2021课标版理数高考总复习专题专题十三推理与证明试题练理科数学教学讲练

1、理科数学专项复习PAGE PAGE 18温故而知新，下笔如有神！专题十三推理与证明探考情 悟真题【真题探秘】【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.合情推理与演绎推理(1)了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.(2)了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.(3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异2019课标,4,5分运用黄金分割估计身高不等式性质2017课标,7,5分根据给出的说法进行推理2016课标,15,5分根据给出的说法进行推理2.直接证明与间接证明 (1)了解直接证明的两种基

2、本方法分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.(2)了解间接证明的一种基本方法反证法;了解反证法的思考过程、特点2018江苏,19,16分直接证明利用导数研究函数的性质3.数学归纳法 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题2017浙江,22,15分用数学归纳法证明 数列及不等式的性质分析解读1.能利用已知结论类比未知结论或归纳猜想结论并加以证明.2.了解直接证明与间接证明的基本方法,体会数学证明的思想方法.3.掌握“归纳猜想证明”的推理方法及数学归纳法的证明步骤.4.归纳推理与类比推理是高考的热点.本章在高考中的推理问题一般以填空题形式出现,分值约为5分,属中档

3、题;证明问题一般以解答题形式出现,分值约为12分,属中高档题.破考点 练考向【考点集训】考点一合情推理与演绎推理1.(2019湖南株洲模拟,5)下面四个推理中,不属于演绎推理的是()A.因为函数y=sin x(xR)的值域为-1,1,2x-1R,所以y=sin(2x-1)(xR)的值域为-1,1B.昆虫都是6条腿,竹节虫是昆虫,所以竹节虫有6条腿C.在平面中,对于三条不同的直线a,b,c,若ab,bc,则ac,将此结论放到空间中也是如此D.如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行,那么,墙上字迹离地的高度大约是他的身高,凶手在墙上写字的位置与他的视线平行,福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多,

4、于是,他得出了凶手身高六尺多的结论答案C2.(2019安徽阜阳模拟,6)“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶,人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满四进一.根据图示可知,农民采摘的果实个数是()A.493B.383C.183D.123答案C3.(2019江西赣州一模,14)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量.在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-2,3)且法向量为n=(4,-1)的直线(点法式)方程为4(x+2)+(-1)(y-3)=0,化简得4x-y+11=0.类比以上方法,在空

5、间直角坐标系中,经过点B(2,3,4)且法向量为n=(-1,-2,1)的平面(点法式)方程为.答案x+2y-z-4=0考点二直接证明与间接证明1.(2019湖南张家界模拟,5)用反证法证明命题“已知a、b、c为非零实数,且a+b+c0,ab+bc+ca0,求证a、b、c中至少有两个为正数”时,要做的假设是()A.a、b、c中至少有两个为负数B.a、b、c中至多有一个为负数C.a、b、c中至多有两个为正数D.a、b、c中至多有两个为负数答案A2.(2018湖北普通高中联考,7)分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设abc,且a+b+c=0,求证:b2-ac0B.c-a0C.(c-b)(c-a

6、)0D.(c-b)(c-a)0答案C考点三数学归纳法(2020届吉林延边二中高三开学考试,4)用数学归纳法证明“1+2+3+n3=n6+n32,nN*”,则当n=k+1(kN*)时,左端应在A.(k3+1)+(k3+2)+(k+1)3B.(k3+1)+(k3+2)+(k3+k+1)C.(k+1)3D.(答案A炼技法 提能力【方法集训】方法归纳推理与类比推理的应用1.(2019湖南邵阳二模,9)在平面几何里有射影定理:设三角形ABC的两边ABAC,D是A点在BC上的射影,则AB=BDBC.拓展到空间,在四面体ABCD中,AD面ABC,点O是A在面BCD内的射影,且O在BCD内,类比平面三角形射影

7、定理,得出正确的结论是()A.SABC2=SBCOSBCDB.SABD2=SC.SADC2=SDOCSBOCD.SBDC2=S答案A2.(2019安徽六安高三下学期开学考试,16)观察下列等式:13+273+83+103163+173+193+203+则当n0,判断是否存在b0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+)内存在“S点”解析本题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理能力.(1)证明:函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f (x)=1,g(x)=2x+2,由f(x)=g(x)且f (x)=g(x),得x=x因此, f(x

