数学建模规划理论及模型市公开课获奖课件

1、 5.非线性规划模型 前面简介了线性规划问题，即目的函数和约束条件都是线性函数规划问题，但在实际工作中，还经常会碰到另一类更普通规划问题，即目的函数和约束条件中至少有一个是非线性函数规划问题，即非线性规划问题. 第1页第1页 事实上，客观世界中问题许多是非线性，予以线性大多是近似，是在作了科学假设和简化后得到. 为了利用线性知识，许多非线性问题常进行线性化处理. 但在实际问题中，有一些是不能进行线性化处理，不然将严重影响模型对实际问题近似可依赖型.第2页第2页 由于非线性规划问题在计算上常是困难，理论上讨论也不能像线性规划那样给出简练结果形式和全面透彻结论. 这点又限制了非线性规划应用，因此，

2、在数学建模时，要进行认真分析，对实际问题进行合理假设、简化，首先考虑用线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线性规划.第3页第3页非线性规划问题原则形式为：第4页第4页非线性规划模型按约束条件可分为下列三类： 无约束非线性规划模型： 等式约束非线性规划模型：第5页第5页 不等式约束非线性规划模型：1) 无约束非线性规划问题.针对上述三类非线性规划模型，其惯用求解基本思绪可归纳下列： 第6页第6页第7页第7页第8页第8页 在下降迭代算法中，搜索方向起着关键作用，而当搜索方向拟定后，步长又是决定算法好坏主要原因. 非线性规划只含一个变量，即一维非线性规划能够用一维搜索办法求得最优解，一维搜

3、索办法主要有进退法和黄金分割法. 二维非线性规划也能够像解线性规划那样用图形求解. 对于二维非线性规划，使用搜索办法是要用到梯度概念，最惯用搜索办法就是最速下降法.第9页第9页2) 只有等式约束非线性规划问题通常可用消元法、拉格朗日乘子法或反函数法，将其化为无约束问题求解.3) 含有不等式约束非线性规划问题解起来很复杂，求解这一类问题，通常将不等式化为等式约束，再将约束问题化为无约束问题，用线性迫近办法将非线性规划问题化为线性规划问题. 下面简介一个简朴非线性规划问题例子，其中一些约束条件是等式，这类非线性规划问题可用拉格朗日办法求解.第10页第10页 例7（石油最优储存办法）有一石油运送公司

4、，为了减少开支，希望作了节约石油存储空间.但要求存储石油能满足客户要求.为简化问题，假设只经营两种油，各种符号表示意义如表4所表示.其中供应率指石油公司供应客户速度.第11页第11页表4 各种符号表示意义表第i种油存储量第i种油价格第i种油供应率第i种油每单位存储费用第i种油每单位存储空间总存储公式第12页第12页由历史数据得到经验公式为 :且提供数据如表5所表示：第13页第13页表5 数据表已知总存储空间第14页第14页代入数据后得到模型为：模型求解：拉格朗日函数形式为： 第15页第15页即:对 求各个变量偏导数，并令它们等于零，得: 第16页第16页解这个线性方程组得：从而可得最小值是 .

5、 第17页第17页6、多目的规划模型 在许多实际问题中，衡量一个方案好坏原则往往不止一个，比如设计一个导弹，既要射程最远，又要燃料最省，还要精度最高. 这一类问题统称为多目的最优化问题或多目的规划问题. 我们先来看一个生产计划例子.第18页第18页第19页第19页第20页第20页第21页第21页第22页第22页第23页第23页第24页第24页第25页第25页第26页第26页第27页第27页第28页第28页第29页第29页第30页第30页第31页第31页第32页第32页第33页第33页我们希望购买DVD总数量最小，即 :由此，能够得到问题三双目的整数线性规划模型下列： 第34页第34页第35页第

6、35页第36页第36页第37页第37页第38页第38页表6 当 时最小购买量 值DVD编号D01D02D03D04D05D06D07D08D09D10至少购买量14211724121719212214DVD编号D11D12D13D14D15D16D17D18D19D20至少购买量18181717172418161823DVD编号D21D22D23D24D25D26D27D28D29D30至少购买量20182214181715121624DVD编号D31D32D33D34D35D36D37D38D39D40至少购买量19222019222213171717DVD编号D41D42D43D44D45

7、D46D47D48D49D50至少购买量32201621221620152020第39页第39页续上表DVD编号D51D52D53D54D55D56D57D58D59D60至少购买量24171917191819172021DVD编号D61D62D63D64D65D66D67D68D69D70至少购买量16191920171917212019DVD编号D71D72D73D74D75D76D77D78D79D80至少购买量21221520151412171917DVD编号D81D82D83D84D85D86D87D88D89D90至少购买量18101412211322151317DVD编号D91D

8、92D93D94D95D96D97D98D99D100至少购买量24171514251522201122第40页第40页 我们利用规划模型求得每种DVD购置量后，需要对其进行可行性校验，测试此结果是否能够满足一个月内百分比为95%会员得到他想看DVD，且含有尽也许大总体满意度.第41页第41页校验办法： （一）依据订单和求得DVD购买数量，利用问题二规划模型进行第一次分派，对分派情况：租赁会员，DVD分派情况，剩余各种DVD数量作统计；同时将已租赁会员在满意指数矩阵指数全变为0，即不考虑对其进行第二次分派. （二）随机从第一次得到DVD会员中抽取60%，将这部分人所还回DVD与第一次分派余下DVD合在一起，作为第二次分派时各种DVD既有量.然后，利用问题二0-1线性规划模型对第一次未分派到DVD会员进行第二次分派；第42页第42页 （三）统计出通过两次分派后，得到DVD会员百分比，若不小于95%，则本次分派成功.利用这种算法进行多次随机模拟，若大多数情况下能够使得到DVD会员不小于95%，则认为模型三是合理.第43页第43页校验结果： 由于每次检查需时约1小时，我们只对问题