“ 两个分类变量有关系” 的方法称为独立性检验量2 公式： K 2abnad bc2bd,其中n ab c d 为样本容.cda c用 2 2 列联表分析两变量间的关系在对人们饮食习惯的一次调查中,共调查了124 人,其中六十岁以上的70人,六十岁以下的 54 人六十岁以上的人中有 43 人的饮食以蔬菜为主,另外 27 人就以肉

7、类为主；六十岁以下的人中有 21 人饮食以蔬菜为主,另外 33 人就以肉类为主请依据以上a c数据作出饮食习惯与年龄的列联表,并利用 ab与 cd判定二者是否有关系【思路探究】对变量进行分类求出分类变量的不同取值作出 2 2 列联表运算a cab与 cd的值作出判定【自主解答】2 2 列联表如下：饮食以蔬菜为主年龄在六年龄在六总计十岁以上十岁以下64 4321饮食以肉类为主273360 总计7054124 将表中数据代入公式得a abc cd43 640.671 875. 27 600.45. 明显二者数据具有较为明显的差距,据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系1作 2 2 列联表时,

8、留意应当是4 行 4 列,运算时要精确无误2作 2 2 列联表时,关键是对涉及的变量分清类别题中条件不变,尝试用| adbc| 的大小判定饮食习惯与年龄是否有关【解】将本例 2 2 列联表中的数据代入可得| adbc| |43 3321 27| 852. 相差较大,可在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系 . 用等高条形图分析两变量间的关系某学校对高三同学作了一项调查,发觉：在平常的模拟考试中,性格内向的学生 426 人中有332 人在考前心情紧急,性特别向的同学594 人中有213 人在考前心情紧张作出等高条形图,利用图形判定考前心情紧急与性格类别是否有关系【思路探究】作出 2 2 列联表 依

9、据列联表数据作等高条形图 对比乘积的差距判定两个分类变量是否有关【自主解答】作列联表如下：考前心情紧急性格内向性特别向总计332213545 考前心情不紧急94381475 总计4265941 020 相应的等高条形图如下列图：图中阴影部分表示考前心情紧急与考前心情不紧急中性格内向的比例从图中可以看出,考前紧急的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧急样本中性格内向占的比例高,可以认为考前紧急与性格类型有关1利用列联表中数据运算出各类变量取值对应频率,作出等宽度且高度均为 1 的等高条形图2利用数形结合的思想,借助等高条形图来判定两个分类变量是否相关是判定变量相关的常见方法之一一般地,在等高条形

10、图中,a a b与c cd相差越大,两个分类变量有关系的可能性就越大作等高条形图时可以用列联表来查找相关数据,作图要精确,且易于观察,使对结论的判定不显现偏差某生产线上,质量监督员甲在生产现场时,990 件产品中有合格品982 件,次品8件；不在生产现场时,510 件产品中有合格品493 件,次品17 件试利用图形判定监督员甲在不在生产现场对产品质量好坏有无影响【解】依据题目所给数据得如下2 2 列联表：次品数总计合格品数甲在生产现场9828990 甲不在生产现场49317510 总计1 475251 500 相应的等高条形图如下列图图中两个深色条的高分别表示甲在生产现场和甲不在生产现场样本中

11、次品数的频率从 图中可以看出,甲不在生产现场样本中次品数的频率明显高于甲在生产现场样本中次品数的 频率因此可以认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系 . 独立性检验 下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：洁净水得病不得病总计52466518 不洁净水94218312 总计146684830 1 这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关,请说明理由；2 如饮用洁净水得病的有 5 人,不得病的有 50 人,饮用不洁净水得病的有 9 人,不得 病的有 22 人按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关,并比较两种样本在反映总体 时的差异【思路探究】求出 k 2 的值与临界值作比较作出判定【

