新高考数学第2讲 函数与导数（2021-2022年高考真题）（解析版）

1、第2讲 函数与导数 一、单选题1（2022全国高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（）ABC0D1【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出【详解】因为，令可得，所以，令可得，即，所以函数为偶函数，令得，即有，从而可知，故，即，所以函数的一个周期为因为，所以一个周期内的由于22除以6余4，所以故选：A2（2022全国高考真题（理）已知函数的定义域均为R，且若的图像关于直线对称，则（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.【详解】因为的图像关于直线对称，

2、所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.3（2022全国高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】 球的体积为，所

3、以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，当时，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.4（2022全国高考真题）设，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】设，因为，当时，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，又，所以当时，所以当时，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.5（2022全国高考真题（文）如图是下列

4、四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除B;设，当时，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.6（2022全国高考真题（文）函数在区间的最小值、最大值分别为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.【详解】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D7（2022全国高考真题（理）已知，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数

5、可得，即可得解.【详解】因为,因为当所以,即,所以；设，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A8（2022全国高考真题（理）函数在区间的图象大致为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，所以，排除C.故选：A.9（2022全国高考真题（理）当时，函数取得最大值，则（）ABCD1【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有故选：B.10（2022全国高

6、考真题（文）已知，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，然后由指数函数的单调性即可解出【详解】由可得，而，所以，即，所以又，所以，即，所以综上，故选：A.11（2021全国高考真题）已知，则下列判断正确的是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.【详解】，即.故选：C.12（2021全国高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数

7、，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，所以，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.13（2021全国高考真题（理）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（）ABCD【答案】D【解析】【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案【详解】因为是奇函数，所以；因为是偶函数，所以令，由得：，由得：，因为，所以，令，由得：，所以思路一：从定义入手所以思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期所以故选：D【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而

8、达到简便计算的效果14（2021全国高考真题（理）设，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,，由于所以当0 x0时,所以,即函数在0,+)上单调递减，所以,即,即bc;综上，,故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性

9、，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.15（2021全国高考真题（理）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可【详解】设，由，因为 ，所以，因为，当，即 时，即 ，符合题意，由可得，即 ；当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立故选：C【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值16（2021全国高考真题（文）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（）AB

10、CD【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.17（2021全国高考真题（理）设，若为函数的极大值点，则（）ABCD【答案】D【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大

11、值点，在左右附近都是小于零的.当时，由，画出的图象如下图所示：由图可知，故.当时，由时，画出的图象如下图所示：由图可知，故.综上所述，成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.18（2021全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（）ABCD【答案】D【解析】【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可

12、得，令，则.当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，所以，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，当时，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.二、多选题19（2022全国高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（）A在区间单调递减B在区间

13、有两个极值点C直线是曲线的对称轴D直线是曲线的切线【答案】AD【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出【详解】由题意得：，所以，即，又，所以时，故对A，当时，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即故选：AD20（2022全国高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（）ABCD【答案】BC【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断

14、即可得解.【详解】因为，均为偶函数，所以即，所以，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.21（2022全国高考真题）已知函数，则（）A有两个极值点B有三个零点C点是曲线的对称中心D直线是曲线的切线【答案】AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判

15、断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，令得或，令得，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以是极值点，故A正确；因，所以，函数在上有一个零点，当时，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.三、双空题22（2022全国高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为_，_【答案】 【解析】【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再

16、根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；【详解】解： 因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；23（2022全国高考真题（文）若是奇函数，则_，_【答案】 ； 【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求出【详解】因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称由可得，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，即，在定义域内满足，符合题意故答案为：；四、填空题24（2022全国高考真题（理）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值

17、点若，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，时，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】解：，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，当时，若时，当时，则此时，与前面矛盾，故不符合题意，若时，则方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，,函数的图象是单调递减的指数函数，又,的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的

18、横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的范围为.【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.25（2022全国高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】，设切点为,则,切线斜率

19、,切线方程为：,切线过原点，,整理得：,切线有两条，,解得或,的取值范围是,故答案为：26（2021全国高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_【答案】【解析】【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，化简即可得解.【详解】由题意，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.27（2021全国高考真题）写出一个同时具有下列性质的函数_；当时，；是奇函数【答案】（答案不唯一，均满足）【解析】【分析】根据幂函数

20、的性质可得所求的.【详解】取，则，满足，时有，满足，的定义域为，又，故是奇函数，满足.故答案为：（答案不唯一，均满足）28（2021全国高考真题（理）曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可【详解】由题，当时，故点在曲线上求导得：，所以故切线方程为故答案为：29（2021全国高考真题）已知函数是偶函数，则_.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.【详解】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：130（2021全国高考真题）函数的最小值为_.【答案】1【解析】【分析】由解析式知定义域为，讨论、，并结合导数研究

