材料力学第七章

1、第七章弯曲应力第七章弯曲应力7.1 纯弯曲PPaa纯弯曲和横力弯曲AB纯弯曲:(+)只有M而无Q的平面弯曲.P(+)(-)Q图(-)横力弯曲:既有M又有Q的平面弯曲.Pa-P)(+M图)(+纯弯曲时的现象某轴转动,仍然与纵向线垂直.纵向线弯曲成弧线并有伸缩,只有一层纤维不发生伸缩.MM中性层:纵向纤维不发生伸缩的面.中性轴中性层中性轴中性层中性层与横截面的交线.假设平面假设:纵向纤维间无正应力假设:dydyMabbaxdxy变形几何关系M原长bb=dx变形后aa=(+y)d ( y)d dyzCydzCy物理关系Mxp=EyEzCzCyzdAxyNdA 0MAM yzdA 0AM zydAM确

2、定中性轴的位置zCyzdAxyzCyzdAxyAEydAEAME ydA 0Sz A ydA0结论:中性轴通过形心,与形心轴重合.确定形心主轴M yz dAzCyzzCyzdAxyz Ey dAEAME惯性积yzdA 0I yZ yzdA 0结论:y z轴为形心主轴zCzCy z dAxyM zA aAEydAAMEA ydAM2惯性矩IZ y2dAAM EI z 与 Ey解出:MyIz7.3横力弯曲时的正应力横截面上的最大正应力 maxMy maxI全梁的最大正应力 maxz MmaxIy maxz等直梁 maxM maxW令Wz Izymaxz-抗弯截面模量矩形:Wzbh 26圆形:空心圆

3、:Wz d332WzD32 4 )M变截面梁:综合考虑和yMIz无水平对称轴的梁确定maxy拉最大弯曲拉应力 t Mmax y1y1IzzMyy2最大弯曲压应力c max2压Iz弯曲强度条件t maxt max M max y1Itzc max M max y2IczmaxMmaxW z已知:P=10kN,a=1.2m,=10MPa.h:b=2.求:设计梁的截面尺寸解:1作弯曲图Mmax=Pa=12kNm2由强度条件P3PPhDACBEbaaaa max M Wz 6M maxbh2Pa 2与h 2b(-)(+)(-)M图3 MPaPab3122mm2解出h=2b=244mm选用125250m

4、m2的矩形截面已知:P1= 8kN,P2=20kN,a=0.6m Iz=5.33x106mm4,t=60MPa ,c=150MPa.求:校核梁的强度.解:1 作弯矩图P1P2yRA=22kNRB=6kNMA=-4.8kNm2 校核强度CA aRADa3.6y2=40y1=80 By1=80RB 1 M A y1 I Z 72 MPa c(-)D4.8D(+)M 图 M A y2IZ 36MPat A2 2 MD IZ 54MPa t DADA11*非对称梁的弯曲非对称梁:无纵向对称面的梁zczcydAz的梁.讨论两个问题:x对非对称梁y、z条件z轴为中性轴.弯矩应在什么平面内.y假设:1非对称

5、梁发生纯弯曲变形;2 平面假设和纵向纤维互不挤压假设成立.正应力 MyIz(a)截面上的内力轴力N dAmMzmMzcydAz对y对zMyMzzdAAxA dA当外力偶m作用于xy平面时,EN=0,My=0,Mz=m=MyENdA EAE ydA 0(b)M y EAE0(c)M z A ydA y2dA m (d)讨论:对称截面,条件(c)自然满足.非对称截面,总可以找到使Iyz=0的主惯性轴y、使条件(c满足.若主惯性轴y、z,又是通过截面形心, y、z轴为面为形心主惯性平面.z轴为中性轴.必然有:S0IMyzyzI z结论:1 非对称梁,只要外力偶作用在形心主惯性平面内, 梁就会发生平面

6、弯曲,2 非对称梁在纯弯曲时发生平面弯曲的结论可以推广到横力弯曲情况.只要赂去其扭转变形即可.7.4弯曲剪应力一弯曲剪应力公两点假设:Q;沿横截面宽度均布右侧b kzhcyMdx+dM+dN1 1d )dA(MA1dM )y1dAzII M dMIZZ(M dM)SzIZcxyN2y1y1dAS式中zSy1dA1MyMS*1N1dxy左侧N 2 dA 1dA zA1顶面dQ IZIZX 0,N 1 N 2 dQ 0(M ) SMS z z I z z I Zbdx 0cxydMS N2y1 y1zdxIZ bzQSdAN1dxy z I Zb二矩形截面的弯曲剪应力Szy 1Sh 2 1dy 1

7、b ( hy 2 )2Ay2422 Q (hy2)22IZ4hby 2=0Qh 2y max8Ih/2y ymaxIZ bh3代入12 3h/21zdy1max2A2my三其它截面的最大剪应力max 四型查附录Km截面系数矩形工字形截面系数矩形工字形圆形环形K321432S代入Sz z zI Z b五弯曲剪应力强度条件max 已知:Plbh求:1max=?2max:max=解:1作剪力图和弯曲图PACBhl/2l/2bPQmax2PPlMmax42计算最大剪应力PQ图 3Q2 A3P2P4bh2(+)(-(+)(-)PlMPl(+)3Pl4(+) maxmax W z4bh 62bh 2M图4

8、max3P4bh 2bh2h3Pl2ll=max h 2l h2 5h 1 10 10%已知: 悬臂梁AB(组合梁),b=69mm,h=100mm,l=800mm,P=1kN;螺栓的许用剪应力=100MPa.Pl求: 螺栓的直径Pl 2h2b横截面上的剪力QP中性层上的剪应力 3 Q 2A中性层上的剪力Q 3Pl2h螺栓承受全部剪力Q,由螺栓的剪切强度条件Q 3Pl 2hd24 6Pld6Pl取d 12.5mm7.5提高梁弯曲强度的措施1选择合理的形状和截面 M Wz M WzA较大可以提高梁的弯曲强度.(P107 表7.1)2适当布置载荷和支座的位置 MyyqABx0.2ll0.2lBqABx0.2ll0.2lBWmaxWzAxlA适当布置载荷和支座的位置可以降低最大弯曲数值提高M梁的弯曲强度0M(+)0.025(+)0 xxPhPhA Bl/2Cl/2x等强度梁:梁上各横截面上的最大应力都相等且等于许用应力. M(x)b(x)W (b(x) W (x) M (x) bminh =c ,b =b(