逻辑函数的卡诺图化简法

1、文档编码 : CV8Y1Y4C2B5 HF7B5G1T6D5 ZB10M7R9G7F9精品资料 欢迎下载 规律函数的卡诺图化简法 规律函数的卡诺图化简法 由前面的学习得知,利用代数法可以使规律函数变成较 简洁的形式；但要求娴熟把握规律代数的基本定律,而且需 要一些技巧,特殊是经化简后得到的规律表达式是否是最简 式较难确定；运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达 式；但第一需要明白最小项的概念； 一,最小项的定义及其性质 1.最小项的基本概念 由 A , B, C 三个规律变量构成的很多乘积项中有八个 被称为 A , B, C 的最小项的乘积项,它们的特点是 1. 每项都只有三个因子 2. 每

2、个变量都是它的一个因子 3. 每一变量或以原变量 , 的形式显现,或以 反（非）变量 , 的形式显现,各显现一次 一般情形下,对个变量来说,最小项共有 2n 个,如 n3 时,最小项有 23 8 个 第 1 页,共 11 页精品资料 欢迎下载 2.最小项的性质 为了分析最小项的性质,以以下出个变量的全部最小 项的真值表； 由此可见,最小项具有以下性质： （ 1）对于任意一个最小项,只有一组变量取值使得它 的值为 1,而在变量取其他各组值时,这个最小项的值都是 0； （ 2）不同的最小项,使它的值为 也不同； 1 的那一组变量取值 （ 3）对于变量的任一组取值,任意两个最小项的乘积 为 0； （

3、 4）对于变量的任一组取值,全体最小项之和为 1； 3.最小项的编号 最小项通常用 mi 表示,下标 i 即最小项编号 ,用十进 制数表示；以 ABC 为例,由于它和 011 相对应,所以就称 ABC 是和变量取值 011 相对应的最小项, 而 011 相当于十进 制中的 3,所以把 ABC 记为 m3 按此原就, 3 个变量的最小 项 第 2 页,共 11 页精品资料 欢迎下载 二,规律函数的最小项表达式 利用规律代数的基本公式,可以把任一个规律函数化成 一种典型的表达式,这种典型的表达式是一组最小项之和, 称为最小项表达式 ；下面举例说明把规律表达式开放为最小项表达式的方法； 例如,要将化

4、成最小项表达式 ,这时可利用的基本运算关系 , 将规律函数中的每一项都化成包含全部变量 A ,B,C 的项, 然后再用最小项下标编号来代表最小项,即 又如,要将 化成最小项表达式,可经以下几步： （ 1）多次利用摩根定律去掉非号 只在单个变量上有非号的表达式； ,直至最终得到一个 （ 2）利用支配律除去括号,直至得到一个与或表达式； （ 3）在以上第 5 个等式中,有一项 AB 不是最小项（缺 少变量 C）,可用乘此项,正如第 6 个等式所示； 由此可见,任一个规律函数都可化成为唯独的最小项表 达式； 第 3 页,共 11 页精品资料 欢迎下载 三,用卡诺图表示规律函数 1.卡诺图的引出 一个

5、规律函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式 中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内,此方格图称 为卡诺图； 卡诺图是规律函数的一种图形表示； 下面从争论一变量卡诺图开头,逐步过渡到多变量卡诺 图； 大家知道, n 个变量的规律函数有 一个变量的规律函数有两个最小项； 2n 个最小项 ,因此 比如有一个变量,其规律函数的最小项表达式为： 其中和是两个最小项, 分别记为 m1 和 m0,即 m0=D , m1=D ；这两个最小项可用两个相邻的方格来表示,如下图 所示；方格上的和分别表示原变量和非变量；为了简明起 见,非变量可以不标出,只标出原变量；但是仍可以进一 步简化,也就是将 m0, m1

6、只用其下标编号来表示； 如变量的个数为两个,就最小项个数为 22=4 项,函数 的最小项表达式为 第 4 页,共 11 页精品资料 欢迎下载 由于有个最小项,可用个相邻的方格来表示；这 个方格可以由折叠了的变量卡诺图开放来获得,如下图所 示,变量标在图的底下,标的规律符合开放的规律,即中 间两格底下为,两边的两格底下为；而变量可标在开放 后新的两个方格的顶上 ,以保持左边的第一格仍为 m0 项,即 爱护开放前两方格最小项序号不转变；由图中可看到一个规 律： 新的方格内最小项的编号比对应的原方格增加了 2n-1 22-12；依据这个规律折叠时,方格 1 后面为方格 ,方格 后面为方格,开放后即得

7、图示的变量卡诺图； 综上所述,可归纳“折叠开放”的法就如下： 新增加的方格按开放方向应标以新变量； 新的方格内最小项编号应为开放前对应方格编号加 2n-1； 依据同样的方法,可从折叠的变量卡诺图开放获得 变量卡诺图；变量规律函数 LB, C, D 应有个最小项, 可用个相邻的方格来表示；新增加的 个方格按开放方 向应标以新增加的变量 B（以区分于原先的变量 C, D）；而 且,新增加的方格内最小项的编号为开放前对应方格编号加 2n-1=23-1=4 ,这样即可获得变量卡诺图如下： 同理,可得变量卡诺图,如下图所示； 第 5 页,共 11 页精品资料 欢迎下载 在使用时,只要熟识了卡诺图上各变量

