2021-2022学年安徽省“庐巢六校联盟”数学高二第二学期期末经典模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1定义在上的函数的导函数在的图象如图所示，则函数在的极大值点个数为（ ）A1B2C3D42已知，则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD3已知随机变量的分布列为（ ）01 若

2、，则的值为（ ）ABCD4已知，为锐角，且，若，则的最大值为（ ）ABCD5如图所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为( )A6,8B6,6C5,2D6,26某商场要从某品牌手机a、 b、 c、 d 、e 五种型号中，选出三种型号的手机进行促销活动，则在型号a被选中的条件下，型号b也被选中的概率是（ ）ABCD7已知函数是奇函数，当时，当时，则的解集时（ ）ABCD8已知复数，则的虚部是（ ）ABCD9随机变量服从正态分布，则的最小值为（ ）ABCD10对于平面上点和曲线，任取上一点

3、，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作，若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（ ）ABCD11已知曲线在点处切线的倾斜角为，则等于（ ）A2 B-2 C3 D-112执行如图所示的程序框图，若，则输出的为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13方程的正整数解的个数_.14若函数有且只有一个零点，是上两个动点（为坐标原点），且， 若两点到直线的距离分别为，则的最大值为_.15我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23在不超过30的素数中，随机选取

4、两个不同的数，其和等于30的概率是_.16课本中，在形如的展开式中，我们把）叫做二项式系数，类似地在的展开式中，我们把叫做三项式系数，则的值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在平面直角坐标中，直线的参数方程为（为参数，为常数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于、两点，若，求的值.18（12分）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，点在线段上（包括两个端点）运动（1）当为线段的中点时，求证：；求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）求直线与平面所成的角的

5、正弦值的取值范围.19（12分）（1）已知复数满足，的虚部为，求复数；（2）求曲线、直线及两坐标轴围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积.20（12分）某周末，郑州方特梦幻王国汇聚了八方来客.面对该园区内相邻的两个主题公园“千古蝶恋”和“西游传说”，成年人和未成年人选择游玩的意向会有所不同.某统计机构对园区内的100位游客（这些游客只在两个主题公园中二选一）进行了问卷调查.调查结果显示，在被调查的50位成年人中，只有10人选择“西游传说”，而选择“西游传说”的未成年人有20人.（1）根据题意，请将下面的列联表填写完整；选择“西游传说”选择“千古蝶恋”总计成年人未成年人总计（2）根据列联表的数据

6、，判断是否有的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关.附参考公式与表：（）.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82821（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）设为函数的两个零点，求证：.22（10分）若，()求证：；()求证：；()在()中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由导数与极大值之间的关系求解【详解】函数在极大值点左增右减，即导数在极大值点左正

7、右负，观察导函数图象，在上有两个有两个零点满足故选：B.【点睛】本题考查导数与极值的关系属于基础题2、C【解析】构造函数，原不等式等价于两次求导可证明在上递减，从而可得结论.【详解】由题意，设，设，在单调递减，且，,所以在递减，故选C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出；（2）令 求出的范围，可得增区间；（3）令求出的范围， 可得减区间.3、A【解析】先由题计算出期望，进而由计算得答案。【详解】由题可知随机变量的期望，所以方差，解得，故选A【点睛】本题考查随机变量的期望与方差，属于一般题。4、B【解析】把代入等式中，进行恒等变形，用

8、表示，最后利用基本不等式，求出的最大值.【详解】，.因为为锐角，且，所以，（当且仅当时取等号），所以，因此的最大值为，故本题选B.【点睛】本题考查了三角恒等变形，考查了两角差的正切公式，考查了应用基本不等式求代数式最值问题.5、A【解析】根据题意，应用乘原理，即可求解甲地经乙地到丙地的走法的种数，再由加法原理，即可得到甲地到丙地的所有走法的种数.【详解】由题意，从甲地经乙地到丙地的走法，根据分步乘法计数原理可得，共有种；再由分类加法计数原理，可得从甲地到丙地，共有种走法，故选：A.【点睛】本题主要考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用问题，其中正确理解题意，合理选择计数原理是解答的关键

9、，着重考查了分析问题和解答问题的能力.6、B【解析】设事件表示“在型号被选中”，事件表示“型号被选中”，则，由此利用条件概率能求出在型号被选中的条件下，型号也被选中的概率.【详解】解从、5种型号中，选出3种型号的手机进行促销活动设事件表示“在型号被选中”，事件表示“型号被选中”，在型号被选中的条件下，型号也被选中的概率：，故选：B.【点睛】本题考查条件概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题.7、A【解析】对的范围分类讨论，利用已知及函数是奇函数即可求得的表达式，解不等式即可【详解】因为函数是奇函数，且当时，所以当，即：时，当，即：时，可化为：，解得：.当，即：时，利用函数是奇函数，将化为：，

