2021课标版理数高考总复习专题3.2导数的应用（讲解练）理科数学教学讲练

1、3.2导数的应用高考理数考点一导数与函数的单调性考点清单考向基础1.导数与函数的单调性设函数f(x)在(a,b)内可导, f (x)是f(x)的导函数,则f (x)0f(x)在(a,b)内单调递增f (x)0(或f (x)0(或f (x)0,x增大时,都减小,y=,y=在(1,+)上都是减函数,f(x)=1和f(x)=都是P函数;=,当x(1,e)时,0,即y=在(1,e)上单调递减,在(e,+)上单调递增,f(x)=x不是P函数;=,当x(1,e2)时,0,即y=在(1,e2)上单调递减,在(e2,+)上单调递增,f(x)=不是P函数.故选B.答案B考向二由函数的单调性求参数的取值范围例2(

2、2020届江西南昌开学摸底考试,21)已知函数f(x)=+x-2ln(x+1)(e为自然对数的底数,a为常数,且a0).(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线ex-y=0平行,求a的值;(2)若f(x)在(0,+)上存在单调递减区间,求a的取值范围.解析(1)f (x)=eax+1-,x(-1,+).(2分)故f (1)=ea,结合题意知ea=e,a=1.(4分)(2)由题意知x(0,+)时, f (x)=eax+1-0恒成立,不存在单调递减区间.(5分)当x(0,1)时, f (x)=eax+1-0有解.(6分)设(x)=ln-ax,则(x)=-a,因为x(0,1),所以-2.(8分)当

3、a-2时,(x)=-a0恒成立,(x)=ln-ax在x(0,1)上单调递减,(x)(0)=0恒成立,不符合题意.(10分)当a-2时,00,(x)=ln-ax在x上单调递增,(x)(0)=0,即ln-ax0.综上所述,a-2.(12分)考点二导数与函数的极(最)值考向基础1.函数的极值与导数定义设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作f(x)极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值结论设函数f(x)在点x0处连续.(1)如果在x0附近的左侧f (x)0,右侧f (x)0,那么f(x0)是极大值;(2)如

4、果在x0附近的左侧f (x)0,那么f(x0)是极小值;(3)如果在x0附近的左、右两侧导数值同号,那么f(x0)不是极值利用导数求函数极值的步骤(1)求f (x);(2)求方程f (x)=0的根;(3)判断f (x)在方程的根的左、右两侧值的符号;(4)利用结论求出极值注:(1)在函数的整个定义域内,函数的极值不一定唯一,在整个定义域内可能有多个极大值和极小值;(2)极大值与极小值没有必然关系,极大值可能比极小值还小;(3)导数等于零的点不一定是极值点(例如: f(x)=x3,f (x)=3x2,当x=0时,f (0)=0,但x=0不是函数的极值点);(4)对于处处可导的函数,极值点的导数必

5、为零.2.函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值:在闭区间a,b上连续的函数f(x),在a,b上必有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值.(2)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:(i)求f(x)在(a,b)内的极值;(ii)将f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.考向突破考向利用导数求函数的极值、最值例(2019重庆5月模拟,11)若函数f(x)=(cos x-sin x)ex,x(0,10),则f(x)的所有极大值点之和与所有极小

6、值点之和的差为()A.-5B.5C.55D.-55解析函数f(x)=ex(cos x-sin x),f (x)=(ex)(cos x-sin x)+ex(cos x-sin x)=-2exsin x,x(2k+,2k+2)(kZ)时, f (x)0,x(2k,2k+)(kZ)时, f (x)0,当t(2,8)时,V(t)0时为增函数, f (x)-1时, f (x)0,当x-1时, f (x)0时,-1-,所以函数f(x)的单调增区间为和(-1,+),单调减区间为.当a0时,-10时,函数f(x)的单调增区间为和(-1,+),单调减区间为;当a=0时,函数f(x)的单调增区间为(-1,+),单

7、调减区间为(-,-1);当a0时,函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为(-,-1),.(2)函数f(x)ex(ax2+2x)+1恒成立转化为ax+在R上恒成立.令h(x)=x+,则h(x)=,易知h(x)在(0,+)上为增函数,在(-,0)上为减函数.h(x)min=h(0)=1.故实数a的取值范围为(-,1.方法2利用导数研究函数的极(最)值的方法1.解决函数极值问题的一般思路2.函数的最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的,函数的极值可以有多个,但最大(小)值只有一个,极值只能在区间内一点处取得,最值可以在端点处取得,有极值未必有最

