概率论二维随机变量和其分布市公开课金奖市赛课一等奖课件

1、一、二维随机变量在实际应用中，有些随机现象需要同时用两个或以上随机变量来描述.比如，研究某地域学龄前儿童前儿童发育情况时，就要同时抽查儿童身高、体重这里，和是定义在同一样本空间某地域全部学龄前儿童上两个随机变量.在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自统计规律，而且还要研究它们之间统计相依关系，因而需考查它们联合取值统计规律，即多维随机变量分布.因为从二维推广到多维普通无实质性困难，故我们第1页二维随机变量因为从二维推广到多维普通无实质性困难，故我们第2页二维随机变量因为从二维推广到多维普通无实质性困难，故我们重点讨论二维随机变量.定义设随机试验样本空间为而是定义在上两个随机变量，称为定义

2、在上二维随机变量或二维随机向量.注：普通地，称个随机变量整体为维随机变量或随机向量.完第3页二、二维随机变量分布函数二维随机变量性质不但与及相关，而且还依赖于这两个随机变量相互关系,将作为一个整体进行研究.与一维情况类我们也借助“分布函数”来研究二维随机变量.定义设是二维随机变量，对任意实数二元函数故需似,记为称为二维随机变量分布函数或称为随第4页二维随机变量分布函数记为称为二维随机变量分布函数或称为随第5页二维随机变量分布函数记为称为二维随机变量分布函数或称为随机变量和联合分布函数.若将二维随机变量视为平面上随机点坐标，则分布函数就是随机点落入区域第6页二维随机变量分布函数就是随机点落入区域

3、第7页二维随机变量分布函数就是随机点落入区域概率(如图1).由概率加法法则，随机点落入矩形域概率 第8页二维随机变量分布函数第9页二维随机变量分布函数若已知分布函数则可由导出和各自分布函数和第10页二维随机变量分布函数若已知分布函数则可由导出和各自分布函数和第11页二维随机变量分布函数若已知分布函数则可由导出和各自分布函数和分别称和为关于和边缘分布函数.联合分布函数性质完第12页联合分布函数性质随机变量联合分布函数联合分布函数性质：且(1)注：以上四个等式可从几何上进行说明.（2）关于和均为单调非减函数，即对任意固定对任意固定第13页联合分布函数性质注：以上四个等式可从几何上进行说明.（2）关

4、于和均为单调非减函数，即第14页联合分布函数性质注：以上四个等式可从几何上进行说明.（2）关于和均为单调非减函数，即对任意固定当对任意固定当（3）关于和均为右连续，即完第15页例1设二维随机变量分布函数为(1)试确定常数(2)求事件概率.解(1)由二维随机变量分布函数性质,可得由这三个等式中第一个等式知第16页例1设二维随机变量分布函数为(1)试确定常数(2)求事件概率.解(1)由这三个等式中第一个等式知第17页例1设二维随机变量分布函数为(1)试确定常数(2)求事件概率.解由这三个等式中第一个等式知故由第二、三个等式知于是得(1)第18页(2)由(1)式得故分布函数为完第19页三、二维离散型

5、随机变量及其概率分布若二维随机变量只取有限个或可数个值，称为二维离散型随机变量. 为二维离散型随机变量均为离散型随机变量. 定义若二维离散型随机变量全部可能取值为则称则均为离为二维离散型随机变量概率分布(分布律),或与联合概率分布(分布律).第20页二维离散型随机变量及其概率分布或与联合概率分布(分布律).第21页二维离散型随机变量及其概率分布或与联合概率分布(分布律).易见，满足以下性质：与一维情形类似，有时也将联合概率分布用表格形式来表示，并称之为联合概率分布表由和联合概率分布，可求出各自概率分布:第22页二维离散型随机变量及其概率分布分布:第23页二维离散型随机变量及其概率分布分布:分别

6、称和为关于和边缘概率分布. 注：与分别等于联合概率分布表行和与列和.完第24页联合概率分布表与一维情形类似，有时也将联合概率分布用表格形式来表示，并称为联合概率分布表：联合概率分布表第25页联合概率分布表对离散型随机变量而言，联合概率分布不但比联合分布函数愈加直观，而且能够愈加方便地确定取值于任何区域上概率. 设二维离散型随机变量概率分布为则尤其地，由联合概率分布能够确定联合分布函数:第26页联合概率分布表尤其地，由联合概率分布能够确定联合分布函数:第27页联合概率分布表尤其地，由联合概率分布能够确定联合分布函数:由和联合概率分布，可求出各自概率分布：分别称和为关于第28页联合概率分布表由和联

