华师版数学九年级上册22 一元二次方程的解法(5课时)教案与反思

1、次法路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。屈原离骚 江南学校 李友峰1直接开平方法和因式分解法第 1 课时)一、基本目标1理解直接开平方法和因式分解法，掌握用两种方法解一元二次方程的一 般步骤，并会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程2通过利用已学知识求解一元二次方程，获得成功的体验，体会转化思想 的应用二、重难点目标【教学重点】用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程【教学难点】根据方程特点选择合适的方法解一元二次方程环节 1自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1直接开平方法：利用_平方根的定义_解一元二次方程的方法2因式分解法：利用_因式分

2、解_求出方程的解的方法3因式分解法的依据：如果两个因式的积等于 ，那么两个因式中_至少 _有一个等于 0.反过来如果两个因式中有一个等于 那么_它们的积_就等 于 0.4方程(x1)21 的解为_x12，20_.5用因式分解法解一元二次方(4x1)(x3)0 时，可将原方程转化为两个一元一次方程，其中一个方程是 4x10，则另一个方程是_30_.环节 2活动 1合作探究，解决问题 小组讨论(师生互学)【例 1】用直接开平方法或因式分解法解下列方程：(1)(x1)22； (2)(21)22x1；1(3)x24x； (4) (5)29.2【互动探索(引发学生思考)观察方程的特点确定解方程的方法及一

3、般步 骤【解答】(1)直接开平方，得 1 2.故 x1 21，x2 21.(2)移项，得(21)2(21)0.方程左边分解因式，得(2x1)(2x111)0，所以 2x0 或 2x110，得 x1 ，20.2(3)方程可变形为 240.方程左边分解因式，得 (4)，所以 0 或 x4，得 10，24.(4)方程两边同时乘 2，得(5)218.直接开平方，得 x53 2，所 以 x13 25，x23 25.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)用直接开平方法解一元二次方程的 一般步骤：观察方程两边是否符合 x2(b或(mx)2b(m0，0)的形式；直接开平方，得到两个一元一次方程；解这两个一元

4、一次方程，得 到原方程的两个根(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，将 程的右边化为 0；将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；令每个因 式分别为 0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，得到原方程的 两个根活动 2巩固练习(学生独学)1一元二次方程 2160 的根是( D )Ax2Cx12，2Bx4Dx14，242在实数范围内定义一种运算“规则为 2b2，根据这个规则，方程(x)30 的解_x12，24_.【教师点拨】根据新定义，由x1)30，得(1)2320. 3解下列方程：(1)4x225；(2)x(x2)2.解(1)方程可化为 x225 5 5 5 .直接开平方

5、得 x 所以 x1 2 .4 2 2 2(2)移项，得(2)(20.方程左边分解因式，得(x2)(x1)0， 所以 x20 10，得 x12 或 x21.活动 3拓展延伸(学生对学)【例 2】由多项式乘法：(a)(b)2(a)ab，将该式从右到 左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：2(a)x(x a)(x)示例：分解因式：256x223)23(x2)( (1)尝试：分解因式：268(x_2_)(_4_)；(2)应用：请用上述方法解方程：23x40.【互动探索】理解“十字相乘法”的含义对方程左边因式分解十字相乘 法)解方程【解答】x2340，即 2(41)(4)10，x4)( 1)

6、0，则 x10 或 40，解得 x11，24.【互动总结】(学生总结，老师点)解此类题时，要把握新定义的内涵，抓 住关键词语，合理套用求解环节 3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)定义直接开平方法依据：平方根的定义 形式：方程x2 0 x1 ，x2 a的根为2 2 因式分解法定义依据：若a0，则0或b0 方法：提公因式、完全平方 公式、平方差公式请完成本课时对应练习！2配方法(第 2 课时)一、基本目标1理解配方法解一元二次方程的含义，并掌握用配方法解一元二次方程的 一般步骤2经历利用完全平方公式推导配方法的过程，掌握新的解一元二次方程的 方法配方法二、重难点目标【教学重点】用配方法解一

7、元二次方程【教学难点】把一元二次方程通过配方转化为x)2k(0)的形式环节 1自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P25 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1. (1)x26x(x；1 1 (2)x2_ _！_ _#4 (3)4x24x_1_x _1_)2.2配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平1111方式_右边是一个_非负常数_从而可以直接开平方求解这种解一元二次 方程的方法叫做配方法环节 2活动 1合作探究，解决问题 小组讨论(师生互学)【例 1】用配方法解下列方程：(1)x24x12；(2)22x24x0.【互动探索引发学生思考用配方法解一元二次

