5D41平面向量数量积的物理背景及其含义

1、5D41平面向量数量积的物理背景及其含义5D41平面向量数量积的物理背景及其含义向量的夹角 两个非零向量a 和b ，作 ， ，则 叫做向量a 和b 的夹角OABabOABba若 ，a 与b 同向 OABba若 ，a 与b 反向 OABab若 ，a 与b 垂直 记作复习回顾向量的夹角 两个非零向量a 和b ，作 问题1:一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？力做的功：W = |F|s|cos，是F与s的夹角。位移SOAF一、向量数量积的物理背景问题1:一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做问题2：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结

2、果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；问题2：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其平面向量的数量积的定义说明： 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ，即 （2） a b中间的“ ”在向量的运算中不能省略，也不能写 成ab ，ab 表示向量的另一种运算（外积）。规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0（1）（3） 向量的数量积的结果是一个数量。平面向量的数量积的定义说明： 已知两个非零向量a 和问题3：影响数量积大小的因素有哪些？这个数值的大小不仅和向量的模有关，

3、还和它们的夹角有关。夹角 的范围 正负0数量积符号由cos的符号所决定问题3：影响数量积大小的因素有哪些？这个数值的大小不仅和向量2、判断下列说法的正误，并说明理由错误 错误正确 。是锐角，则中，若在DD.DABC0BCABABC)4(错误。是钝角，则中，若在DD.DABC0BCABABC)3(正确 。是锐角，则中，若在DD.DABC0BCABABC)1(。是钝角，则中，若在DD.DABC0BCABABC)2(。是直角，则中，若在DD=.DABC0BCABABC)5(2、判断下列说法的正误，并说明理由错误 错误正确 。是锐角，平面向量的数量积的运算性质问题4：设a与b都是非零向量，若ab，则a

4、b等于多少？反之成立吗？ ab ab0问题5：当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？ 当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab；aaa2a2或a .平面向量的数量积的运算性质问题4：设a与b都是非零向量，若a问题6：ab与ab的大小关系如何？为什么？ abab 问题7：对于向量a，b，如何求它们的夹角？ 问题6：ab与ab的大小关系如何？为什么？ （）a b | a | | b |.（）ab a b=0 .(判断两向量垂直的依据)特别地，（）当a与b同向时，ab | a | | b |；当a与b反向时，ab | a | | b |.（）平面

5、向量的数量积的运算性质设向量a、b为两非零向量，则（）a b | a | | b |.（）ab5D41平面向量数量积的物理背景及其含义练习ab=abcos练习ab=abcos进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角ab=abcos进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？ 投影一定是正数吗？| b | cos叫向量b 在a 方向上的投影，过点B作垂直于直线OA，垂足为 ，则| b | cosOABabacos平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？ 投影说明：（2）投影也是一个数

6、量，不是向量。（1）OABabBOAabOABab为锐角时，| b | cos0为钝角时，| b | cos0为直角时，| b | cos=0当 = 0时投影为|b|当 = 180时投影为-|b|.说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABabBO问题4：根据投影的概念，数量积ab=a|bcos的几何意义是什么？ 数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影bcos的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影acos的乘积.问题4：根据投影的概念，数量积ab=a|bcos的练一练：练一练：类比实数的乘法运算律：数量积的运算律：关于向量的数量积运算：平面向量的数量积运算律数量积运算不满足乘法结

7、合律。交换律：分配律：思考： ab与ba相等吗？为什么？ 思考：对于非零向量a，b，c，(ab)c表示什么意义？(ab)c与 a(bc)相等吗？为什么？思考：对于向量a，b，c，(ab)c表示什么意义？它与acbc相等吗？为什么？问题8: 我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？ 数乘结合律：(a)b(ab)a(b)注：类比实数的乘法运算律：数量积的运算律：关于向量的数量积运算：如图可知：如图可知：判断下列命题或等式的正确与否 若b 0 ，a b = 0，则a=0若a b = b c ， (b 0 )，则a=c错误错误错误（a b）c=a（b c）则判断下列命题或等式的正确与否 若b 0 ，a b5D41平面向量数量积的物理背景及其含义5D41平面向量数量积的物理背景及其含义5D41平面向量数量积的物理背景及其含义小结1. 向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运