7、合概率分布，可求出各自概率分布：分别称和为关于第29页联合概率分布表由和联合概率分布，可求出各自概率分布：分别称和为关于和边缘概率分布.注：和分别等于联合概率分布表行和与列和.完第30页例2设随机变量在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值,另一个随机变量在中等可能地取一整数值,试求分布律.解由乘法公式轻易求得分布律.易知取值情况是:大于正整数,且于是分布律为取不第31页例2设随机变量在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值,另一个随机变量在中等可能地取一整数值,试求分布律.解于是分布律为第32页例2设随机变量在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值,另一个随机变量在中等可能地取一整数值

8、,试求分布律.解于是分布律为123412341/41/81/121/161/81/121/121/161/161/16000000.完第33页例3把一枚均匀硬币抛掷三次,设为三次抛掷中正面出现次数,而为正面出现次数与反面出现次数之差绝对值,求概率分布及关于边缘分布.解可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)故概率分布如右表.13001/813/8023/80301/8第34页例3把一枚均匀硬币抛掷三次,设为三次抛掷中正面出现次数,而为正面出现次数与反面出现次数之差绝对值,求概率分布及关于边缘分布.解第35页例3把一枚均匀硬币抛掷三次,设为三次抛掷中正面出现次数,而为正面出现次数与反

9、面出现次数之差绝对值,求概率分布及关于边缘分布.解从概率分布表不难求得关于边缘分布.第36页从而得右表13012303/83/806/81/8001/82/81/83/83/81/81完第37页例4设二维随机变量联合概率分布为-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求及解第38页例4设二维随机变量联合概率分布为-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求及解第39页例4设二维随机变量联合概率分布为-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求及解完第40页例5设概率分布由下表给出,求-1020120.10.30.150.2

10、0.05000.10.1解第41页完第42页例6一整数等可能地在十个值中取一个值.设是能整除正整数个数,是能整除素数个数(注意1不是素试写出和联合分布律,并求分布律.解将试验样本空间及取值情况列表以下:数),全部可能取值为1,2,3,4;全部可能取值为0,1,2.轻易得到取概率,可得和联合分布律及边缘分布律以下表:第43页例6一整数等可能地在十个值中取一个值.设是能整除正整数个数,是能整除素数个数(注意1不是素试写出和联合分布律,并求分布律.解数),可得和联合分布律及边缘分布律以下表:第44页例6一整数等可能地在十个值中取一个值.设是能整除正整数个数,是能整除素数个数(注意1不是素试写出和联合

11、分布律,并求分布律.解数),可得和联合分布律及边缘分布律以下表:第45页即有边缘分布律完第46页四、二维连续型随机变量及其概率密度定义设为二维随机变量，为其分布函数，若存在一个非负可积二元函数任意实数有则称为二维连续型随机变量，并称为概率密度(密度函数)，密度(联合密度函数).使得对或与联合概率概率密度函数性质：(1)第47页连续型随机变量及其概率密度概率密度函数性质：(1)第48页连续型随机变量及其概率密度概率密度函数性质：(1)(3)设是平面上区域，点落入 内概率为尤其地，边缘分布函数(2)第49页连续型随机变量及其概率密度尤其地，边缘分布函数第50页连续型随机变量及其概率密度尤其地，边缘

12、分布函数上式表明，是连续型随机变量，且其密度函数为:同理，是连续型随机变量，且其密度函数为：分别称和为关于和 边缘密第51页连续型随机变量及其概率密度分别称和为关于和 边缘密第52页连续型随机变量及其概率密度分别称和为关于和 边缘密度函数.(4)若在点连续，则有深入，依据偏导数定义，可推得：当很有小时，即，落在小区间上概率近似等于完第53页例7设二维随机变量含有概率密度(1)求分布函数(2)求概率解(1)即有第54页例7设二维随机变量含有概率密度(1)求分布函数(2)求概率解(2)将看作是平面上随机点坐标,即有其中为平面上直线及其下方部分,如图.于是第55页例7设二维随机变量含有概率密度(1)