8、方程的一般步骤是什么？ 【解答】(1)原方程可化为 24x12.配方，得 x24416，即(2)216.直接开平方，得 24，所以 x12，26.(2)移项，得 22246.两边同除以 22，得 22 3x .11 11配方，得 x2211 3 1 34 x . 11 11 121直接开平方，得 1 34 ，11 11所以 x11 34 1 34 ，x2 .11 11【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)变形：将方程化为一般形 20(a0)；(2)移项：将常数项移到方程的右边；(3)系数化为 1：方程的两边同除以二次项的系数，将二次项系数 化为 1；(4)

9、配方：在方程的两边各加上一次项系数绝对值的一半的平方，把原 方程化为(x)2k 的形式(5)求解： 0，则利用直接开平方法求解；若 k0，则原方程无实数根活动 2巩固练习(学生独学)1用配方法解下列方程，配方正确的是( D ) A2y24y4 可化为(1)24Bx22x9 可化为(1)28Cx28x9 可化为(4)216Dx24x0 可化为(2)242用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上 的是( C )Ax22x5 Cx24x3B2x245 Dx225 333用配方法解方程 224，配方后方程可化为 _. 164用配方法解下列方程：1(1)x26x1； (2)223x 0.2解：(

10、1)x12 23，x22 23.(2)x1活动 353 53 ，x2 .4 4拓展延伸(学生对学)【例 2试用配方法说明无论 x 取何值数式 245 的值总是正数， 并指出当 x 何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？【互动探索是一个二次三项式的最值问题对 24x5 进行配方确 定代数式的最小值【解答】x245(2)21.(x2)20，(x2)211，不论 x 为何值，代数 x4x5 的值总是正数，且当x2)20， x 2 时，代数式 x45 有最小值，最小值为 1.【互动总结(学生总结老师点评)已知代数式是一个关于 x 二次三项式且含有一次项在求它的最值时通常用配方法将原代数式变形为一个

11、完全平方 式加一个常数的形式，再根据一个数的平方是非负数求出原代数式的最值环节 3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)配方法定义依据：完全平方公式：a22b2 a 形式：方程 xh 2k 0 的根为 x1 h，2 kh2请完成本课时对应练习！3公式法(第 3 课时)一、基本目标1理解求根公式的推导过程，能正确推导出一元二次方程的求根公式 2理解 b24ac0 是求根式使用的前提条件和重要的组成部分，当 b24ac0 时，方程无解3理解和掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤，并能正确运用公式法 解一元二次方程二、重难点目标【教学重点】用公式法解一元二次方程【教学难点】求根公式的推导过程环节

12、1自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P28 的内容，完成下面练习 【3 min 反馈】1一元二次方程 ax2bx0(0)的求根公式是 x_b 24ac2a(b240)_.将一元二次方程中系数 a、c 值，直接代入这个公式，就 可以求得方程的根这种解一元二次方程的方法叫做_公式法_.2公式法解方程 2x210 时_3_，则 b24_17_，代入求根公式，得 x_3 174_.环节 2活动 1合作探究，解决问题 小组讨论(师生互学)【例 1】用公式法解下列方程：(1)5x24x1； (2)325(2x1)0.2 a2 a2 a2 a【互动探索引发学生思考用公式法解一元二次方程的一般步

13、骤是什么？ 【解答】(1)5，4，c1，b24(4)245(1)1636，xb 24ac 4 36 46 ，25 101x11，2 .5(2)将方程化为一般形式，得 x21050. a3，10，5，b2410243510060，xb 24ac 10 40 5 10 ，23 3x15 10 5 10 ，x2 .3 3【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤： (1)把一元二次方程化为一般形式 ax2c0(0)确定 ac 的值； (3)求出 b24ac 值；(4)判断 b24ac 符号当 24ac0 时，把 、b 及 b24ac 值代入求根公式，求出 x1、2；当 24a

14、c0_时，方程有 两个不相等的实数根；当_0_时，方程有两个相等的实数根；当0 时， 方程_没有_实数根3一元二次方程 25780 根的情况是_有两个不相等的实数根_.环节 2活动 1合作探究，解决问题 小组讨论(师生互学)【例 1】不解方程，判定下列方程的根的情况：(1)16x28x； (2)926x10；(3)2x29x8； (4)27x180.【互动探索(引发学生思考)不解方程要判断方程的根的情况结合一元 二次方程 ax20(0)中的符号与根的关系各个方程的与 0 的大 小关系是什么？相应的方程根的情况是什么？【解答】(1)原方程可变形为 x2830，则 a，b8，3. 24ac8241

15、63641921280，方程有两个不相等的实数根(4)a1，18.24ac(7)241(18)49721210，方程有两个不相等的实数根【互动总结(学生总结老师点评)不解一元二次方程由确定方程根的 情况的一般步骤：(1)将原方程化为一般形式；确定 、b、 的值；(3)计算 b24ac 的值；(4)判断 24ac 与 0 的大小；(5)得出结论活动 2巩固练习(学生独学)1一元二次方程 2350 的根的情况是( C )A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法判断2若关于 x 的一元二次方 x2m0 有实数根，则 取值范围是 ( B )Am14Bm14Cm14Dm14【教师点拨