21、的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，当时，此时单调递减；当时，有，此时单调递减；当时，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，综上有：时，单调递减，时，单调递增；故答案为：1.五、解答题31（2022全国高考真题（文）已知函数(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.(1)当时，则，当时，单调递增；当时，单调递减；所以；(2)，则，当时，所以当时，单调递增；当时，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，

22、在上，单调递增；在上，单调递减；又，由（1）得，即，所以，当时，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，在上，单调递增；在上，单调递减；此时，由（1）得当时，所以，此时存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.32（2022全国高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，求a的取值范围；(3)设，证明：【答案】(1)的减区间为，增区间为.(2)(3)见解析【解析】【

23、分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.(1)当时，则，当时，当时，故的减区间为，增区间为.(2)设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有，所以在上为减函数，所以.综上，.(3)取

24、，则，总有成立，令，则，故即对任意的恒成立.所以对任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.33（2022全国高考真题）已知函数和有相同的最小值(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当时， 的

25、解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)的定义域为，而，若，则，此时无最小值，故.的定义域为，而.当时，故在上为减函数，当时，故在上为增函数，故.当时，故在上为减函数，当时，故在上为增函数，故.因为和有相同的最小值，故，整理得到，其中，设，则，故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为.综上，.(2)由（1）可得和的最小值为.当时，考虑的解的个数、的解的个数.设，当时，当时，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，设，其中，则，故在上为增函数，故，

26、故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.设，当时，当时，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，有两个不同的零点即的解的个数为2.当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，当时，由（1）讨论可得、均无零点，故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则.设，其中，故，设，则，故在上为增函数，故即，所以，所以在上为增函数，而，故在上有且只有一个零点，且：当时，即即，当时，即即，因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，故，此时有两个不同的零点，此时有两个不同的零点，故，所以即即，故为方程的解，同理也为方程的解又可化为即即，故为方程的解，同理也为方程的解，所以，而，故即.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往

27、需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.34（2022全国高考真题（理）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对分类讨论,对分两部分研究(1)的定义域为当时,所以切点为,所以切线斜率为2所以曲线在点处的切线方程为(2)设若,当,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意若,当,则所以在上单调递增所以,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意若(1)当,则,所以在上单调递增所以存在

28、,使得,即当单调递减当单调递增所以当当所以在上有唯一零点又没有零点,即在上有唯一零点(2)当设所以在单调递增所以存在,使得当单调递减当单调递增,又所以存在,使得,即当单调递增,当单调递减有而,所以当所以在上有唯一零点,上无零点即在上有唯一零点所以,符合题意所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为【点睛】方法点睛：本题的关键是对的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.35（2022全国高考真题（理）已知函数(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则环【答案】(1)(2)证明见的解析【解析】【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得

29、解；（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.(1)的定义域为，令,得当单调递减当单调递增，若,则,即所以的取值范围为(2)由题知,一个零点小于1,一个零点大于1不妨设要证,即证因为,即证因为,即证即证即证下面证明时，设，则设所以,而所以,所以所以在单调递增即,所以令所以在单调递减即,所以；综上, ,所以.【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式这个函数经常出现，需要掌握36（2021全国高考真题）已知函数（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点；【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1

30、)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】(1)由函数的解析式可得：，当时，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，在上单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；(2)若选择条件：由于，故，则，而，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于，故，结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于，故，则，当时，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.当时，构造函数，

31、则，当时，单调递减，当时，单调递增，注意到，故恒成立，从而有：，此时：，当时，取，则，即：，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于，故，结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应

32、用37（2021全国高考真题（理）设函数，已知是函数的极值点（1）求a；（2）设函数证明:【答案】（1）；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解【详解】（1）由，又是函数的极值点，所以，解得；（2）方法一：转化为有分母的函数由（）知，其定义域为要证，即证，即证（）当时，即证令，因为，所以在区间内为增函数，所以（）当时，即证，由（）分析知在区间内为减函数，所以综合（）（）有方法二 【最优解】：转化为无分母函数由（1）得，且，当 时，要证， ，即证，化简得；同

33、理，当时，要证， ，即证，化简得；令，再令，则，令，当时，单减，故；当时，单增，故；综上所述，在恒成立.方法三 ：利用导数不等式中的常见结论证明令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）故当且时，且，即，所以（）当时，所以，即，所以（）当时，同理可证得综合（）（）得，当且时，即【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性.38（20