8、值,有最值也未必有极值,极值可能成为最值.例2已知函数f(x)=xln(x-1)-ax2+bx(a,bR,a,b为常数,e为自然对数的底数).(1)当a=-1时,讨论函数f(x)在区间上极值点的个数;(2)当a=1,b=e+2时,对任意的x(1,+)都有f(x)k成立,求正实数k的取值范围.解析(1)当a=-1时, f (x)=ln(x-1)+2x+b,记g(x)=f (x)-b,则g(x)=-+2=,令g(x)=0,得x=(0舍去),当x时,g(x)0,所以当x=时,g(x)取得极小值6-ln 2,又g=e+2,g(e+1)=2e+4, f (x)=0g(x)=-b,所以(i)当-b6-ln

9、 2,即bln 2-6时, f (x)0,函数f(x)在区间上无极值点;(ii)当6-ln 2-be+2,即-e-2bln 2-6时,f (x)=0有两个不同的解,函数f(x)在区间上有两个极值点;(iii)当e+2-b2e+4,即-2e-4b-e-2时, f (x)=0有一个解,函数f(x)在区间上有一个极值点;(iv)当-b2e+4,即b-2e-4时, f (x)0,函数f(x)在区间上无极值点.(2)当a=1,b=e+2时,对任意的x(1,+)都有f(x)k成立,即xln(x-1)-x2+(e+2)xk,即ln(x-1)-x+e+2k,记h(x)=ln(x-1)-x+e+2,(x)=k,

10、由于h(x)=-1=,当1x0,当x2时,h(x)0,所以当x=2时,h(x)取得最大值h(2)=e,又(x)=k=,当1x2时,(x)2时,(x)0,所以当x=2时,(x)取得最小值(2)=,所以只需e2,即正实数k的取值范围是(2,+).方法3利用导数求解不等式问题1.利用导数证明不等式的方法证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x).如果F(x)0,则F(x)在(a,b)上是减函数,同时若F(a)0,则由减函数的定义可知,x(a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)g(x)恒成立F(x)min0.(4)x1M,x2N, f(x1)g(x2)f(x)mi

11、ng(x)min.x1M,x2N, f(x1)g(x2)f(x)ming(x)max.x1M,x2N, f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.x1M,x2N, f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)max.例3(2019河南八市重点高中联盟第五次测评,21)已知函数f(x)=ex-ax2,且曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+(e-2)y=0垂直.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:x0时,ex-ex-1x(ln x-1).解析(1)由f(x)=ex-ax2,得f (x)=ex-2ax.因为曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+(e-2)y=0垂直,所以f (

12、1)=e-2a=e-2,所以a=1,即f(x)=ex-x2, f (x)=ex-2x.令g(x)=ex-2x,则g(x)=ex-2.所以x(-,ln 2)时,g(x)0,g(x)单调递增.所以g(x)min=g(ln 2)=2-2ln 20,所以f (x)0恒成立, f(x)单调递增.即f(x)的单调增区间为(-,+),无减区间.(2)证明:由(1)知f(x)=ex-x2, f(1)=e-1,所以y=f(x)在x=1处的切线方程为y-(e-1)=(e-2)(x-1),即y=(e-2)x+1.令h(x)=ex-x2-(e-2)x-1,则h(x)=ex-2x-(e-2)=ex-e-2(x-1),且

13、h(1)=0,h(x)=ex-2,x(-,ln 2)时,h(x)0,h(x)单调递增.因为h(1)=0,所以h(x)min=h(ln 2)=4-e-2ln 20,所以存在x0(0,1),使x(0,x0)时,h(x)0,h(x)单调递增;x(x0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增.又h(0)=h(1)=0,所以x0时,h(x)0,即ex-x2-(e-2)x-10,所以ex-(e-2)x-1x2.令(x)=ln x-x,则(x)=-1=.所以x(0,1)时,(x)0,(x)单调递增;x(1,+)时,(x)0,所以x(ln x+1)x2,所以x0时,ex-(e-2)x-1x(ln x+1),即x

14、0时,ex-ex-1x(ln x-1).方法4利用导数研究函数的零点或方程的根1.研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点,归根到底是研究函数的性质,如单调性、极值等.2.用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断;另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决.例4(2018课标,21,12分)已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明:当x0时, f(x)1;(2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a.解析(1)证明:当a=1时, f(x)1等价于(x2+1)e-x-10.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x1时,g(x)0,h(x)没有零点.(ii)当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x.当x(0,2)时,h(x)0.所以h(x)在(0