16、】若一元二次方程 axca0)有实数根，则 b24 0.3已知方程 x20 有两个相等的实数根，则 p 与 q 关系是_2 4q_.4不解方程，试判断下列方程的根的情况：(1)25x3x2；(2)x2(12 3)x 340.解：(1)方程有两个不相等的实数根(2)方程没有实数根5已知关于 x 的方程 26x90，问 k 何值时，这个方程：(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：(1)当 k1 且 0 时，方程有两个不相等的实数根(2)当 k1 时，方程有两个相等的实数根(3)当 k1 时，方程没有实数根活动 3拓展延伸(学生对学)【例 2已知关于 x 的一元

17、二次方程(a)x22(c)0中 a、 c 分别为 三边的长若方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状， 并说明理由【互动探索方程有两个相等的实数根得出 c 数量关系确定三 角形的形状【解答】ABC 是直角三角形理由如下：关于 x 的一元二次方程c)x22(a)0 有两个相等的实数根， 0，即(2)24()(a)0，a22c2， 是直角三角形【互动总结(学生总结老师点评)解此类题时先根据根的情况得到判别式的符号，再推出系数之间的关系，进而解决问题【例 3】如果关于 x 的方程 22(m2)m5 没有实数根，试判断 关于 x 方程(5)22(m1)m0 的根的情况【互动探索】方程 mx22(2

18、)x50 没有实数根确定 m 的取值范 围分类讨论确定方程(m5)22(m1)m0 的根的情况【解答】方程 mx22(2)x50 没有实数根，2(4(m5)4(24m425)4(4m)0， m4.对于方程(m5)22(1)x0，当 m5 时，方程有一个实数根；当 m5 时，2(1)24m(5)12m4.m4，112m40，此时方程有两个不相等的实数根综上当 5 时方程(m5)22(m1)0 有一个实数根当 4 且 m5 时，方程(5)22(m1)m0 有两个不相的实数根【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题时，不要忽略对方程(m5)2 2(m1)m0 是否为一元二次方程进行讨论此方程可能是一

19、元一次方程环节 3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)一元二次方程根的判别式定义24ac与a2 0 有两个不相等的实数根 c0 a0 实 有两个相等的实数根系 没有实数根请完成本课时对应练习！5一元二次方程的根与系数的关系第 5 课时) . .一、基本目标1理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系2能利用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题 二、重难点目标【教学重点】一元二次方程两根之和及两根之积与方程系数之间的关系 【教学难点】一元二次方程的根与系数的关系的推导及其应用环节 1自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P33 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1一元二次方程根

20、与系数的关系：若关 x 一元二次方程 2bxb c0(a0)的两根为 1、2，则有 x12_ _，12_ _.a a特殊形式：若 20 的两根为 x1、2，则 x2_p_，12 _q_.2已知 x12 一元二次方程 x26150 的两根则 x12_6_， x1x2_15_.3已知实数 x1、2 满足 1x211x1x230，则以 1、2 为根的一元 二次方程是_x11300_.环节 2活动 1合作探究，解决问题 小组讨论(师生互学)【例 1】已知 1、2 是方程 x26x30 的两实数根，解方程，求下列 代数式的值(1)(x12)2； (2)x2 x1x1 x2【互动探索】(引发学生思考)方程

21、 26x30 的根与系数的关系怎样？ 所求代数式与它们的关系有什么联系？x x x 2x x2 3x 1 x2x 1 x2x 1x2x x x 2x x2 3x 1 x2x 1 x2x 1x2【解答】x1、2 是方程 26x30 的两实数根，x126，123.(1)(x12)212)24x1x2(6)24324.x2 x1 x2 1 x2 2212 6 2(2) 10. 1 2 1 1【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)解此类题时，先根据根与系数的关 系得到两根和与两根积，再把所求代数式变形，最后利用整体代入法计算即可(2)常见的与一元二次方程根的和、积有关系的代数式变形：x x2(1 2

22、)22x1x2；(x12)212)24x1x2；1 1 x12 x1x2；x2 x1 x12 2212 ；(x1)(x2)12k(x1x2)2；|x12|x12 2x12 24x12.活动 2巩固练习(学生独学)1方程 x26100 的根的情况是( C )A两个实根和为 6B两个实根之积为 C没有实数根D有两个相等的实数根2若关于 x 的一元二次方的两个根为 11，22，则这个方程可能是 ( C )Ax23x2 Cx23x2Bx2320 Dx22303已知关于 x 的方程 52kx60 的一个根 2，则 k_7_，另一个 3根为_ _.54设 a、 是方程 2220190 的两个不相等的实数根(1)a_，ab_2019_,224a_4038_；x 1 xx 1 x(2)求代数式 a23b 的值解：a23a22b201925请利用一元二次方程的根与系数关系解决下列问题：(1)若 x20 的