河南省信阳市普通高中2021-2022学年高二数学第二学期期末调研试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数，且，则曲线在处的切线方程为（ ）ABCD2在一次期中考试中，数学不及格的人数占，语文不及格占，两门都不及格占，若一名学生语文及格，则该生数学不及格的概率为（ ）ABCD3大学生小红与另外3名大学生一起分配到乡镇甲、乙、丙3个

2、村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小红恰好分配到甲村小学的方法数为（ ）A3B18C12D64在用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为”时，第一步验证的等于（ ）A1B3C5D75函数的单调递增区间是（）ABCD62019年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演.学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1名学生，中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（ ）A720B360C270D1807甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）A36种B48种C96种D192种8

3、直线与抛物线交于，两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（ ）ABC4D29若函数在处取得极小值，则的最小值为（ ）A3B4C5D610一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A乙 B甲 C丁 D丙11执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A3B5C7D912如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC内，曲和曲线围成一个叶形图阴影部分，

4、向正方形AOBC内随机投一点该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数f(x)=|lnx|,014如图所示，阴影部分为曲线与轴围成的图形，在圆：内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为_15球的半径为，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为和，则这两个平面之间的距离是_.16已知在平面内，点关于轴的对称点的坐标为.根据类比推理，在空间中，点关于轴的对称点的坐标为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知数列满足，且（1）求证数列是等差数列，并求数

5、列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.18（12分）已知函数在与时都取得极值（1）求的值与函数的单调区间；（2）若对,不等式恒成立，求的取值范围19（12分）如图，在三棱柱中，侧面底面，（）求证：平面；（）若，且与平面所成的角为，求二面角的平面角的余弦值20（12分）某社区为了解居民参加体育锻炼的情况，从该社区随机抽取了18名男性居民和12名女性居民，对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查.现按是否参加体育锻炼将居民分成两类：甲类（不参加体育锻炼）、乙类（参加体育锻炼），结果如下表：甲类乙类男性居民315女性居民66（）根据上表中的统计数据，完成下面的列联表；男性居民女性居民总计不参加体育锻

6、炼参加体育锻炼总计（）通过计算判断是否有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关？附：，其中.0.100.050.012.7063.8416.63521（12分）如图，正四棱柱的底面边长，若与底面所成的角的正切值为（1）求正四棱柱的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小22（10分）已知点A是椭圆的上顶点，斜率为的直线交椭圆E于A、M两点，点N在椭圆E上，且；（1）当时，求的面积；（2）当时，求证：.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】先对已知函数f(x)求导，由可得a的值，由此确定函数和其导函数的解析式

7、，进而可得x=0处的切线方程。【详解】，解得，即，则，曲线在点处的切线方程为，即.【点睛】本题考查求函数某点处的切线方程，解题关键是先由条件求出函数f(x)中的未知量a。2、A【解析】记“一名学生语文及格”为事件A，“该生数学不及格”为事件B，所求即为，根据条件概率的计算公式，和题设数据，即得解.【详解】记“一名学生语文及格”为事件A，“该生数学不及格”为事件B，所求即为： 故选：A【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，实际应用，数学运算的能力，属于基础题.3、C【解析】分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地.【详解】大学生小红与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、

8、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地.小红恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数.故选：C【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4、B【解析】多边形的边数最少是，即三角形，即可得解；【详解】解：依题意，因为多边形的边数最少是，即三角形，用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为”时，第一步验证的等于时，是否成立，故选：【点睛】本题主要考查数学归纳法的基本原理，属于简单题. 用数学归纳法证明结论成立时，需要验证 时成立，然后假设假设时命题成立，证明时命题也成立即可，对于第一步，要确定，其实

9、就是确定是结论成立的最小的.5、C【解析】先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的单调递增区间.【详解】依题意，函数的定义域为，故当时，所以函数的单调递增区间为，故选C.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查导数的运算，属于基础题.6、D【解析】由题意分两步进行，第一步为在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，可得方案数量，第二步为将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，两者方案数相乘可得答案.【详解】解：根据题意，分两步进行： 在6名学生中任选2名安排在两端两个窗户，有中情况； 将剩余的6名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，有种情况，则一

10、共有种不同的安排方案，故选：D.【点睛】本题主要考查排列、组合及简单的计数问题，相对不难，注意运算准确.7、C【解析】试题分析：设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，不同的选修方案共有644=96种，故选C考点：分步计数原理点评：本题需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可8、B【解析】直线4kx4yk=0可化为k（4x1）4y=0，故可知直线恒过定点（，0）抛物线y2=x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=，直线AB

