洛伦兹模型与混沌

1、 洛伦兹模型与混沌蝴蝶效应混沌理论：混沌理论（Chaos theory）是关于 HYPERLINK /w/index.php?title=%E9%9D%9E%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%B3%BB%E7%BB%9F&action=edit&redlink=1 o 非线性系统（页面不存在） 非线性系统在一定参数条件下展现 HYPERLINK /wiki/%E5%88%86%E5%B2%94%E7%90%86%E8%AB%96 o 分岔理论 分岔（bifurcation）、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。在 HYPERLINK /wiki/%E8%8

2、0%97%E6%95%A3%E7%B3%BB%E7%B5%B1 o 耗散系统 耗散系统和 HYPERLINK /wiki/%E4%BF%9D%E5%AE%88%E7%B3%BB%E7%B5%B1 o 保守系统 保守系统中，混沌运动有不同表现，前者有 HYPERLINK /wiki/%E5%90%B8%E5%BC%95%E5%AD%90 o 吸引子 吸引子，后者无（也称含 HYPERLINK /w/index.php?title=%E6%B7%B7%E5%90%B8%E5%BC%95%E5%AD%90&action=edit&redlink=1 o 混吸引子（页面不存在） 混吸引子）。从20世纪

3、80年代中期到20世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注，引发了全球混沌热。混沌，也写作浑沌（比如 HYPERLINK /wiki/%E5%BA%84%E5%AD%90 o 庄子 庄子）。自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种貌似 HYPERLINK /wiki/%E9%9A%8F%E6%9C%BA o 随机 随机的行为或性态。确定性（deterministic）是指方程不含随机项的系统，也称 HYPERLINK /wiki/%E5%8A%A8%E5%8A%9B%E7%B3%BB%E7%BB%9F o 动力系统 动力系统（dyna

4、mical system）。典型的模型有 HYPERLINK /wiki/%E5%96%AE%E5%B3%B0%E6%98%A0%E8%B1%A1 o 单峰映象 单峰映象（logistic map）迭代系统， HYPERLINK /wiki/%E6%84%9B%E5%BE%B7%E8%8F%AF%C2%B7%E8%AB%BE%E9%A0%93%C2%B7%E5%8B%9E%E4%BE%96%E6%AC%A1 o 爱德华诺顿劳仑次 洛伦兹微分方程系统， HYPERLINK /wiki/%E8%8B%A5%E6%96%AF%E5%8F%BB%E5%90%B8%E5%BC%95%E5%AD%90 o

5、 若斯叻吸引子 若斯叻吸引子， HYPERLINK /wiki/%E6%9D%9C%E8%8A%AC%E6%96%B9%E7%A8%8B o 杜芬方程 杜芬方程， HYPERLINK /wiki/%E8%94%A1%E6%B0%8F%E9%9B%BB%E8%B7%AF o 蔡氏电路 蔡氏电路， HYPERLINK /wiki/Chen_%E5%90%B8%E5%BC%95%E5%AD%90 o Chen 吸引子 Chen 吸引子等。为浑沌理论做出重要贡献的学者有 HYPERLINK /wiki/%E5%BA%9E%E5%8A%A0%E8%8E%B1 o 庞加莱 庞加莱、 HYPERLINK /

6、wiki/%E6%B4%9B%E4%BC%A6%E5%85%B9 o 洛伦兹 洛伦兹、 HYPERLINK /w/index.php?title=%E4%B8%8A%E7%94%B0%E7%9D%86%E4%BA%AE&action=edit&redlink=1 上田睆亮（Y. Ueda）、 HYPERLINK /wiki/%E7%B1%B3%E5%88%87%E7%88%BE%C2%B7%E8%B2%BB%E6%A0%B9%E9%AE%91%E5%A7%86 o 米切尔费根鲍姆 费根堡姆、 HYPERLINK /wiki/%E8%A9%B9%E5%A7%86%E5%A3%AB%C2%B7%E

