数字信号处理

1、数字信号处理10.有限长脉冲响应滤波器和窗函数 2022/9/25数字信号处理 第十章（1）2 相应于 的时间函数 为10.1理想滤波器及其存在的问题A.理想滤波器 离散抽样信号的频率范围为 ，因此该范围则是理想滤波器的频率设计范围。 一、理想低通滤波器 理想低通滤波器的频谱 为 其中 称为高通频率。其图形见图（a）。2022/9/25数字信号处理 第十章（1）3 二、理想带通滤波器10.1理想滤波器及其存在的问题 相应于 的时间函数 为 理想带通滤波器的频谱 为 其中 称为低通频率； 为高通频率。其图形见图(b)。 三、理想高通滤波器2022/9/25数字信号处理 第十章（1）4 理想高通滤

2、波器 可通过理想低通滤波器 得到 理想高通滤波器的频谱 为 其中 称为高截频率。其图形见图（c）。10.1理想滤波器及其存在的问题 相应于 的时间函数 为2022/9/25数字信号处理 第十章（1）5 它可以通过理想带通滤波器 得到 其中10.1理想滤波器及其存在的问题 四、理想带阻滤波器 相应于 的时间函数 为 理想带阻滤波器的频谱 为 其中 称为低截频率； 为高截频率。其图形见图(d)。2022/9/25数字信号处理 第十章（1）610.1理想滤波器及其存在的问题2022/9/25数字信号处理 第十章（1）710.1理想滤波器及其存在的问题 上述各种滤波器的频谱又称为滤波器的频率响应，滤波

3、 器的时间函数又称为滤波器的脉冲响应或滤波因子。 对于有效信号成分和干扰信号成分的频谱完全分离的信 号，上述滤波器可以完全消除干扰，保留有效信号，故 称为理想滤波器。 而大多数情况下，它不能起到完全消除干扰，保留有效 信号的作用。但仍可以起到消弱干扰，突出有效信号的 作用，所以在理论和实践上都有十分重要的作用。 五、离散希尔伯特滤波器2022/9/25数字信号处理 第十章（1）8 离散希尔伯特滤波器的频谱 为10.1理想滤波器及其存在的问题 相应于 的时间函数 为 六、理想微分滤波器 设连续信号 的频谱 在 时为0， 为抽样间隔， 可表示为2022/9/25数字信号处理 第十章（1）910.1

4、理想滤波器及其存在的问题 则有 则理想微分滤波器的频谱 为 相应于 的时间函数 为B.理想滤波器存在的问题 由前面介绍知，理想滤波器的时间函数 的长度是无限 的，只有对应该无限长度的 的频谱才是理想滤波器的 频谱，见下页图10-2（b）、（a）。 2022/9/25数字信号处理 第十章（1）1010.1理想滤波器及其存在的问题2022/9/25数字信号处理 第十章（1）1110.1理想滤波器及其存在的问题 然而在实际滤波中， 只取有限部分，即取-N到N之间部 分，其余部分截掉，得到截尾函数 ，它的图形见上页图 10-2（c） 其对应的频谱见图10-2（d）。从（d）中看出在点 ， ， 左右，曲

5、线产生了较为严重的振动现象，称为吉布斯现象。 吉布斯现象产生原因：1） 在上述四点处产生突跳。2) 截尾引起的。2022/9/25数字信号处理 第十章（1）12滤波器的吉布斯现象，造成滤波效果不好，它不仅不能有效地压制干扰，突出有效信号，而且还可能是有效信号的频谱产生畸变。为了克服此现象，从两方面着手：一是在频率域，避免理想滤波器频谱中出现的突跳现象，把它改造成为一条连续甚至光滑的曲线，所采用的方法就是镶边法；二是在时间域，对截尾函数进行改造，所采用的方法就是时窗函数法。关于频域镶边法，参看有关文献。10.1理想滤波器及其存在的问题2022/9/25数字信号处理 第十章（1）1310.2时窗函

6、数A.由截尾所引起的时窗矩形时窗 设一个无穷长时间函数 其中 为抽样间隔， 的频谱为 其截尾函数为 实际上，截尾函数是原始函数与一矩形时窗 相乘的 结果2022/9/25数字信号处理 第十章（1）1410.2时窗函数 即 设 的频谱为 ，由第三章问题8知， 的频谱为 从而知，截尾函数的频谱与原始函数的频谱之间的差异完全由矩形时窗的频谱确定，下面我们研究 的特点。由于 是以 为周期的函数，其图形见图10-3（下页）。2022/9/25数字信号处理 第十章（1）1510.2时窗函数 关于主瓣、主瓣宽度、旁瓣的说明如图示。2022/9/25数字信号处理 第十章（1）16下面分析时窗频谱 的主瓣和旁瓣