8、)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.(2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,则f (x)=2ax,g(x)=1x设x0为f(x)与g(x)的“S点”,由f(x0)=g(x0)且f (x0)=g(x0),得ax02得ln x0=-12,即x0=e-12,则a=当a=e2时,x0=e-12满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S点”,因此(3)f (x)=-2x,g(x)=bex(x-1)x2,x0, f (x0)=g(x0)bf(x0)=g(x0)-x02+a=bex0 x0=-令h(x)=x2-2x2x-1设m(x)=-x3+3x2+ax-a,x(0,1),a

9、0,则m(0)=-a0m(0)m(1)0,存在b0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+)内存在“S点”.思路分析本题是新定义情境下运用导数研究函数零点问题,前两问只需按新定义就能解决问题,第三问中先利用f (x0)=g(x0)对x0加以限制,然后将f(x0)=g(x0)转化成a=x02-2x02x0-1,从而转化为研究h(x)=-x3+3x2+ax-a1-x,x(0,1),a0考点三数学归纳法(2017浙江,22,15分)已知数列xn满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN*).证明:当nN*时,(1)0 xn+10.当n=1时,x1=10.假设n=k时,xk0,那么n=

10、k+1时,若xk+10,则00.因此xn0(nN*).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1.因此0 xn+1xn(nN*).(2)由xn=xn+1+ln(1+xn+1)得,xnxn+1-4xn+1+2xn=xn+12-2xn+1+(xn+1记函数f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x0),f (x)=2x函数f(x)在0,+)上单调递增,所以f(x)f(0)=0,因此xn+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1故2xn+1-xnxnxn+12(3)因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn12由xnxn

11、+122xn+1-xn得1x所以1xn-1221xn-1-1故xn12n-2.综上,12n-1x方法总结1.证明数列单调性的方法.差比法:作差an+1-an,然后分解因式,判断符号,或构造函数,利用导数求函数的值域,从而判断其符号.商比法:作商an+1an,判断an+1an与数学归纳法.反证法:例如求证:nN*,an+1k)总成立,则称数列an是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列an是“P(3)数列”;(2)若数列an既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:an是等差数列.证明本小题主要考查等差数列的定义、通项公式等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问

12、题的能力.(1)因为an是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,从而,当n4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等差数列an是“P(3)数列”.(2)数列an既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,当n4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.由知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),an+2+an+3=4a

13、n+1-(an-1+an).将代入,得an-1+an+1=2an,其中n4,所以a3,a4,a5,是等差数列,设其公差为d.在中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d,在中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d,所以数列an是等差数列.方法总结数列新定义型创新题的一般解题思路:1.阅读审清“新定义”;2.结合常规的等差数列、等比数列的相关知识,化归、转化到“新定义”的相关知识;3.利用“新定义”及常规的数列知识,求解证明相关结论.3.(2017北京,20,13分)设an和bn是两个等差数列,记cn=maxb1-a1n,b2-a2n,bn-a

14、nn(n=1,2,3,),其中maxx1,x2,xs表示x1,x2,xs这s个数中最大的数.(1)若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明cn是等差数列;(2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当nm时,cnnM;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,解析本题考查等差数列,不等式,合情推理等知识,考查综合分析,归纳抽象,推理论证能力.(1)c1=b1-a1=1-1=0,c2=maxb1-2a1,b2-2a2=max1-21,3-22=-1,c3=maxb1-3a1,b2-3a2,b3-3a3=max1-31,3-32,5-33=-2.当n3时,(bk+1-nak

15、+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n0时,取正整数md2d1,则当nm时,nd1d2,因此cn=b1此时,cm,cm+1,cm+2,是等差数列.当d1=0时,对任意n1,cn=b1-a1n+(n-1)maxd2,0=b1-a1+(n-1)(maxd2,0-a1).此时,c1,c2,c3,cn,是等差数列.当d1d2d1时,有nd1所以cnn=n(-d1)+d1-a1+d2+bn(-d1)+d1-a1+d2-|b1-d2|.对任意正数M,取正整数mmaxM+故当nm时,cn解后反思解决数列的相关题时,可通过对某些项的观察,分析和比较,发现它们的相同性质或变化

