四川省宜宾市师培中心附属实验中学2023年高二数学理联考试题含解析

1、四川省宜宾市师培中心附属实验中学2023年高二数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 用数学归纳法证明：“”，由到时，等式左边需要添加的项是（）A. B. C. D. 参考答案：D【分析】写出时，左边最后一项，时，左边最后一项，由此即可得到结论【详解】解：时，左边最后一项为，时，左边最后一项为，从到，等式左边需要添加的项为一项为故选：D【点睛】本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题2. 如图所示，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB

2、，PC上的投影，当三棱锥P-AEF的体积最大时，PC与底面ABC所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 参考答案：D分析：由题意首先得到体积表达式，然后结合解析式确定函数取得最值时的条件，最后求得最值即可.详解：设，由题意可知，设与底面所成的角为，则由圆的性质可知：，由线面垂直的定义可知：，结合线面垂直的判断定理可得：平面，则，结合可知平面，据此有，则，由平面可知，结合可得平面，则.在中，利用面积相等可得：，在中，则，结合均值不等式的结论可知，当，即时三棱锥的体积最大，此时.本题选择D选项.点睛：本题主要考查线面垂直的定义与判断定理，均值不等式的应用，立体几何中的最值问题，三棱锥的体积公

3、式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 A. B. C. D. 参考答案：D4. 设函数f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）0，则a的取值范围是（）A）B）C）D）参考答案：D【考点】6D：利用导数研究函数的极值；51：函数的零点【分析】设g（x）=ex（2x1），y=axa，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=axa的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得ag（0）=1且g（1）=3e1aa，解关于a的不等式组可得【解答】解：设g

4、（x）=ex（2x1），y=axa，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=axa的下方，g（x）=ex（2x1）+2ex=ex（2x+1），当x时，g（x）0，当x时，g（x）0，当x=时，g（x）取最小值2，当x=0时，g（0）=1，当x=1时，g（1）=e0，直线y=axa恒过定点（1，0）且斜率为a，故ag（0）=1且g（1）=3e1aa，解得a1故选：D【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题5. 将一枚硬币连掷五次，如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，那么k的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：C略6. 已知函数f（x）

5、=aln（x+1）x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且pq，不等式 恒成立，则实数a的取值范围为（）A（12，30B（，18C18，+）D（12，18参考答案：C【考点】函数恒成立问题【分析】依题意知，不等式2恒成立等价转化为f（x+1）2恒成立，分离参数a，利用二次函数的单调性与最值即可求得实数a的取值范围【解答】解：f（x）=aln（x+1）x2，f（x+1）=aln（x+1）+1（x+1）2，f（x+1）=2（x+1），p，q（0，1），且pq，不等式2恒成立?2恒成立?f（x+1）2恒成立，即2（x+1）2（0 x1）恒成立，整理得：a2（x+2）2（0 x1）恒成立，函数y=

6、2（x+2）2的对称轴方程为x=2，该函数在区间（0，1）上单调递增，2（x+2）218，a18故选：C7. 执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的( ). . . 参考答案：A略8. 已知椭圆的两个焦点是（3，0），（3，0），且点（0，2）在椭圆上，则椭圆的标准方程是（）ABCD参考答案：A【考点】椭圆的标准方程【分析】根据椭圆方程为标准方程，及椭圆的两个焦点是（3，0），（3，0），且点（0，2）在椭圆上，可得相应几何量，从而得解【解答】解：由题意，因为椭圆的两个焦点是（3，0），（3，0），所以c=3，又因为椭圆过点（0，2），所以b=2，根据a2=b2+c2，可得a=故椭圆的标准

7、方程为：故选A9. 已知命题，则为 （ ）(A) (B)(C) (D)参考答案：D10. 已知过点恰能作曲线的两条切线，则的值是 A B C D或参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，则该函数的值域为_。参考答案：1，212. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50 分的分成五段然后画出如下图的部分频率分布直方图。观察图形的信息，可知数学成绩低于50分的学生有 人；估计这次考试数学学科的及格率（60分及以上为及格）为 ； 参考答案：6, 75% 略13. 中心在坐标原点

8、，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 .参考答案：因为由于题意可知双曲线的一条渐近线方程为，即为y=-x，那么根据焦点在x轴上，那么说明是b与a的比值，那么，利用，可知双曲线的a,c的关系式为，那么可知离心率e=，故答案为。考点：本试题主要考查了双曲线的方程以及性质的运用。点评：解决该试题的关键是先把直线方程整理成y=-x，进而可知a和b的关系，利用c与a,b的关系进而求得a和c的关系式，则双曲线的离心率可得。14. 若圆上至少有三个不同点到直线的距离为. 则直线l的倾斜角的取值范围是_.参考答案：（1）条件结构和顺序结构 3分（2） 7分（3）由 或 或 解得： 或

9、 或 即输入x的值的范围为 12分15. 已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是_.参考答案：3略16. 已知数列an的第1项a1=1，且an+1=，（n=1，2，3，），则此数列的通项公式an=参考答案：【考点】8H：数列递推式【分析】将递推关系式倒过来，构造了等差数列从而求出an的通项公式【解答】解：由题意，得=即是以1为首项，1为公差的等差数列故答案为：17. 设复数，其中为实数，若的实部为2，则的虚部为 _.参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图所示，一辆汽车从A市出发沿海岸一条直公

10、路以100km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东30方向距A市600km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件送给这辆汽车的司机.问快艇至少以多大的速度，以什么样的航向行驶才能最快把稿件送到司机手中？参考答案：解：如图所示，设快艇以的速度从处出发，沿方向，小时后与汽车在处相遇.在中，由余弦定理，整理得：.当时，.快艇至少以的速度行驶时才能最快把稿件送到司机手中.当时，在中，.故快艇至少以的速度，以北偏东60的方向（与垂直）航行才能最快把稿件送达司机手中.19. 设Sn为数列an的前n项和，给出如下数列：5，3，1，1，3，5，7，；14，10，6，2，2，6，10，14，

11、18，（1）对于数列，计算S1，S2，S4，S5；对于数列，计算S1，S3，S5，S7（2）根据上述结果，对于存在正整数k，满足ak+ak+1=0的这一类等差数列an前n项和的规律，猜想一个正确的结论，并加以证明参考答案：【考点】归纳推理【分析】（1）直接求和，可得结论；（2）ak+ak+1=0，2a1=（12k）d，证明S2knSn=0即可【解答】解：（1）对于数列S1=5，S2=8，S4=8，S5=5；S1=14，S3=30，S5=30，S7=14；（2）ak+ak+1=0，2a1=（12k）dS2knSn=（2kn）a1+dna1= （2kn）（12k）+（2kn）（2kn1）（12k）

12、nn（n1）= 2k4k2n+2nk+4k22kn2k2nk+n2+nn+2knn2+n=?0=020. （8分）对于函数，若存在实数使得，则称为函数的不动点。已知函数（1）当时，求函数的不动点；（2）对于任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若函数的图象上A，B两点的横坐标是函数的不动点，且A，B两点关于直线对称，求b的最小值。参考答案：略21. 已知等差数列an的前n项和为Sn，且，.（1）求数列an的通项公式；（2）若，求n的值.参考答案：（1）；（2）4.【分析】（1）运用等差数列的性质求得公差d，再由及d求得通项公式即可（2）利用前n项和公式直接求解即可.【详解】（1）设数列的公差为，故.（2），解得或（舍去），.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及项数的求法，考查了前n项和公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用22. 已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=2时，求不等式f（x）2的解集（2）若对任意的x1，+），f（x）0恒成立，求实数a的取值范围参考答案：【考点】二次函数的性质