7、在形成截尾函数的频谱 的过程中所起的作用。10.2时窗函数上式右端第一个积分是主瓣所起作用的结果。第一个积分使原始频谱在宽度为 的范围内被主瓣平滑了。在原始频谱有尖锐值的地方，平滑以后的频谱与原始频谱有较大的差异。因此主瓣宽度越窄，积分越接近原始频谱。2022/9/25数字信号处理 第十章（1）1710.2时窗函数 积分 是旁瓣所起作用的结果。我们要使截尾函数的频谱与原 始频谱接近，则原始频谱在旁瓣范围内所产生的值（上 式）只能起破坏作用，故将其称为时窗泄漏。为了使时窗泄漏小，希望时窗频谱旁瓣水平越低越好（使旁瓣的 振幅值或能量越小越好）。 下面举一例说明时窗泄漏问题。2022/9/25数字信

8、号处理 第十章（1）1810.2时窗函数 设 的频谱为理想低通频谱 ， 为高通频率， 的截尾函数的频谱 ： 取 时， 与 的图形见图10-4（下页）。2022/9/25数字信号处理 第十章（1）1910.2时窗函数2022/9/25数字信号处理 第十章（1）20从图象可看出，矩形时窗函数不是一个好的时窗函数。10.2时窗函数一个好的时窗函数，应满足：1）主瓣宽度尽可能地小；2）旁瓣水平（指振幅值或能量）相对于主瓣来说也尽 可能小但两个标准的矛盾性，使得我们不能兼得，只能根据具体问题，作一权衡，选择一个适当的时窗函数。B.几种时窗函数2022/9/25数字信号处理 第十章（1）21 得到离散时窗

9、函数 10.2时窗函数 连续时窗函数 （ 是连续变化的），即 其中 为时窗长度 一、矩形时窗 矩形时窗函数为2022/9/25数字信号处理 第十章（1）2210.2时窗函数 它的频谱为 二、三角形（Bartlett）时窗 三角形时窗函数为 它的频谱为 三、钟形（Gauss）时窗 钟形时窗函数为2022/9/25数字信号处理 第十章（1）2310.2时窗函数 它的频谱为 四、哈宁（Hanning）时窗 哈宁时窗函数为 它的频谱为 其中 取值在47之间。一般来说，当要求频谱的中间 波峰比较突出时， 就取得小些，相对于要求主瓣的宽 度窄些，反之， 取大些，相当于要求旁瓣水平低些。2022/9/25数

10、字信号处理 第十章（1）2410.2时窗函数 五、汉明（Hamming）时窗 汉明时窗函数为它的频谱为 六、帕曾（Parzen）时窗 帕曾时窗函数为2022/9/25数字信号处理 第十章（1）2510.2时窗函数它的频谱为 七、截尾丹尼尔（Daniell）时窗 截尾丹尼尔时窗函数为2022/9/25数字信号处理 第十章（1）2610.2时窗函数它的频谱为其中 八、布拉克曼（Blackman）时窗 布拉克曼时窗函数为2022/9/25数字信号处理 第十章（1）2710.2时窗函数它的频谱为它的频谱为 九、凯苏（Kaiser）时窗 凯苏时窗函数为 其中 是修正的第一类零阶贝塞尔函数， 是参数。20

11、22/9/25数字信号处理 第十章（1）2810.2时窗函数 实际上， 是形状参数， 越大，主瓣宽度越大，旁瓣水 平越小。当 表达式根号内出现负值时，其变为其中sh为双曲正弦。上述推导涉及知识参看文献16第十六章第6节。为了由连续时窗函数 得到物理可实现离散时窗函数 ，我们取2022/9/25数字信号处理 第十章（1）2910.2时窗函数这样得到离散时窗函数于是，对三角形时窗有对哈宁时窗有对汉明时窗有2022/9/25数字信号处理 第十章（1）3010.2时窗函数对布拉德曼时窗有对凯苏时窗有常用时窗函数的主瓣宽度和旁瓣峰值 时窗函数 旁瓣峰值/dB 主瓣宽度( ) 矩形 -13 2 三角形 -25 4 哈宁 -31 4 汉明 -41 4 布拉克曼 -57 62022/9/25数字信号处理 第十章（1）31作 业第10章问题 1，