12、自主解答】1 假设 H0：传染病与饮用水无关把表中数据代入公式得：2830 52 218466 94 K 2的观测值 k146 684 518 31254.21.在 H0成立的情形下,P K 210.828 0.001 ,是小概率大事,所以拒绝 H0. 因此我们有 99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不洁净水有关2 依题意得 2 2 列联表：洁净水得病不得病总计55055 此时, K 2 的观测值 k不洁净水92231 总计147286 86 5 2250 925.785.14 72 55 31由于 5.7855.024 ,P K 25.024 0.025 ,所以我们有 97.5%的把握

13、认为该种疾病与饮用不洁净水有关两个样本都能统计得到传染病与饮用不洁净水有关这一相同结论,但 1 中我们有99.9%的把握确定结论的正确性,2 中我们只有 97.5%的把握确定解决一般的独立性检验问题的步骤：1 通过列联表确定 a、 b、c、d、n 的值,依据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；2 利用 K 2abnadbc2bd求出 K 2的观测值 k； ；1 cdac3 假如kk0,就推断“ 两个分类变量有关系” ,这种推断犯错误的概率不超过否就就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“ 两个分类变量有关系” 某社区医疗服务部门为了考察人的高血压病是否与食盐摄入量有关,对该社区的633

14、人进行了跟踪测查,得出以下数据：喜爱较咸食物患高血压未患高血压合计34220254 喜爱清淡食物261 3531 379 合计601 5731 633 问能否判定在犯错误的概率不超过0.001 的前提下,认为患高血压与食盐摄入量有关？【解】提出假设 H0：该社区患有高血压病与食盐的摄入量无关由公式运算 K 2的观测值为2k1 633 34 1 353 220 26 60 1 573 254 1 37980.155.由于 80.155 10.828 ,因此在犯错误的概率不超过0.001的前提下,我们认为该社区患有高血压病与食盐的摄入有量关.因未懂得 P K 2k0 的含义而致误某学校在对 232

15、 名学校生调查中发觉：180 名男生中有 98 名有多动症,另外82 名没有多动症,52 名女生中有 2 名有多动症,另外 50 名没有多动症,用独立性检验方法判定多动症与性别是否有关系？【错解】由题目数据列出如以下联表：总计 180 52 232 多动症无多动症男生9882女生250总计100132k232 98 502 82242.11710.828.100 132 180 52所以有 0.1%的把握认为多动症与性别有关系【错因分析】应当是有 1 P K 210.828 100% 1 0.001 100%的把握,而不是 P K 210.828 100%0.001 100%的把握【防范措施】

16、此题的错误之处在于不能正确懂得独立性检验步骤的含义,当运算的K 2 的观测值 k 大于临界值 k0 时,就可推断在犯错误的概率不超过 的前提下说两分类变量有关系这一点需牢记,才能防止类似错误【正解】由题目数据列出如以下联表：无多动症总计多动症男生9882180 女生25052 总计100132232 由表中数据可得到：k232 98 502 82242.11710.828.100 132 180 52所以有 99.9%的把握认为多动症与性别有关系1列联表与等高条形图 列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有关联关系,而利用等高条形图能形象直观地反映它们之间的差异,进而推断它

17、们之间是否具有关联关系2对独立性检验思想的懂得独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法先假设“ 两个分类变量没有关系” 成立,运算随机变量K 2 的值,假如K 2 值很大,说明假设不合理K 2 越大,两个分类变量有关系的越可能性大.1在争论吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据、整理分析数据得“ 吸烟与患肺癌有 关” 的结论,并且在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为这个结论是成立的,以下说法 中正确选项 A100 个吸烟者中至少有 99 人患有肺癌 B1 个人吸烟,那么这个人有 99%的概率患有肺癌 C在 100 个吸烟者中肯定有患肺癌的人 D在 100 个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有

