2021-2022学年湖南省郴州市亚星学校高三数学理期末试题含解析

1、2021-2022学年湖南省郴州市亚星学校高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设：x=1且y=2，：x+y=3，是成立的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；简易逻辑【分析】?，反之不成立，例如：x=2，y=1即可判断出【解答】解：x=1且y=2，：x+y=3，?，反之不成立，例如：x=2，y=1是的充分非必要条件，故选：A【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题

2、2. 下列函数中为偶函数的是（ ）A B C D参考答案：D试题分析：A，B，C是非奇非偶函数函数，D为偶函数.考点：函数奇偶性与单调性.3. 一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ）ABCD 参考答案：A满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形=16=4，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S阴影=2，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：P=1=1，故选：A4. 设、均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ）（A） （B） （C）

3、（D）参考答案：B5. 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ）（A） （B） （C） （D）参考答案：A6. 已知m，n是空间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则参考答案：C7. 已知如图所示的程序框图，当输入时，输出的值（ ）A B C D 参考答案：A略8. 若复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=( )ABC2D参考答案：B考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出解答：解：复数z满足（1+i）z=2i，=，则|z|=故选：B点评：本题考查了复数的运算法则、模的计

4、算公式，属于基础题9. 已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（ ）A B C D 参考答案：C10. 执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的值为（A）6 （B）8 （C）10 （D）12参考答案：C第一步：x9，k2；第二步：x21，k4；第三步：x45，k6；第四步：x93，k8；第五步：x189，k10；退出循环，故k10。二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，y=f(x)是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y= f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x)，其中g (x)是g（x）的导函数，则参考答案：

5、0 【知识点】利用导数研究函数的单调性B11解析：直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，f（3）=1，又点（3，1）在直线L上，3k+2=1，从而k=，f（3）=k=，g（x）=xf（x），g（x）=f（x）+xf（x）则g（3）=f（3）+3f（3）=1+3（）=0，故答案为0【思路点拨】先从图中求出切线过的点，再求出直线L的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念求出g（3）的值12. 已知函数f（x）=cos（2x+）cos2x，其中xR，给出下列四个结论：函数f（x）是最小正周期为的奇函数；函数f（x）图象的一条对称轴是直线x=；函数f（x）图象

6、的一个对称中心为（，0）；函数f（x）的单调递增区间为k+，k+，kZ其中正确的结论序号参考答案：【分析】化简函数f（x），由定义判断函数f（x）不是奇函数，判断错误；由f（）=1取得最大值，得出直线x=是f（x）的一条对称轴，判断正确；由f（）=0，得出点（，0）是f（x）的一个对称中心，判断正确；由正弦函数的图象与性质求出函数f（x）的单调递增区间，判断正确【解答】解：函数f（x）=cos（2x+）cos2x=cos2xsin2x=sin（2x+），其中xR：对于，f（x）=sin（2x+）=sin（2x）f（x），函数f（x）不是奇函数，错误；对于，当x=时，f（）=sin（2+）=1为

7、最大值，函数f（x）图象的一条对称轴是直线x=，正确；对于，当x=时，f（）=sin（2+）=0，函数f（x）图象的一个对称中心为（，0），正确；对于，令+2k2x+2k，kZ，解得+kx+k，kZ；函数f（x）的单调递增区间为k+，k+，kZ，正确综上，正确的结论序号是故答案为：【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象和性质的应用问题，是综合性题目13. 在等边三角形ABC中,点在线段上，满足，若，则实数的值是_参考答案：14. 若，则参考答案：15. 下列4个命题：；已知随机变量X服从正态分布N（3，），P（X6）=072，则P（X0）=028;函数为奇函数的充要条件是；已知则方向上的投影

8、为，其中正确命题的序号是 .参考答案：16. 已知函数，则_参考答案：2，因为，所以17. 已知函数，若实数满足，则的最小值为_参考答案：【分析】利用得到后可得的最小值.【详解】因为，故，化简得到，所以或，整理得到或（舍），的最小值为.填.【点睛】一般地，若，则或，；若，则或，.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知.函数，若将函数的图象的其中一个对称中心到对称轴的最小距离为个单位。（I）求函数的解析式及其单调增区间；（II）若，求的值.参考答案：（）f（x）=2sin（2x-）单调增区间为-+k，+k（）（）f（x）=sinx-cosx=2

9、sin（x-），g（x）=f（x+ ）=2sin（x+ ）-=2sin（x-），又g（x）是偶函数，sin（-x+-）=sin（x+-），sinxcos（-）=0对任意xR恒成立，-=+k，kZ，整理，得=2+3k，kZ，又03，=2，f（x）=2sin（2x-），令-+2k2x-+2k，kZ，得-+kx+k，kZ，函数f（x）的单调增区间为-+k，+k，kZ（）由（）知：f（）=2sin（2?-）=2sin（-），又f（）=，sin（-）=，又，0-，cos（-）=，sin=sin(-)+=sin(-)cos+cos(-)sin=+=略19. 选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|x1|

10、+a|x+2|（）当a=1时，求不等式f（x）5的解集；（）当a1时，若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积等于6，求a的值参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x解集，取并集即可；（）求出f（x）的解析式，画出函数图象，求出三角形顶点的坐标，表示出三角形面积，得到关于a的方程，解出即可【解答】解：（）a=1时，f（x）5化为：|x1|+|x+2|5，当x2时，式化为2x60，解得：x3；当2x1时，式化为35，不成立；当x1时，式化为2x+15，解得x2综上，f（x）5的解集是x|x3或x2；（）当x2时，f（x）=（a+1）x2

11、a+1；当2x1时，f（x）=（a1）x+2a+1；当x1时，f（x）=（a+1）x+2a1，综上，f（x）=；画出函数f（x）的图象如图所示；则f（x）与x轴围成的ABC三个顶点分别为：A（2，3），B（，0），C（，0）由题设可得：S=（）?3=6，化简得2a2+3a2=0，解得a=2或a=（不合题意，舍去）；故a的值是220. （本小题满分12分）已知等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和，求的值参考答案：解：（1）设等差数列的公差，则，由题设，所以 6分（2）因为，所以，解得或因为，所以 12分21. 设函数（1）求f(x)的单调区间；（2）若对于任意x1，x2-m，

12、m(m0)，都有|f(x1)-f(x2)|e-1，求m的取值范围参考答案：解：（1）因为，所以，所以当x(-，0)时，ex-10，f(x)0；当x(0，+)时，ex-10，f(x)0所以f(x)的单调递减区间是(-，0)，单调递增区间是(0，+)（2）由（1）知，f(x)在-m，0上单调递减，在0，m上单调递增，故f(x)在x0处取得最小值，且f(0)1所以对于任意的x1，x2-m，m，|f(x1)-f(x2)|e-1的充要条件为，即设函数g(t)et-t，则g(t)et-1当t0时，g(t)0；当t0时，g(t)0，故g(t)在(-，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增又g(1)e-1，g(m)em-m，g(-m)e-m+m，所以当m(0，1时，g(m)g(1)e-1，g(-m)g(-1)e-1+1e-1，即式成立，综上所述，m的取值范围是(0，122. 已知函数f（x）=alnx+（a0）在（0，）内有极值（I）求实数a的取值范围； （II）若x1（0，），x2（2，+）且a，2时，求证：f（x1）f（x2）ln2+参考答案：（I）由f（x）=alnx+（a0），得：，a0，