2021-2022学年湖南省长沙市梅园中学高三数学理期末试题含解析

1、2021-2022学年湖南省长沙市梅园中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A至少有一个红球与都是红球B至少有一个红球与都是白球C至少有一个红球与至少有一个白球D恰有一个红球与恰有二个红球参考答案：D【考点】互斥事件与对立事件【分析】分析出从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球的所有不同的情况，然后利用互斥事件和对立事件的概念逐一核对四个选项即可得到答案【解答】解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情

2、况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立故选：D2. 一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（ ）A B C. D2参考答案：D3. 命题p：x0，则是A. ，B. ，C. ，D. ，参考答案

3、：A试题分析：是考点：本题考查命题的否定点评：全称命题的否定将任意改为存在，否定结论4. （2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于A. 18 B. 24 C. 60 D. 90参考答案：C解析：由得得,再由得 则,所以,.故选C5. 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，Z20，则复数Z，Z，Z所对应的不同的点的个数是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)20参考答案：A解：设z1=cos+isin，则zk=z1k1，其中=cos+isin20=115=i，10=1，5=i zk1995=(cos1995+isin

4、1995) 1995(k1)= (cos1995+isin1995)(i)k1 共有4个值选A6. 朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（ ）A350升 B339升 C.2024升 D2124升参考答案：D7. 下列

5、函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( ）A BC D参考答案：A8. 一个棱锥的三视图如右图所示，则这个棱锥的体积是（ ）A. B. C. D.参考答案：B9. 设点在不等式组表示的平面区域上，则的最小值为A1 B C. 2 D参考答案：D10. 已知抛物线，定点，点P是抛物线C上不同于顶点的动点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】根据图像分析得到当直线与抛物线相切时，最大，联立直线和抛物线，使得得到参数,进而得到结果.【详解】作出抛物线，如图所示.由图可知，当直线与抛物线相切时，最大.设直线的方程为，联立得.令，得，此时，所以.【点睛】在处理直线和圆

6、锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知均为锐角，且，则_.参考答案：略12. 若函数f（x）=ex?sinx，则f（0）= 参考答案：1【考点】导数的运算【分析】先求f（x）的导数，再求导数值【解答】解：f（x）=ex?sinx，f（x）=（ex）sinx+ex（sinx）=ex?sinx+ex?cosx，f（0）=0+1=1故答案为：113. 在平面四边形中，则的最小值为 参考答案：14. 已知等比数列an的首项是1，公比为3，等差数列bn的首项是5，公

7、差为1，把bn中的各项按如下规则依次插入到an的每相邻两项之间，构成新数列cn：，即在an和an+1两项之间依次插入bn中n个项，则 （用数字作答）参考答案：1949由题意可得，an=3n1，bn=5+（n1）1=n6，由题意可得，数列cn中的项为30，5，31，4，3，32，2，1，0，33，3n时，共有项为1+2+n+（n+1）=+n+1=，当n=62时，=2016即此时共有2016项，且第2016项为362，c2018=b1955=19556=1949故答案为：194915. 已知，如果与的夹角为直角，则 参考答案： ， ，且与的夹角为直角， ，解得： ， 故答案为： 16. 若不等式在

8、x0且x1时恒成立，则k的取值范围是参考答案：（，0【考点】3R：函数恒成立问题【分析】把不等式移向变形，可得+（+）=（2lnx+），令h（x）=2lnx+），x0，则h（x）=，对k分类讨论可得h（x）的符号，结合的符号求得k的取值范围【解答】解：不等式在x0且x1时恒成立，则+（+）=（2lnx+），设h（x）=2lnx+），x0，则h（x）=，（1）设k0，由h（x）=知，当x1时，h（x）0，而h（1）=0，当x（0，1）时，h（x）0，可得h（x）0，从而当x0且x1时，；（2）设0k1，由于当x（1，）时，（k1）（x2+1）+2x0，h（x）0，而h（1）=0，当x（1，）时，

9、h（x）0，可得h（x）0，这与题设矛盾，（3）设k1时，此时h（x）0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得h（x）0，这与题设矛盾，综上所述k的取值范围为（，0故答案为：（，017. 已知an，bn均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的nN*，总有=，则= 参考答案：9【考点】8E：数列的求和【分析】设an，bn的公比分别为q，q，利用=，求出q=9，q=3，可得=3，即可求得结论【解答】解：设an，bn的公比分别为q，q，=，n=1时，a1=b1n=2时，n=3时，2q5q=3，7q2+7qq2q+6=0，解得：q=9，q=3，故答案为：9三、 解答题：本大

10、题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在平面直角坐标系中，点，点在直线上，过中点作，交于点，设的轨迹为曲线.（1）求的轨迹方程；（2）过点的直线与交于两点，直线分别与直线交于两点.线段的中点是否在定直线上，若搓，求出该直线方程；若不是，说明理由.参考答案：（1）法一：设，因为为中点，故点的坐标为；当时，点的坐标为；当时，由三点共线知，即 ，即 ；得，化简得曲线的轨迹方程为.法二：设，则直线的方程为，令，得点的坐标为，即，又及,.即，化简得，即，故曲线的轨迹方程为. （2）法一：由题意知，直线的斜率恒大于0，且直线不过点，其中；设直线的方程为，则.设，直线的方程为，

11、故，同理；所以，即 联立，化简得，所以 代入得，所以点都在定直线上.法二：设，设直线的方程分别为，则，故 ，联立得，所以，同理，.由三点共线知，即， 又，故式可化为，代入式，得.所以点都在定直线上.法三：设，设直线的方程分别为，则，故设直线方程的统一形式为，直线的方程为，联立，得点的统形式为，又均在椭圆上，故其坐标满足椭圆的方程，即，得，即，为该二次方程的两根，由韦达定理得，代入式，得.所以点都在定直线上.19. （本小题满分14分） 在中，角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）设求的面积参考答案：（1）；（2）20. （本小题满分分）为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家鼓励消费

12、者购买新能源汽车。某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了辆纯电动乘用车，根据其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：分组频数频率1030合计（）求，的值；（）若用分层抽样的方法从这辆纯电动乘用车中抽取一个容量为6的样本，从该样本中任选辆，求选到的辆车续驶里程为的概率。参考答案：（） 由表格可知，所以，. 4分（）设“从这6辆纯电动车中任选辆，选到的辆车续驶里程为”为事件，由分层抽样得在中抽1辆，记为A ，在中抽3辆，记为B1，B2，B3 ，在中抽2辆，记为C1，C2 ， 6分则任取两辆共有15种取法(A, B1)(A, B2)(A, B3) (A, C1)(A, C2) (B1, B2)( B1, B3) ( B2, B3) (B1, C1)( B1, C2) ( B2, C1) ( B2, C2) (B3, C1) (B3 , C2) (C1 , C2)