北京版高考数学总复习专题6.3等比数列（试题练）教学讲练

1、数学高考总复习PAGE PAGE 14学好数理化，走遍天下都不怕6.3等比数列探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.等比数列的有关概念及运算理解等比数列的概念掌握等比数列的通项公式了解等比数列与指数函数的关系掌握等比数列的前n项和公式2017北京,10等比数列的基本量运算等差数列的基本量运算2017北京文,15等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式等差数列的通项公式2.等比数列的性质及应用能利用等比数列的性质解决相应的问题2018北京,4等比数列的性质及应用等比数列的概念及运算分析解读北京高考对等比数列的考查主要是基本量的运算、an和Sn的关系以及等

2、比数列的性质.对等比数列的定义、通项公式、性质及等比中项的考查,常以选择题、填空题的形式出现,难度较小.对前n项和以及与其他知识(函数、不等式等)相结合的考查,多以解答题的形式出现,注重题目的综合性与新颖度,突出对逻辑思维能力的考查.解决问题时要注意下标之间的关系,并选择适当的公式.破考点 练考向【考点集训】考点一等比数列的有关概念及运算1.(2020届北京通州期中,2)等比数列an中,a1=1,a4=8,则an=()A.2n-1B.2nC.2n+1D.2n+2答案A2.(2020届北京清华大学中学生标准能力测试文,13)已知an为等比数列,若a3=3,a5=12,则a7=.答案483.在等比

3、数列an中,若a1=12,a4=4,则公比q=;a1+a2+an=答案2;2n-1-1考点二等比数列的性质及应用4.(2019北京东城二模文, 6)已知m,n,p,q为正整数,且m+n=p+q,则在数列an中,“aman=apaq”是“an是等比数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B5.(2019北京海淀一模,9)已知a,4,c成等比数列,且a0,则log2a+log2c=.答案46.数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.答案1炼技法 提能力【方法集训】方法1等比数列的基本量运算1.(201

4、9首师大附中一模,2)在各项均为正数的等比数列an中,a6=3,则a4+a8()A.有最小值6B.有最大值6C.有最大值9D.有最小值3答案A2.(2015课标,9,5分)已知等比数列an满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=(A.2B.1C.12D.答案C3.(2020届北京八一学校10月月考,15)已知数列an满足a1=6,anan+1=2n,则a7a3答案44.(2018北京石景山一模,13)如图,正方形上连接等腰直角三角形,等腰直角三角形的腰上再连接正方形,如此继续下去,得到一个树形图,称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形,且最大的正方形的边长为22,则最小的正

5、方形的边长为答案1方法2等比数列的判定方法5.(2019北京西城二模文,16)已知等比数列an的前n项和Sn=p-23-n,其中nN*.(1)求p的值及数列an的通项公式;(2)判断数列an2和nan是不是等比数列,解析(1)由Sn=p-23-n,得S1=a1=p-4,S2=a1+a2=p-2,S3=a1+a2+a3=p-1,所以a1=p-4,a2=2,a3=1.(3分)因为数列an为等比数列,所以公比q=a3a2=12故p=8,a1=4.(5分)所以数列an的通项公式为an=a1qn-1=23-n(nN*).(7分)(2)结论:数列an2是等比数列,数列nan不是等比数列.(9证明如下:由(

6、1)得an2=(23-n)2=4所以an+12an所以数列an2是首项为16,公比为14的等比数列由(1)得nan=n23-n,所以数列nan的前三项分别为4,4,3,它们构不成等比数列,所以数列nan不是等比数列.(13分)思路分析(1)根据Sn=a1+a2+an及题意,求出a1,a2,a3,然后由等比数列的定义与通项公式求解;(2)根据等比数列的定义进行证明.6.(2016课标全国,17,12分)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=3132,求解析(1)由题意得a1=S1=1+a1,故1,a1=11-,a1由Sn=1+an,

7、Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以an+1a因此an是首项为11-,公比为于是an=11-(2)由(1)得Sn=1-由S5=3132得1-15=3132解得=-1.(12分)思路分析(1)先由题设利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1与an的关系式,要证数列是等比数列,关键是看an+1与an之比是不是一常数,注意说明an0.(2)利用(1)的结论解方程求出.【五年高考】A组自主命题北京卷题组考点一等比数列的有关概念及运算1.(2017北京,10,5分)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a2b

8、2答案12.(2017北京文,15,13分)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求an的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.解析本题考查等差数列及等比数列的通项公式,数列求和.考查运算求解能力.(1)设等差数列an的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n-1.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1=3n方法总结求解有关等差数列和等比数

9、列问题的关键是对其基本量(首项,公差,公比)进行求解.对于数列求和问题,常用的方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法和分组转化法等.考点二等比数列的性质及应用(2018北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(A.32fB.3C.1225fD.答案DB组统一命题、省(区、市)卷题组考点一等比数列的有关概念及运算1.(2017课标全国,

