2023届高考数学练习（湖南专版）-考点05 一元二次函数、方程和不等式1（解析版）

1、考点05 一元二次函数、方程和不等式11.函数f（x）x2+bx+c的零点为1和2，那么不等式x2bx+c0的解集为（）Ax|2x1Bx|1x2Cx|x1或x2Dx|x2或x1【解答】解：二次函数f（x）x2+bx+c的零点为1和2，则对应一元二次方程x2+bx+c0的两个实数根为1和2，所以b（1+2）1，c122，所以不等式x2bx+c0化为x2+x20，解得2x1，所以不等式的解集为x|2x1故选：A【知识点】一元二次不等式及其应用 2.已知等比数列an的前n项和为Sna4n1+b1（a0，b0），则的最小值为（）ABCD【解答】解：Sna4n1+b1（a0，b0），S1a+，当n2时，

2、anSnSn13a4n2，数列an是等比数列，a1，a+b4，则，当且仅当且a+b4即a1，b3时取得最小值为，故选：D【知识点】基本不等式及其应用、等比数列的性质 3.若k1，a0，则k2a2+的最小值是（）A4B4C8D16【解答】解：k1，a0，则k2a2+448，当且仅当k1且即a1，k2时取等号，则k2a2+的最小值是8故选：C【知识点】基本不等式及其应用 4.已知关于x的不等式x2axb0的解集是（2，3），则a+b的值是（）A11B11C7D7【解答】解：关于x的不等式x2axb0的解集是（2，3），所以方程x2axb0的解2和3，由根与系数的关系知，a2+31，b23，解得b6

3、，所以a+b7故选：D【知识点】一元二次不等式及其应用 5.若M2a23a+5，Na2a+4，则M与N的大小关系为（）AMNBMNCMNDMN【解答】解：MN2a23a+5（a2a+4）a22a+1（a1）20；MN故选：A【知识点】不等式比较大小 6.若对任意的正数a，b满足a+3b10，则的最小值为（）A6B8C12D24【解答】解：任意的正数a，b满足a+3b10a+3b1所以则（）（a+3b）+6，因为：+26，所以（）（a+3b）+612，（当且仅当时，a，b时，等号成立），故选：C【知识点】基本不等式及其应用 7.已知不等式对一切恒成立，则实数m的取值范围是（）Am6Bm6Cm7D

4、m7【解答】解：2（x1）+m+2m+6当且仅当2（x1）即x1时取等号，对一切恒成立，0，则m+60m6故选：A【知识点】基本不等式及其应用 8.若不等式ax2+2x+c0的解集是（）（），则不等式cx22x+a0的解集是（）ABC2，3D3，2【解答】解：不等式ax2+2x+c0的解集是（）（），和是方程ax2+2x+c0的两个实数根，由，解得：a12，c2，故不等式cx22x+a0即2x22x120，即x2x60，解得：2x3，所以所求不等式的解集是：2，3，故选：C【知识点】一元二次不等式及其应用 9.关于x的不等式解集为a，b，则ab（）A1B2C3D4【解答】解：令f（x）x23x

5、+4，则f（x）（x2）2+1，f（x）minf（2）1，由题意可知a1，且f（a）f（b）b，ab，由f（b）b得到 b23b+4b，解得b（舍去）或b4，由抛物线的对称轴为x2得到a0，ab4故选：D【知识点】一元二次不等式及其应用 10.若不等式x2m+4x，x0，1恒成立，则实数m的取值范围是（）Am3或m0Bm3C3m0Dm3【解答】解：不等式x2m+4x，x0，1恒成立，只需m（x24x）min，x0，1函数f（x）x24x（x2）24，x0，1，f（x）minf（1）3，m3，故选：D【知识点】一元二次不等式及其应用 11.若a，b都是正数，且a+b1，则（a+1）（b+1）的最

6、大值为（）AB2CD4【解答】解：由题意，可知：（a+1）（b+1）（）2（）2故选：C【知识点】基本不等式及其应用 12.不等式（3x）（1+x）0的解集是（）A（1，3）B（，1）（3，+）C（3，1）D（，3）（1，+）【解答】解：不等式（3x）（1+x）0可化为（x3）（x+1）0，解得1x3，所以不等式的解集为（1，3）故选：A【知识点】一元二次不等式及其应用 13.若f（x）4x2kx8在5，8上为单调递减函数，则k的取值范围是（）A（，10B64，+）C（，4064，+）D40，64【解答】解：由题意，可知：二次函数f（x）4x2kx8开口向上，对称轴x函数f（x）在5，8上为单

7、调递减函数对称轴x，k64故选：B【知识点】二次函数的性质与图象 14.若正数x、y满足x+4yxy0，则的最大值为（）ABCD【解答】解：正数x、y满足x+4yxy0，y0，解得x4，当且仅当x4时等号成立，的最大值为故选：B【知识点】基本不等式及其应用 15.不等式ax2+bx+c0的解集为（4，1），则不等式b（x2+1）a（x+3）+c0的解集为（）ABCD【解答】解：不等式ax2+bx+c0的解集为（4，1），则不等式对应方程的实数根为4和1，且a0；由根与系数的关系知，不等式b（x2+1）a（x+3）+c0化为3a（x2+1）a（x+3）4a0，即3（x2+1）（x+3）40，解得