13、求分布函数(2)求概率解于是(2)第56页例7设二维随机变量含有概率密度(1)求分布函数(2)求概率解于是(2)第57页例7设二维随机变量含有概率密度(1)求分布函数(2)求概率解于是(2)完第58页例8设概率密度是其它求(1)值;(2)两个边缘密度.解(1)由确定第59页例8设概率密度是其它求(1)值;(2)两个边缘密度.解(2)第60页例8设概率密度是其它求(1)值;(2)两个边缘密度.解(2)第61页例8设概率密度是其它求(1)值;(2)两个边缘密度.解(2)即第62页例8设概率密度是其它求(1)值;(2)两个边缘密度.解(2)即完第63页例9设随机变量和含有联合概率密度求边缘概率密度解

14、第64页例9设随机变量和含有联合概率密度求边缘概率密度解第65页例9设随机变量和含有联合概率密度求边缘概率密度解完第66页二维均匀分布设是平面上有界区域，其面积为若二维随机变量含有概率密度函数其它则称在上服从均匀分布.注：若在上服从均匀分布,则其概率密度函几何上为定义在面内区域上空间一块平面.应用举例：第67页二维均匀分布应用举例：第68页二维均匀分布应用举例：概率与小区域则质点坐标在 上服从均匀而与位置无关，向平面上有界区域内任一小区域落在上任投一质点，若质点面积成正比,分布.注：关于服从矩形域上均匀分布一个结论.完第69页矩形域上均匀分布轻易得到服从矩形区域上均匀分布两个边缘分布且分别为其

15、它其它仍为均匀分布，但对其它形状区域不一定有上述结论.完第70页例10设服从单位圆域上均匀分布,求和边缘概率密度.解当或时,从而当时,于是我们得到边缘概率密度第71页例10设服从单位圆域上均匀分布,求和边缘概率密度.解于是我们得到边缘概率密度第72页例10设服从单位圆域上均匀分布,求和边缘概率密度.解于是我们得到边缘概率密度由和在问题中地位对称性,将上式中改就得到边缘概率密度成完第73页二维正态分布若二维随机变量含有概率 密度其中均为常数 ，则称服从参数为且二维正态分布.记为注：(1)如右图.服从二维正态分布概率密度函数经典第74页二维正态分布注：(1)如右图.服从二维正态分布概率密度函数经典

16、第75页二维正态分布注：(1)如右图.服从二维正态分布概率密度函数经典(2)二维正态分布两个边缘即密度仍是正态分布，完第76页推导二维正态分布两个边缘密度仍是正态分布实际上，因为而且于是令则有第77页令则有第78页令则有同理注：上述结果表明，二维正态随机变量两个边原缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数亦即第79页注：上述结果表明，二维正态随机变量两个边原缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数亦即第80页注：上述结果表明，二维正态随机变量两个边原缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数亦即对给定不一样对应不一样二维正态分布，但它们边缘分布都是相同,和关于边缘分布,普通来说是不能确定二维随所

17、以仅由关于机变量联合分布.完第81页例11设二维随机变量概率密度试求关于边缘概率密度函数.解利用函数及奇偶函数积分性质得注:此例说明,边缘分布均为正态分布二维随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.完第82页课堂练习1.将两封信随意地投入3个邮筒,设分别表示投入第1,2号邮筒中信数目,求和联合概率分布及边缘概率分布.2.设向量密度函数为其它,求(1)参数值;(2)边缘密度.完第83页练习解答1.将两封信随意地投入3个邮筒,设分别表示投入第1,2号邮筒中信数目,求和联合概率分布及边缘概率分布.解各自可能取值显然均为由题设知,取均不可能,因而对应概率均为0,我们将其标在联合概率分布表中对应位置.

18、取其它值概率可由古典概型计算,因为对称性,我们实际上只需计算以下概率:第84页练习解答解第85页练习解答解边缘概率分布可直接在联合概率分布表中计算,其中概率分布由行和产生,概率分布由列和产生(见下表).第86页练习解答解边缘概率分布可直接在联合概率分布表中计算,其中概率分布由行和产生,概率分布由列和产生(见下表).第87页练习解答解边缘概率分布可直接在联合概率分布表中计算,其中概率分布由行和产生,概率分布由列和产生(见下表).0 1 20121/92/91/94/92/94/92/9 01/91/9 0 04/94/91/9完第88页课堂练习2.设向量密度函数为其它,求(1)参数值;(2)边缘密度.解(1)由密度函数性质,有由此易得从而其它;(