8、的取值情形（即 方特殊各变量 A, B, C, D 等取值的区域） ,就可直接填入 对应的最小项； 将上图中的数码编号与最小项的编号对应,可以得 到下面这种形式的卡诺图； 2.卡诺图的特点 上面所得各种变量的卡诺图,其共同特点是可以直接观 察相邻项 ；也就是说,各小方格对应于各变量不同的组合,而且上下 左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别,这个重要 特点成为卡诺图化简规律函数的主要依据；在卡诺图水平方 向的同一行里,最左和最右端的方格也是符合上述相邻规律 的,例如, m4 和 m6 的差别仅在 C 和；同样,垂直方向同 一列里最上端和最下端两个方格也是相邻的,这是由于都只 有一个因子有差

9、别；这个特点说明卡诺图显现循环邻接的特 性； 3.已知规律函数画卡诺图 第 6 页,共 11 页精品资料 欢迎下载 依据规律函数的最小项表达式和卡诺图的一般形式,就 可以得到相应的卡诺图； 例如, 要画出规律函数的卡诺图时, 可依据变量卡诺图, 对上列规律函数最小项表达式中的各项,在卡诺图相应方格 内填入, 其余填入, 即可得到如下图所示的的卡诺图； 例：画出 的卡诺图 解： （ 1）利用摩根定律,可以将上式化简为： （ 2）因 上式中最小项之和为,故对中的各最小项,在卡诺图相 应方格内应填入,其余填入,即得下图所示的卡诺图； 四,用卡诺图化简规律函数 1.化简的依据 我们知道,卡诺图具有循环

10、邻接的特性,如图中两个相 邻的方格均为 1,就这两个相邻最小项的和将消去一个变量； 比如变量卡诺图中的方格和方格,它们的规律加 是,项消去了变量,即消去了相邻方格中不相同的那个因 子；如卡诺图中个相邻的方格为,就这个相邻的最小 项的和将消去两个变量,如上述变量卡诺图中的方格, 第 7 页,共 11 页精品资料 欢迎下载 ,它们的规律加是 消去了变量和,即消去相邻个方格中不相同的那 两个因子 ,这样反复应用的关系,就可使规律表达式得到简化；这就 是利用卡诺图法化简规律函数的某本原理； 2.化简的步骤 用卡诺图化简规律函数的步骤如下： （ 1）将规律函数写成最小项表达式； （ 2）按最小项表达式填

11、卡诺图 ,凡式中包含了的最小 项,其对应方格填 1,其余方格填 0； （ 3）合并最小项,即将相邻的 1 方格圈成一组（包围 圈）,每一组含 2n 个方格,对应每个包围圈写成一个新的乘 积项； （ 4）将全部包围圈对应的乘积项相加； 有时也可以由真值表直接填卡诺图,以上的（ 1）,（ 2） 两步就合为一步； 画包围圈时应遵循以下原就： （ 1）包围圈内的方格数必定是 2n 个, n 等于 0, 1, 2, 第 8 页,共 11 页精品资料 欢迎下载 3, ； （ 2）相邻方格包括上下底相邻,左右边相邻和四角相 邻； （ 3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围 ,但新增 包围圈中确定要有新的方格

12、,否就该包围圈为余外； （ 4）包围圈内的方格数要尽可能多,包围圈的数目要 尽可能少； 化简后,一个包围圈对应一个与项（乘积项） ,包围圈 越大,所得乘积项中的变量越少；实际上,假如做到了使每 个包围圈尽可能大 ,结果包围圈个数也就会少, 使得消逝的乘积项个数也越多, 就可以获得最简的规律函数表达式；下面通过举列来熟识用 卡诺图化简规律函数的方法； 例: 一个规律电路的输入是个规律变量, ,它的真值表如下,用卡诺图法求化简的与一或表达式 及与非一与非表达式；解： （ 1）由真值表画出卡诺图,如下图所示； （ 2）画包围圈合并最小项,得简化的与一或表达式； （ 3） 求与非一与非表达式； 第 9 页,共 11 页精品资料 欢迎下载 二次求非然后利用摩根定律得 利用卡诺图表示规律函数式时,假如卡诺图中各小方格 被占去了大部分,虽然可用包围的方法进行化简,但由 于要重复利用项 ,往往显得零乱而易出错；这时接受包围的方法化简更为 简洁； 即求出非函数再对求非, 其结果相同, 下面举例说明； 例：化简以下规律函数解： （ 1）由画出卡诺图,如以下图； （ 2）用包围的方法化简,如下图所示,得 所以有： （ 3）用包围的方法化简,如以