8、1x，该不等式的解集为（1，）故选：B【知识点】一元二次不等式及其应用 16.已知a，b是正实数，且a+b2，则+的最小值为【解答】解：a，b是正实数，且a+b2，则+（+）（a+b）（5+），当且仅当且a+b2即b，a时取等号则+的最小值为故答案为：【知识点】基本不等式及其应用 17.已知x0，y0，x+3y+3xy80，则x+3y的最小值是【解答】解：因为x0，y0，且x+3y+3xy80，所以x+3y+3xy80 x+3y+8，所以（x+3y+8）（x+3y4）0，所以x+3y4，当x3y时x+3y取得最小值4，故答案为：4【知识点】基本不等式及其应用 18.关于x的不等式x2+px20

9、的解集为（q，1），则p+q【解答】解：由题意知，方程x2+px20有一个根为1，代入方程求得p1；所以不等式为x2+x20，解得其解集为（2，1）；所以q2，所以p+q1故答案为：1【知识点】一元二次不等式及其应用 19.不等式2x2x+60的解集是【解答】解：不等式2x2x+60可化为2x2+x60，解得2x；该不等式的解集是2，故答案为：2，【知识点】一元二次不等式及其应用 20.已知x0，y0，且x+y1，则的最小值为【解答】解：x0，y0，且x+y1，+（x+y）（+）5+5+25+2，当且仅当xy，x+y1，即y2，x3时取等号故答案为：5+2【知识点】基本不等式及其应用 21.若

10、不等式px2qx+r0的解集为x|x2或x3，则不等式（qx2+px+r）（x1）0的解集为【解答】解：px2qx+r0的解集为x|x2或x3，所以其对应的方程px2qx+r0有两个根2，3，且p0，px2qx+rp（x+2）（x3）px2px6p，所以qp，r6p（qx2+px+r）（x1）0，即p（x2+x6）（x1）0，即（x+3）（x2）（x1）0，由穿针引线法，得x（3，1）（2，+）故答案为：（3，1）（2，+）【知识点】一元二次不等式及其应用 22.已知正数x，y满足x+y1（）求xy的最大值；（）求的最小值【解答】解：（）xy（）2，当且仅当xy时，等号成立；（）+3+3+23

11、+2，当且仅当，即x1，y2时，等号成立；【知识点】基本不等式及其应用 23.已知二次函数f（x）2x2+ax+3（1）若f（x）在1，1上单调，求a的取值范围；（2）求f（x）在1，1上最小值【解答】解：（1）若f（x）在1，1上单调递增，则x1，即a4，若f（x）在1，1上单调递减，则x1，即a4，故a4或者a4；（2）根据（1）当a4时，f（x）在1，1上单调递增，f（x）minf（1）5+a，当a4时，f（x）在1，1上单调递减，f（x）minf（1）5a，当4a4时，f（x）的最小值为f（）【知识点】二次函数的性质与图象 24.已知f（x）是二次函数，且满足f（0）2，f（x+1）f

12、（x）2x+3（1）求函数f（x）的解析式（2）设h（x）f（x）2tx，当x1，+）时，求函数h（x）的最小值【解答】解：（1）设f（x）ax2+bx+c（a0），f（0）c2，f（x+1）f（x）2x+3，a（x+1）2+b（x+1）+c（ax2+bx+c）2x+3，2ax+a+b2x+3，c2，a1，b2，f（x）x2+2x+2，（2）由题意得h（x）x2+2（1t）x+2，对称轴为直线xt1，当t11即t2时，函数在1，+）单调递增h（x）minh（1）52t，当t11即t2时，函数在1，t1单调递减，在t1，+）单调递增，综上：h（x）min【知识点】函数解析式的求解及常用方法、二次

13、函数的性质与图象 25.设函数f（x）x2+mx+n，已知不等式f（x）0的解集为x|1x4（1）求m和n的值；（2）若f（x）ax对任意x0恒成立，求a的取值范围【解答】解：（1）依题意，1，4为方程x2+mx+n0的两根，所以m1+4，n14，即m5，n4；（2）由（1）知，f（x）x25x+4，所以f（x）ax对任意x0恒成立，即x25x+4ax对任意x0恒成立，x0，ax+5在（0，+）上恒成立，当x0时，0，根据基本不等式，x+5251，当且仅当x2时，等号成立，所以a1【知识点】一元二次不等式及其应用 26.若a，b，cR+，且满足a+b+c2（1）求abc的最大值；（2）求+的最

14、小值【解答】解：a，b，cR+，且满足a+b+c2（1）abc，当且仅当abc时取等号，故abc的最大值；（2）+（3）（3+2+2+2），当且仅当abc时取等号+的最小值【知识点】基本不等式及其应用 27.已知x1，x2是一元二次方程（a6）x2+2ax+a0的两个实数根（1）是否存在实数a，使x1+x1x24+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值【解答】解：（1）由题意可知4a24a（a6）24a0，即a0又a60，a6，a0且a6由题可知x1+x2，x1x2x1+x1x24+x2，即x1x24+x1+x2，4+，解得a24经检验，符合题意存在实数a，a的值为24（2）（x1+1）（x2+1）x1+x2+x1x2+1+1为负整数，整数a的值应取7，8，9，12【知识点】二次函数的性质与图象 28.设函数