空间向量的数量级

1、空间向量的数量级第1页，共16页，2022年，5月20日，12点27分，星期五一、几个概念1） 两个向量的夹角OAB2） 两个向量垂直如果 = ，则称 a 与 b 互相垂直，记作 ab.第2页，共16页，2022年，5月20日，12点27分，星期五4）两个向量的数量积注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量. 零向量与任意向量的数量积等于零。设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量 a 的长度(模)，记作3) 向量的长度（模）第3页，共16页，2022年，5月20日，12点27分，星期五1)数量积性质 求向量的长度(模)的依据对于非零向量 ，有：二、数量积的性质证明向量垂直的依据2)数量积满足

2、的运算律 注意：数量积不满足结合律，即求向量夹角的依据第4页，共16页，2022年，5月20日，12点27分，星期五练习11. 判断真假：3. 如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1, 点E、F分别是AB、AD的中点。计算：ADFCBE假假假O假真第5页，共16页，2022年，5月20日，12点27分，星期五gmnl例1：已知m, n是平面内的两条相交直线，直线 l 与的交点为B，且l m ，l n，求证：l 分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g 垂直。要证l与g垂直，只需证 l g = 0而 m , n 不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x, y), 使

3、得 向量g =x m + y n 要证 l g = 0,只需 l g = xl m + y l n = 0故 l g = 0而 l m = 0 ，l n = 0第6页，共16页，2022年，5月20日，12点27分，星期五例2：已知：在空间四边形OABC中，OABC，OBAC，求证：OCABABCOHOABCAHBCOBACBHACH是垂心，CHAB得：OCAB方法2：第7页，共16页，2022年，5月20日，12点27分，星期五例3 已知空间四边形OABC中，M、N、P、Q分别是BC、AC、OA、OB的中点，若AB=OC，求证：PMQN。OABCPMNQ第8页，共16页，2022年，5月20

4、日，12点27分，星期五练习2：2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a, 点M、N分别是边AB、CD的中点.求证：MNAB, MNCD。3.已知空间四边形OABC, OB=OC, AOB=AOC=，求证：OABC。4.如图，已知正方体 , 和 相交于点O，连结AO，求证:AOCD。ODCBADABCNMABDC第9页，共16页，2022年，5月20日，12点27分，星期五2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于 ，点分别是边的中点。求证：。同理，NMABDC第10页，共16页，2022年，5月20日，12点27分，星期五3.已知空间四边形，求证：。OACB第11页，共16页

5、，2022年，5月20日，12点27分，星期五4.如图，已知正方体， 和 相交于点，连结 ，求证：。ODCBADABC第12页，共16页，2022年，5月20日，12点27分，星期五例4 如图，已知线段AB在平面 内 ，线段AC，线段BDAB ，线段DD，DBD=30 ，如果AB=a, AC=BD=b，求C、D之间的距离。 解：由 ，可知 .由 知 .babaCABDD问：若去掉“如图”，并将“DBD=30”变成“AC 与BD成60角”，结果有无变化？第13页，共16页，2022年，5月20日，12点27分，星期五例5已知在平行六面体ABCD-ABCD中, AB=4, AD=3,AA=5, BAD=90,BAA=DAA=60, 求对角线AC的长。解：DCBDABCA引伸：求BD的长；求直线AC和BD的夹角的余弦值。第14页，共16页，2022年，5月20日，12点27分，星期五例6已知在正四面体ABCD中，E、F分别为BC和AD的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值。ABCDEF设AB = m ，AE与CF所成角的余弦值是第15页，共16页，2022年，5月20日，12点27分，星期五 小结1正确分清楚空间向量的夹角。2明白两个向量的数量积的概念、性质和计算方法。