10、3,5分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案B2.(2019课标全国文,14,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,S3=34,则S4=答案53.(2019课标全国,14,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5答案1214.(2017课标全国,14,5分)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4 =.答案-85.(2018课

11、标全国文,17,12分)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=an(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列bn是不是等比数列,并说明理由;(3)求an的通项公式.解析(1)由条件可得an+1=2(n+1将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得an+1n+1=2ann又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得ann=2n-1,所以an=n26.(2018课标全国,17,12分)等比数列an中,a1

12、=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.解析本题考查等比数列的概念及其运算.(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-由Sm=63得(-2)m=-188.此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.易错警示解方程时,对根的检验求解等比数列的公比时,要结合题意进行讨论、取值,避免错解.解后反思等比数列基本量运算问题的常见类型及解题

13、策略:(1)求通项.求出等比数列的两个基本量a1和q后,通项便可求出.(2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.(3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解.(4)求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.7.(2017课标全国,17,12分)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若T3=21,求S3.解析本题考查了等差、等比数列.设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2

14、得d+q=3.(1)由a3+b3=5得2d+q2=6.联立和解得d=3,q=0(因此bn的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5或q=4.当q=-5时,由得d=8,则S3=21.当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.考点二等比数列的性质及应用1.(2019课标全国,5,5分)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2答案C2.(2015广东,13,5分)若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+26,c=5-26,则b=.答案13.(2015安徽,14,5分)已知数列an是

15、递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于.答案2n-14.(2019课标全国文,18,12分)已知an是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求an的通项公式;(2)设bn=log2an,求数列bn的前n项和.解析本题主要考查等比数列的概念及运算、等差数列的求和;考查学生的运算求解能力;体现了数学运算的核心素养.(1)设an的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.解得q=-2(舍去)或q=4.因此an的通项公式为an=24n-1=22n-1.(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列bn的前n项和为

16、1+3+2n-1=n2.C组教师专用题组1.(2015课标,4,5分)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84答案B2.(2014大纲全国,10,5分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lg an的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3答案C3.(2014北京,5,5分)设an是公比为q的等比数列.则“q1”是“an为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D4.(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=l

17、n(a1+a2+a3).若a11,则()A.a1a3,a2a3,a2a4C.a1a4D.a1a3,a2a4答案B5.(2017江苏,9,5分)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8=答案326.(2014广东,13,5分)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+ln a20=.答案507.(2014天津,11,5分)设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.答案-18.(2013北京,10,5分)若等比数列an满足a2+a4=20,a3+

18、a5=40,则公比q=;前n项和Sn=.答案2;2n+1-29.(2017课标全国,17,12分)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解析本题考查等差、等比数列.(1)设an的公比为q,由题设可得a解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n=2-23+故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.方法总结等差、等比数列的常用公式:(1)等差数列:递推关系式:an+1-an=d,常用于等差数列的证明

19、.通项公式:an=a1+(n-1)d.前n项和公式:Sn=(a1+an(2)等比数列:递推关系式:an+1an=q(q通项公式:an=a1qn-1.前n项和公式:Sn=n(3)在证明a,b,c成等差、等比数列时,还可以利用等差中项:a+c2=b或等比中项:ac=b【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2020届北京八一学校10月月考,3)已知a、b、c、d是公比为2的等比数列,则2a+bA.1B.12C.14答案B2.(2019北京海淀期末,3)已知等差数列an满足a1=2,公差d0,且a1,a2,a5成等比数列,则d=()A.1B.2C.3D.4答案D3.(2019北京海淀新高

20、考调研卷,6)标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数远视力表各行为正方形“”形视标,且从视力5.2的视标所在行开始往上,每一行“”的边长都是下一行“”边长的1010倍,若视力4.1的视标边长为a,则视力4.9的视标边长为()A.1045aB.10910aC.10-答案C4.(2020届北京中关村中学第五次统练,4)等比数列an中,a10,则“a1a3”是“a30,求n的最小值.解析(1)由数列an为等比数列,且a1=12,a4=4,得a4=a1q3=4,解得所以数列an的通项公式为an=a1qn-1=2n-2.(5分)(2)因为bn=an+n-6=n-6+2n-2,所以Sn=(-5-4+n-6)+(2-1+20+2n-2)=n(n-当n5时,n(n-11)2-15,2n当n=4时,S4=-4当n=3时,S3=-3当n=2时,S2=-2当n=1时,S1=-1所以n的最小值为5.(13分)11.(2020届北京海淀期中,15)已知数列an为各项均为正数的等比数列,Sn为其前n项和,a2=3,a3+a4=36.(1)求数列an的通项公式;(2)若Sn0,所以q0,所以q=3.因为a2=a1q=3,所以a1=1,所以数列an的通项公式为an=a1qn-1=3n-1,nN*.