10、解得：所以的解集是故选A【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性应用，还考查了分类思想及计算能力，属于中档题8、B【解析】将利用复数代数形式的乘除运算化简即可得到答案.【详解】由题意，所以的虚部是.故选：B【点睛】本题主要考查复数的基本概念和复数代数形式的乘除运算，属于基础题.9、D【解析】利用正态密度曲线的对称性得出，再将代数式与相乘，展开后可利用基本不等式求出的最小值【详解】由于，由正态密度曲线的对称性可知，所以，即，由基本不等式可得 ，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选D.【点睛】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对

11、所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题10、D【解析】根据可画出满足题意的点所构成的平面区域；分别求解区域各个构成部分的面积，加和得到结果.【详解】由定义可知，若曲线为边长为的等边三角形，则满足题意的点构成如下图所示的阴影区域其中， ， 又 又阴影区域面积为：即点集所表示的图形的面积为：本题正确选项：【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是能够根据定义，找到距离等边三角形三边和顶点的最小距离小于等于的点所构成的区域，易错点是忽略三角形内部的点，造成区域缺失的情况.11、A【解析】因为，所以，由已知得，解得，故选A.12、B【解析】执行程序框图，依次写出每次循环得

12、到的的值，当时，不满足条件，退出循环，输出的值【详解】执行如图所示的程序框图，有满足条件，有，；满足条件，有,；满足条件，有，；满足条件，有，；不满足条件，退出循环，输出的值为本题正确选项：【点睛】本题考查了程序框图和算法的应用问题，是对框图中的循环结构进行了考查，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法，利用隔板法，即可求得答案.【详解】问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球隔板不能相邻，也不能放在两

13、端，只能放在中间的个空内共有种故答案为：【点睛】本题解题关键是掌握将正整数解的问题转化为组合数问题，考查了分析能力和转化能力，属于中档题.14、【解析】根据函数的奇偶性先求解出的值，然后根据判断出中点的轨迹，再根据转化关系将的最大值转化为圆上点到直线的距离最大值，由此求解出结果.【详解】因为的定义域为，且，所以是偶函数，又因为有唯一零点，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，设的中点为，如下图所示：所以，又因为，所以，所以的轨迹是以坐标原点为圆心，半径为的圆，所以当取最大值时，为过垂直于的线段与的交点，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查函数奇偶性、圆中的轨迹方程、圆上点到直线的距离最

14、值，属于综合型题型，难度较难.圆上点到一条与圆相离直线的距离最值求解方法：先计算出圆心到直线的距离，则距离最大值为，距离最小值为.15、1【解析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有C102和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P=3故答案为：1【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16、0【解析】根据的等式两边的项的系数相同，从而求得要求式子的值

15、.【详解】，其中系数为，而二项式的通项公式，因为2015不是3的倍数，所以的展开式中没有项，由代数式恒成立可得，故答案为：0.【点睛】本题考查二项式定理，考查学生的分析能力和理解能力，关键在于构造并分析其展开式，是一道难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】(1) 消去参数可得的普通方程,再根据两边乘以,根据极坐标与直角坐标的关系化简即可.(2)联立直线的参数方程与曲线的直角坐标方程,利用直线参数的几何意义与韦达定理求解即可.【详解】解：（1）直线的参数方程为（为参数,为常数）,消去参数得的普通方程为.由,得即,整理得.故曲线的直角坐标方

16、程为.（2）将直线的参数方程代入曲线中得,于是由,解得,且,解得.【点睛】本题主要考查了极坐标与参数方程和直角坐标的互化,同时也考查了直线参数的几何意义,属于中档题.18、（1）见解析；（2）.【解析】（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明线线垂直和计算二面角（2）设（），设直线与平面所成的角为由向量坐标法求得 设设由导数法求得范围【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，.因为分别是棱的中点，所以（1）当为线段的中点时，则因为 所以即 因为设平面的一个法向量为由 可得，取，则所以 又因为是平面的一个法向量，设平面与平面所成的二面角的平面角为，则 .因为为锐

17、角，所以所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为 （2）因为在线段上，所以设（），解得，所以.因为设平面的一个法向量为由可得，取则所以设直线与平面所成的角为则 因为所以设则所以，设则，设可求得的取值范围为，进一步可求得的取值范围为所以直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为.【点睛】本题全面考查利用空间向量坐标法证明线线垂直，求二面角，构造函数关系，并利用导数求范围，运算难度较大19、（1）或；（2）【解析】分析：（1）设，由已知条件得，再结合的虚部为，即可求出；（2）本题要求的是一个旋转体的体积，看清组成图形的最主要的曲线，和组成图形的两个端点处的数据，用定积分写出体积的表示形式，得到结果.详解：

18、（1）设，由已知条件得，的虚部为，或，即或.（2）.点睛：本题考查了复数的运算，考查了用定积分求几何体的体积.20、（1）见解析（2）没有的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关【解析】（1）根据题干可直接填表；（2）用公式求出，进而判断与年龄有无关系。【详解】解：（1）根据题目中的数据，列出列联表如下：选择“西游传说”选择“千古蝶恋”总计成年人104050未成年人203050总计3070100（2）的观测值.因为，所以没有的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关.【点睛】本题考查独立性检验，注意计算避免马虎出错。21、 (1) 的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)见证明，【解析】（1）利用导数求函数单调区间的一般步骤即