数学分析课件第17章多元函数微分_第1页
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3 方向导数与梯度 方向导数的概念 定义1 设函数 导数, 记作 存在, 则称此极限为函数 在点 沿方向 的方向 若极限 给 方向导数与偏导数之间的一般关系 当 的方向为 x 轴的负方向时，则有图 17 5 其中 证 设 为 有 (参见图17 5 ) 在点沿任一方向的方向导数都存在, 且为 的方向余弦 上任一点，于是 (2)由假设在点可微，则有解 对于二元函数 来说, 相应于 (1) 的结果为 其中 是 中向量 的方向角 按公式 (1) 可求得 例2 设函数 此函数示于图 16 15, 已知它在原点不连续 (当然 也就不可微)但在始于原点的任何射线上, 都存在 包含原点的充分小的一段，在这一段上 f 的函数值 恒为零. 于是由方向导数定义, 在原点处沿任何方 向 都有 说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件；(ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也不是充分条件 ( 对此读者应能举出反 例 ) 梯度的概念 则方向导数计算公式 (1) 又可写成 的长度 (或模) 为 在定理17.6 的条件下, 若记 方向上的单位向量为 解

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