7、7%BA%A6%E5%85%8B o 詹姆士约克 约克、 HYPERLINK /wiki/%E6%9D%8E%E5%A4%A9%E5%B2%A9 o 李天岩 李天岩、 HYPERLINK /wiki/%E5%8F%B2%E8%92%82%E8%8A%AC%C2%B7%E6%96%AF%E6%A2%85%E7%88%BE o 史蒂芬斯梅尔 斯美尔、 HYPERLINK /wiki/%E6%9C%AC%E8%8F%AF%C2%B7%E6%9B%BC%E5%BE%B7%E5%8D%9A o 本华曼德博 芒德勃罗和 HYPERLINK /wiki/%E9%83%9D%E6%9F%8F%E6%9E%97

8、 o 郝柏林 郝柏林等。混沌理论向前可追溯到19世纪 HYPERLINK /wiki/%E5%BA%9E%E5%8A%A0%E8%8E%B1 o 庞加莱 庞加莱等人对天体力学的研究，他提出了 HYPERLINK /w/index.php?title=%E5%90%8C%E5%AE%BF%E8%BD%A8%E9%81%93&action=edit&redlink=1 同宿轨道、 HYPERLINK /w/index.php?title=%E5%BC%82%E5%AE%BF%E8%BD%A8%E9%81%93&action=edit&redlink=1 异宿轨道的概念，他也被称为浑沌学之父。混沌行

9、为可以在许多自然系统中被观测到，例如天气和气候。 HYPERLINK /wiki/%E6%B7%B7%E6%B2%8C%E7%90%86%E8%AE%BA l cite_note-1 1对于这个行为的研究，可以通过分析混沌 HYPERLINK /wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%A8%A1%E5%9E%8B o 数学模型 数学模型，或者通过诸如 HYPERLINK /w/index.php?title=%E9%80%92%E5%BD%92%E5%9B%BE&action=edit&redlink=1 递归图和 HYPERLINK /wiki/%E5%BA%9E%E5%8A%

10、A0%E8%8E%B1%E6%98%A0%E5%B0%84 o 庞加莱映射 庞加莱映射等分析技术。定义混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。“一切事物的原始状态，都是一堆看似毫不关联的碎片，但是这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体。”混沌一词原指发现宇宙混乱状态的描述,古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家熟知的 HYPERLINK /wiki/

11、%E5%9C%B0%E5%BF%83%E5%BC%95%E5%8A%9B o 地心引力 地心引力、 HYPERLINK /wiki/%E6%9D%A0%E6%9D%86%E5%8E%9F%E7%90%86 o 杠杆原理 杠杆原理、 HYPERLINK /wiki/%E7%9B%B8%E5%AF%B9%E8%AE%BA o 相对论 相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可以化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家 HYPERLINK /wiki/%E6%84%9B%E5%BE%B7%E8%8

12、F%AF%C2%B7%E8%AB%BE%E9%A0%93%C2%B7%E5%8B%9E%E4%BE%96%E6%AC%A1 o 爱德华诺顿劳仑次 爱德华诺顿劳仑次（ HYPERLINK /wiki/%E6%84%9B%E5%BE%B7%E8%8F%AF%C2%B7%E8%AB%BE%E9%A0%93%C2%B7%E5%8B%9E%E4%BE%96%E6%AC%A1 o 爱德华诺顿劳仑次 Edward Lorenz）发现简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的“ HYPERLINK /wiki/%E8%9D%B4%E8%9D%B6%E6%95%88%E5%BA%94 o 蝴蝶

13、效应 蝴蝶效应”。60年代，美国数学家 HYPERLINK /wiki/%E5%8F%B2%E8%92%82%E8%8A%AC%C2%B7%E6%96%AF%E6%A2%85%E7%88%BE o 史蒂芬斯梅尔 史蒂芬斯梅尔（ HYPERLINK /wiki/%E6%96%AF%E8%92%82%E8%8A%AC%C2%B7%E6%96%AF%E6%A2%85%E7%88%BE o 斯蒂芬斯梅尔 Stephen Smale）发现某些物体的行径经过某种规则性变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可循，呈现失序的混沌状态。背景1963年 HYPERLINK /wiki/%E7%BE%8E%E5%9B%