16、规律,再利用综合法进行推理论证.4.(2016浙江,20,15分)设数列an满足an-an+12(1)证明:|an|2n-1(|a1|-2),nN*;(2)若|an|32n,nN*,证明:|an|2,nN证明(1)由an-an+121得|an|-故|an|2n-|an所以|a1|21-|an|2n=|a1|21因此|an|2n-1(|a1|-2).(2)任取nN*,由(1)知,对于任意mn,|an|2n-|am|2m=|an|2n-|故|an|n,均有|an|2,取正整数m0log34|an0|-22n0且m0n0,则2综上,对于任意nN*,均有|an|2.考点三数学归纳法(2015江苏,23

17、,10分)已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN*),设Sn=(a,b)|a整除b或b整除a,aX,bYn.令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.解析(1)f(6)=13.(2)当n6时,f(n)=n+2+n2+n下面用数学归纳法证明:当n=6时, f(6)=6+2+62+63=13,假设n=k(k6)时结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f

18、(k)+3=k+2+k-12=(k+1)+2+k+12+k+12)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+k2+k=(k+1)+2+(k+1)-123)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+k-12=(k+1)+2+k+12+(k4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+k2+k=(k+1)+2+(k+1)-125)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+k-12=(k+1)+2+k+12+(k6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(

19、k+1)=f(k)+1=k+2+k2+k=(k+1)+2+(k+1)-12综上所述,结论对满足n6的自然数n均成立.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2020届安徽A10联盟上学期摸底考试,7)中国古代近似计算方法源远流长,早在八世纪,我国著名数学家张遂在编制大衍历中发明了一种二次不等距插值算法:若函数y=f(x)在x=x1,x=x2,x=x3(x1x2x3)处的函数值分别为y1=f(x1),y2=f(x2),y3=f(x3),则在区间x1,x3上f(x)可以用二次函数来近似代替:f(x)y1+k1(x-x1)+k2(x-x1)(x-x2),其中k1=y2-y1x2-x1,k

20、=y3-y2x3-x2,k2=k-kA.1425B.35C.1625答案C2.(2020届河南新乡9月调研,10)观察下列各式110248=248,11248=2 728,112248=30 008,113248=330 088,114248=3 630 968,则1199248的十位数是()A.2B.4C.6D.8答案C3.(2020届河南南阳中学第二次开学考试,11)从A地到B地有三条路线:1号路线,2号路线,3号路线.小王想自驾从A地到B地,因担心堵车,于是向三位司机咨询,司机甲说:“2号路线不堵车,3号路线不堵车.”司机乙说:“1号路线不堵车,2号路线不堵车.”司机丙说:“1号路线堵车

21、,2号路线不堵车.”如果三位司机只有一位说法是完全正确的,那么小王最应该选择的路线是()A.1号路线B.2号路线C.3号路线D.2号路线或3号路线答案B4.(命题标准样题,3)2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数p,使得p+2是素数,素数对(p, p+2)称为孪生素数.则由不超过20的素数组成的孪生素数共有()A.2个B.3个C.4个D.5个答案C5.(2019安徽蚌埠模拟,7)设x,y,zR+,a=x+1y,b=y+1z,c=z+1x,则a,b,c三数A.都小于2B.都大于2C.至少

22、有一个不大于2D.至少有一个不小于2答案D6.(2019福建泉州一模,10)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例.故事中齐将田忌与齐王赛马,孙膑献策以下马对齐王上马,以上马对齐王中马,以中马对齐王下马,结果田忌一负两胜从而获胜.该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律.在比大小游戏中(大者为胜),已知我方的三个数为a=cos ,b=sin +cos ,c=cos -sin ,对方的三个数以及排序如表:第一局第二局第三局对方2tan sin 当04时,我方必胜的排序是(A.a,b,cB.b,c,aC.c,a,bD.c,b,a答案D7.(2019江西吉安教学质量检测,9)斐波那契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,在数学上,斐波那契数列an定义为:a1=1,a2=1,an+2=an+an+1,斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合,如根据an+2=an+an+1可得an=an+2-an+1,所以a1+a2+an=(a3-a2)+(a4-a3)+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-1,类比这一方法,可得a12+a22+A.714B.1 870