18、【解析】独立性检验的结果与实际问题有差异,即独立性检验的结论是一个数学统计量,它与实际问题中的确定性存在差异【答案】D 22022 威海高二检测 分类变量 X 和 Y 的列联表如下,就 y1 y2 总计x1 a b abx2 c d cd总计 a c bd a bcdA.adbc 越小,说明 X 与 Y 的关系越弱Badbc 越大,说明 X与 Y 的关系越强C ad bc 2 越大,说明 X 与 Y 的关系越强D ad bc 2 越接近于 0,说明 X与 Y 的关系越强【解析】由 K 2的运算公式可知, adbc 2越大,就 K 2越大,故相关关系越强【答案】C 3观看以下各图,其中两个分类变

19、量 x、y 之间关系最强的是 【解析】在四幅图中, D 图中两个深色条的高相差最明显,说明两个分类变量之间关系最强【答案】D 4为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了 下表所示：339 名 50 岁以上的人,调查结果如吸烟患慢性气管炎未患慢性气管炎合计43162205 不吸烟13121134 合计56283339 【解】从题目的2 2 列联表中可知：a 43, b 162,c 13, d121,a b205, cd134,ac56,bd283,nabcd 339,代入公式：K 2abnadbc2bd,50 岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有c dac得 k339 43 121162 132

20、7.469.205 134 56 283由于 7.4696.635 ,所以我们有99%的把握认为关系 .一、挑选题1有两个分类变量 X 与 Y 的一组数据,由其列联表运算得 k4.523 ,就认为“X 与 Y有关系” 犯错误的概率为 A95% B90% C 5% D10% 【解析】P K 23.841 0.05 ,而 k4.5233.841. 这说明认为“X 与 Y 有关系” 是错误的可能性约为 0.05 ,即认为“X 与 Y有关系” 犯错误的概率为 5%. 【答案】C 22022 大连高二检测 在一项中同学近视情形的调查中,某校男生 150 名中有 80 名近视,女生 140 名中有 70

21、名近视,在检验这些中同学眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力 A平均数与方差 B回来分析C独立性检验 D概率【解析】判定两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验,应选 C. 【答案】C 3利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和 Y 是否有关系时,通过查阅临界值表来确定推断“X 与 Y 有关系” 的可信度,假如k5.024 ,那么就推断“X 和 Y有关系” ,这种推断犯错误的概率不超过 B0.75 A0.25 C0.025 D0.975 【解析】P k5.024 0.025 ,故在犯错误的概率不超过0.025的条件下,认为“ X 和 Y 有关系” 【答案】C 4下面是调查某地区男

22、女中同学喜爱理科的等高条形图,阴影部分表示喜爱理科的百分比,从图中可以看出 图 121 A性别与喜爱理科无关B女生中喜爱理科的比为 80% C男生比女生喜爱理科的可能性大些D男生不喜爱理科的比为 60% 【解析】此题考查同学的识图才能,从图中可以分析,男生喜爱理科的可能性比女生大一些【答案】C 5在调查中发觉 480 名男人中有 38 名患有色盲, 520 名女人中有 6 名患有色盲以下说法正确选项 A男、女患色盲的频率分别为 0.038,0.006 B男、女患色盲的概率分别为 240, 3 260C男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大,患色盲与性别是有关的D调查人数太少,不能说明色盲与性

23、别有关|【解析】男人中患色盲的比例为38 480,要比女人中患色盲的比例6 520大,其差值为38 4806 520| 0.0 676 ,差值较大【答案】C 二、填空题6某班主任对全班 50 名同学作了一次调查,所得数据如表：认为作业多 认为作业不多 总计喜爱玩电脑嬉戏 18 9 27 不喜爱玩电脑嬉戏 8 15 23 总计 26 24 50 由表中数据运算得到 K 2 的观测值 k5.059 ,于是 _ 填“ 能” 或“ 不能” 在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为喜爱玩电脑嬉戏与认为作业多有关【解析】查表知如要在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为喜爱玩电脑嬉戏与认为作业多有