14、BD o 美国 美国气象学家 HYPERLINK /wiki/%E6%84%9B%E5%BE%B7%E8%8F%AF%C2%B7%E8%AB%BE%E9%A0%93%C2%B7%E5%8B%9E%E4%BE%96%E6%AC%A1 o 爱德华诺顿劳仑次 爱德华劳仑次提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了 HYPERLINK /w/index.php?title=%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E7%B3%BB%E7%BB%9F&action=edit&redlink=1 o 决定系统（页面不存在） 决定系统可能产生 HYPERLINK /wiki/%

15、E9%9A%A8%E6%A9%9F o 随机 随机结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在 HYPERLINK /wiki/%E6%B0%94%E8%B1%A1 o 气象 气象、 HYPERLINK /wiki/%E8%88%AA%E7%A9%BA o 航空 航空及 HYPERLINK /wiki/%E8%88%AA%E5%A4%A9 o 航天 航天等领域的研究里有重大的作用。应用混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、金融学、哲学、物理学、政治学、人口学、心理学和机器人学。多种系统的浑沌状态在实验室中得到观察，包括电路、激光、流

16、体的动态，以及机械和电磁装置。在自然中进行的有对天气、卫星运动、天体磁场、生态学中的种群增长、神经元中的动作电位和分子振动的观察。浑沌理论最成功的应用之一在于生态学中的雷克动态综合模型，在其中显示了受密度制约之下的种群增长如何引致混沌状态。混沌控制混沌控制由狄透（William Ditto）、贾芬卡（Alan Garfinkel）、约克（Jim Yorke），将此想法化为实用技术，用微小的变化开始，造成希望所想的巨大改变。混沌动力学混沌系统有三种性质：受初始状态影响的敏感性，初始条件非常微小的变动也可以导致最终状态的巨大差别。具有拓扑混合性；不严格地来说，就是系统会将初始空间的拓扑性质彻底打乱

17、，使得任何初始状态变换到其他任何位置。周期轨道稠密，即在任何初始值附近都可以找到具有周期轨道的值。蝴蝶效应产生背景：在1972年12月29日，美国麻省理工教授、混沌学开创人之一E.N.洛仑兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为蝴蝶效应的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可确预报性。至此以后，人们对于混沌学研究的兴趣十分浓厚。混沌蝴蝶洛伦兹吸引子 HYPERLINK /website/archives/lorenz_attactor/ 混沌蝴蝶洛伦兹吸引子美国气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz，不要和提出洛伦兹变

18、换的那位搞混）是混沌理论的奠基者之一。20世纪50年代末到60年代初，他的主要工作目标是从理论上进行长期天气预报研究。他在使用计算机模拟天气时意外发现，对于天气系统，哪怕初始条件的微小改变也会显著影响运算结果。随后，他在同事工作的基础上化简了自己先前的模型，得到了有3个变量的一阶微分方程组，由它描述的运动中存在一个奇异吸引子，即洛伦兹吸引子。洛伦兹的工作结果最初在1963年发表，论文题目为Deterministic Nonperiodic Flow，发表在Journal of the Atmospheric Sciences杂志上。如今，这一方程组已成为混沌理论的经典，也是“巴西蝴蝶扇动翅膀在美国引起德克萨斯的飓风”一说的肇始。它的形式看起来很简单：洛伦兹方程组是基于流体力学中的Navier-Stokes方程、热传导方程和连续性方程构建的，属于耗散系统。相空间中，耗散系统的终态都将收缩到吸引子的状态上。但对平庸吸引子来说，无论初值如何，终值只有一个，而奇异吸引子却是无数个点的集合，对初值极端敏感。如洛伦兹当年只是忽略了小数点4位以后的数值，得到的结果就有了相当大的偏差，甚至是完全相反。在洛仑兹原始的工作中，x表示的是对流的翻动速率，y正比于上流与下流液体温差，z是垂直方向的温度梯度。式中三个参数（Prandtl数）、和（Rayleigh数）可任取大于0