11、为过焦点的直线AB的中点到准线的距离 弦AB的中点到直线x+ =0的距离等于2+=.故选B点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是利用了抛物线的定义一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化9、B【解析】先对函数求导，根据题意，得到，再用导数的方法研究函数单调性，进而可求出结果.【详解】因为，所以，又函数在处取得极小值，所以，所以，因此，由得；由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增；所以；故选B【点睛】本题主要考查导数的应用，根据导数的方法研究函数的单调性，最值等，属

12、于常考题型.10、A【解析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论.【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得

13、乙是犯罪的，故选A.【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.11、D【解析】由已知的框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算输出变量n的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案，本题中在计算S时，还需要结合数列中的裂项求和法解决问题，即：.【详解】解：由程序框图知：第一次循环：初始值为0，不满足，故，；第二次循环：当，不满足，故，；第三次循环：当，不满足，故，；第四次循环：当，不满足，故，；此时，满足，退出循环，输出，故选D.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时

14、模拟程序框图的运行过程，便可得出正确的结论，这类题型往往会和其他知识综合，解题需结合其他知识加以解决.12、C【解析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解【详解】联立得.由图可知基本事件空间所对应的几何度量，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：（A）所以（A）故选：【点睛】本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】试题分析：由题意得，0lnx231x2e3，因为存在x1x2x3，f(x

15、1)=f(考点：分段函数的性质及利用导数求解函数的最值【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性与极值、最值，着重考查了学生分析、解答问题的能力，同时考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，先确定1x214、【解析】分析：由题求出圆的面积，根据定积分求出曲线与轴围成的图形的 面积，利用几何概型求出概率.详解：由题圆：的面积为 曲线与轴围成的图形的面积为 故该点取自阴影部分的概率为.即答案为.点睛：本题考查几何概型，考查利用定积分求面积，是缁.15、7或1【解析】分析：两条平行的平面可能在球心的同旁或两旁，应分两种情况进行讨论，分别利用勾股定理

16、求解即可.详解：球心到两个平面的距离分别为，故两平面之间的距离（同侧）或（异侧），故答案为或.点睛：本题考查球的截面性质，属于中档题.在解答与球截面有关的问题时，一定要注意性质的运用.16、【解析】在空间中，点关于轴的对称点：轴不变，轴取相反数.【详解】在空间中，点关于轴的对称点：轴不变，轴取相反数.点关于轴的对称点的坐标为故答案为：【点睛】本题考查了空间的对称问题，意在考查学生的空间想象能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1)见解析;(2).【解析】分析：（1）两边同时除以，构造的递推表达式，求解通项公式。（2）用裂项相消法求解。详解：（1） ， 即

17、 数列是等差数列，首项，公差为1. (2)由（1），= 数列的前项和=+ = 点睛：，两边同时除以，构造新数列，化简为数列的递推表达式，推出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式。求分式结构，数列为等差数列的前项和，用裂项相消。18、解：（1），递增区间是（，）和（1，+），递减区间是（，1）（1）【解析】（1）求出f（x），由题意得f（）0且f（1）0联立解得与b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（1）根据（1）函数的单调性，由于x1，1恒成立求出函数的最大值为f（1），代入求出最大值，然后令f（1）c1列出不等式，求出c的范围即可【详解】（

18、1），f（x）3x1+1ax+b由解得，f（x）3x1x1（3x+1）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（,） （，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）和（1，+），递减区间是（，1）（1）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，得f（x）在（1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，1）上递增，所以当x时，f（x）为极大值，而f（1），所以f（1）1+c为最大值要使f（x）对x1，1恒成立，须且只需f（1）1+c解得c1或c1【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题19、（1）见解析；（

19、2）余弦值为.【解析】分析：（1）由四边形为菱形，得对角线,由侧面底面，, 得到侧面，从而，由此能证明平面；（2）由题意易知为等边三角形，以点为坐标原点，为轴,为轴，过平行的直线为，建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的平面角的余弦值详解：（）由已知侧面底面，, 底面,得到侧面，又因为 侧面,所以,又由已知，侧面为菱形，所以对角线,即，,所以平面.（）设线段的中点为点，连接,，因为，易知为等边三角形，中线 ,由（）侧面，所以,得到平面，即为与平面所成的角， , ,得到;以点为坐标原点，为轴,为轴，过平行的直线为，建立空间直角坐标系，,，由（）知平面的法向量为，设平面的法向量，,解得,二面角为钝二面角，故余弦值为.点睛：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到线线、线面、面面平行与垂直的性质、向量法等知识点的合理运用，是中档题.20、（）列联表见解析；（）有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关.【解析】（）直接根据给出的数据填入表格即可；（）根据列联表，代入公式，计算出的观测值与临界值进行比