函数图象的割线斜率与切线斜率的关系

1、函数图象的割线斜率与切线斜率的关系题1(2010年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数f(x)(a1)lnxax21,a1.若是对任意x1,x2(0,),f(x1)f(x2)4x1x2，求a的取值范围.(答案：a2.)题2(2009年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数f(x)1x2ax(a1)lnx,a1.证明：若a5，则对任意x1,x2(0,),x1x2，2有f(x1)f(x2)1.x1x2题3(2009年高考浙江卷理科第10题)对于正实数，记M为满足下述条件的函数f(x)构成的会集：x1,x2R且x2x1，有(x2x1)f(x2)f(x1)(x2x1).以下结论中正确的选项是()(答

2、案：C.)A.若f(x)M1,g(x)M2，则f(x)g(x)M12B.若f(x)M1,g(x)M2且g(x)0，则f(x)Mg(x)12C.若f(x)M1,g(x)M2，则f(x)g(x)M12D.若f(x)M1,g(x)M2且12，则f(x)g(x)M12题4(2006年高考四川卷理科第22(2)题)已知函数f(x)x22alnx(x0),f(x)的导函数是f(x)，a4,x1,x2是不相等的正数，求x证：f(x)f(x)xx2.121深入研究这四道高考题(除题8是选择压轴题外，其余三道都是解答压轴题的最后一问)，可得函数图象的割线斜率与切线斜率的关系：定理设aR，函数f(x)在区间I上可

3、导，则(1)x1,x2I,x1x2f(x1)f(x2)xI,f(x)a；有ax1x2(2)x1,x2I,x1x2f(x1)f(x2)xI,f(x)a且区间I0I，当有ax1x2xI0时f(x)a不能够恒成立；1(3)x1,x2I,x1x2f(x1)f(x2)xI,f(x)a；有ax1x2(4)x1,x2I,x1x2f(x1)f(x2)xI,f(x)a且区间I0I，当有ax1x2xI0时f(x)a不能够恒成立；(5)x1,x2I,x1f(x1)f(x2)axI,f(x)a；x2有x1x2(6)x1,x2I,x1x2有f(x1)f(x2)axI,f(x)a且区间I0I，x1x2当xI0时f(x)a

4、及f(x)a均不能够恒成立；(7)x1,x2I,x1x2有f(x1)f(x2)axI,f(x)a；x1x2(8)x1,x2I,x1x2有f(x1)f(x2)axI,f(x)a且区间I0I，x1x2当xI0时f(x)a及f(x)a均不能够恒成立.为证明定理，须介绍两个引理，它们在数学解析中均可找到(比方文件1,2)：引理1若函数f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上单调不减(不增)的充要条件是f(x)()0在xI时恒成立.(注：若x1,x2I,x1x2有f(x1)()f(x2)，则称f(x)在区间I上单调不减(不增).)引理2若函数f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上严格递加(递减)在I上

5、f(x)()0且对于任意的区间I0I，当xI0时f(x)0不能够恒成立.(注：若x1,x2I,x1x2有f(x1)()f(x2)，则称f(x)在区间I上严格递加(递减).)定理的证明设g(x)f(x)ax,h(x)f(x)ax.(1)左边x1,x2I,x1x2有f(x1)ax1f(x2)ax20 x1,x2I,x1x2有g(x1)g(x2)0g(x)在Ix1x2x1x2上单调不增g(x)f(x)a0右边.2(2)左边x1,x2I,x1x2有f(x1)ax1f(x2)ax20 x1,x2I,x1x2x1x2有g(x1)g(x2)0g(x)在I上严格递减g(x)f(x)a0(用引理2，这里省x1x

6、2去了一些文字的表达，下同)右边.同(1)可证.同(2)可证.(5)左边x1,x2I,x1x2f(x1)f(x2)x1,x2I,x1x2有有aax1x2g(x1)g(x2)0 x1x2g(x)在I上单调不增右边.h(x1)h(x2)h(x)在I上单调不减0 x1x2(6)左边x1,x2f(x1)f(x2),x2I,x1x2有I,x1x2有aax1x1x2g(x1)g(x2)x10 x2h(x1)h(x2)x10 x2(7)x1,x2g(x)在I上严格递减右边.h(x)在I上严格递加x1,x2I,x1x2有f(x1)f(x2)ax1x2I,x1x2有f(x2)f(x1)a或f(x2)f(x1)a

7、x2x1x2x1x1,x2I,x1x2有g(x1)g(x2)或h(x1)h(x2)xI,g(x)0或h(x)0 xI,f(x)a或f(x)axI,f(x)a(8)同(7)可证.题5已知函数f(x)x3ax2b(a,bR)的图象上任意不同样的两点连线的斜率小于1，求a的取值范围.解由定理9(2)，得f(x)3x22ax1在xR时恒成立，即3x22ax10恒3成立，所以(2a)2120,a3,3.所以所求a的取值范围是3,3.注由定理9(1)知，若把例1中的“小于”改成“不大于”，所得答案不变.还可考据：当a3,b0时，f(x)x33x2的图象上任一割线的斜率小于1，但图象在拐点(即凹凸性的分界点

8、，其二阶导数值为0，拜会文件2或3)1处切线的斜率为1(图1).3图1题6(2013年福建省厦门一中月考试题)已知函数f(x)x3ax2b(a,bR)若函数yf(x)的图象上任意两个不同样的点连线斜率小于1，求证：3a3；(2)若x0,1，且函数f(x)的图象上任意一点处的切线斜率为k，试证明k1的充要条件为1a3.由题5的结论可知，题6的第(1)问是错题(可得第(2)问是正确的).下面用定理给出题14的简解.题3的简解M即满足条件“x1,x2f(x1)f(x2)”的函数f(x)构R，有x2x1成的会集.由定理(6)，得M即满足条件“f(x)(xR)且对于任意的区间I0I，当xI0时f(x)a

9、及f(x)a均不能够恒成立”的函数f(x)的会集.由此及绝对值不等式可证得选项C成立(且可消除选项A、B、D)，所以选C.题2的简解由定理(4)知只需证明“当x0时f(x)1且f(x)1只幸亏一些孤立点上成立”：a1f(x)xa2a1aa1(2a1)11x4所以要证结论成立.(并且还可得：当1a5时，结论也成立.)题1的简解a12(0).由定理(7)知题设即f(x)xaxxa1f(x)2ax4在x0时恒成立，由a1及均值不等式可得所求a的取值范x围是(,2.注下面把题1中的题设“a1”改成“aR”，再来求解：此时题意即“a12ax4在x0时恒成立，求a的取值范围”.x当a时，已得a2；1当1a0时，可得函数g(x)a12(0)是单调减函数，可得此时不满足xaxx题设；当a0时，由均值不等式可得a1.所以所求a的取值范围是(,21,).题4的简解设g(x)f(x)2x2ag(x1)g(x2)x2，即证x11.xx2由定理(8)知，只需证明：当x0时g(x)1，即24a1(x0)x3x2只需证24a1(x0)x3x2即x222a(x0)