2021-2022学年新教材高中数学第3章排列组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.1第1课时基本

1、1 2 n 1 n word1 2 n 1 n 3.1排与合3.1.1 基计原第 1 课时 基计原 学 习 任 务核 心 素 养通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘 法计数原理(重点正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题 的特征，选择“分类”或“分步”易混点能利用两个原理解决一些简单的实际问题(难点)1过两个计数原理的学习养 逻辑推理的素养2两个计数原理解决一些简单 的实际问题数运算的素养十三届全国人大三次会议在京召开，某政协委员 月 日从泉某某前往参加会议，他有两类快捷途径：一是乘坐飞机，二是乘坐动组假如这天适合他乘坐的飞机有 个航班，动车组有 4 班次城车问题 ：此委员这

2、一天从某某到共有多少种快捷途径？提示 34种问题 ：如果该委员需要在 月 日先从家乡坐汽车到达某某市，再乘坐飞机前往参 加会议，其中汽车有 班，飞机有 3 个航班问：此委员想从家乡到达共有多少种途径？提示 43种知识点 分类加法计数原完成一件事，如果有 类法，且：第一类办法中有 种不同的方法，第二类办法中有 m 种同的方法第 类法中有 m 种同的方法那么完成这件事共有 m m m 种同的方法如何理解分类加法计数原理？提示(1)定性：确原理中所指 “成一件事 是什么事； 样才算完成这件- 1 / 101 2 n 1 2word1 2 n 1 2事；成这件事可以有哪些办法(2)独立性：完成这件事的

3、 类办法是相互独立的每类办法中的方法都可以单独 完成这件事，不需要用到其他的方法(3)分类：这是利用分类加法计数理解题的关键，分类必须明确标准一种方法都必须属于某一类，不同类的任意两种方法是不同的每一类中的任意两种方法也不相同说明时要据问题的特点确定一个分类标准在这个标准下进行分类 般地，标准不同，分类的结果也不同(对接教材 试与发) 地到 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发 3 次火车发 次轮船发 2 次那么一天内坐这三种交通工具的 不同走法数 )A113B32C3424 D以上都不对B 分三类：第一类，乘汽车，从 次选 次有 种走法；第二类，乘火车，从 4 次选 1 次

4、 种法；第三类，乘轮船，从 次选 1 有 2 种法所以，共有 49 种不同的走法知识点 分步乘法计数原完成一件事，如果需要分成 个骤，且：做第一步有 m 种同的方法，做第二步m 种同的方法做第 步 m 种同的方法么成这件事共有 Nm m m 种不同的方法如何利用分步乘法计数原理解题？n提示成这件事(1)定性：确原理中所指 “成一件事 是什么事； 经过几步才能完(2)相关性：完成这件事需要分若干个步骤有每个步骤都完成了，才算完成这 件事，缺少任一步骤，这件事都不可能完成(3)分步：这是利用分步乘法计数理解题的关键确确定分步的标准，一般地，分步的标准不同，分成的步骤数也会不同； 要意各步骤之间必须

5、连续； 各步骤之间既不- 2 / 10word能重复，也不能遗漏步乘法计数原理中1 步采用的方法与 步用的方法之间有影响吗？提示 无论第 步采用哪种方法，都不影响第 2 步方法的选取 拓展：两个计数原理的区别与联：区别一区别二分类加法计数原理 每类办法都能独立地完成这件事，它 是独立的、一次的，且每次得到的是 最后结果，只需一种方法就可完成这 件事各类办法之间是互斥的、并列的、独 立的分步乘法计数原理每一步得到的只是中间结(后一步除 外)，任何一步都不能独立完成这件事，缺 少任何一步也不能完成这件事，只有各步 都完成了，才能完成这件事各步之间是关联的、独立的，“关联”确 保不遗漏，“独立”确保

6、不重复联系这两个原理都是用来计算做一件事情的不同方法数 思考辨析正确的打“”，错误的打“)(1)在分类加法计数原理中，两类同方案中的方法可以相同(2)在分类加法计数原理中，每类案中的方法都能完成这件事( )( )(3)在分步乘法计数原理中，每个骤中完成这个步骤的方法是各不相同的( )(4)在分步乘法计数原理中，事情分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事( )答案 (3)(4)已知 x，y12,4，则，)可表示不同的点的个数( ) A1 B C6 DD件事可分为两步完成：第一步，在集2,3,7任取一个值 x 有 种方法；第二步，在集合1，2,4中任取一个值 有 种法根据分步乘法计数原

7、理知，有 9 个不 同的点类型 分类加法计数原理应用- 3 / 10word分类加法计数原理中各类办法之间有何关系？每一类办法中各种方法之间有何关系？提示 各类办法之间相互独立，并且任何一类办法中的任一种方法也相互独【例 】 从高三年级的四个班中共出 22 人，其中一、二、三、四班别为 人， ， 人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？(2)在所有的两位数中，个位数字于十位数字的两位数共有多少个？解(1)分四类：从一班中选一人，有 种法；从二班中选一人，有 种法；从三班中选一人，有 种法；从四班中选一人，有 种法共有不同选法 N 4567种(2)法一：按十位上的数字

8、分别 的况分成 ，在每一类中满足题目条件的两位数分别是 个7 个6 个5 个4 个3 个 个，1 个由类加法计数原理知， 符合题意的两位数共有 865136(个法二：按个位上的数字是 2,3,4,5,6,7,8,9 成 类在每一类中满足条件的两位数别是 个， 个 个4 个 个6 个7 个 个所按分类加法计数原理知，满足条件的 两位数共有 1345736(个)(变结论本(2)中条件不变，求个位数字小十位数字且为偶数的两位数的个数 解 当个位数字是 8 ，十位数字取 9，只有 1 个当个位数字是 时，十位数字可取 7,8,9共 个当个位数字是 时，十位数字可取 ， 5 个同理可知，当个位数字是 2

9、 ，共 7 个当个位数字是 时，共 9 个由分类加法计数原理知，符合条件的数共有 37个)(变条件，变结论)本例(2)换为：用数字 1,2,3 可组成多少个没有重复数字的整数？- 4 / 10word解 分三类：第一类为一位整数，有 1,2,3共 个；第二类为两位整数，有 12,13,21,23,31,32共 个第三类为三位整数，有 ， 共组成 6 无重复数字的整数利用分类加法计数原理计数时的题流程提醒：确定分类标准时要确保每一类都能独立完成这件事跟进训练中国古代十进制算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造筹际上是一根同 长短的小木棍如图是利用算筹表示 1 一种方法据此，3 可示为“”26 表示

10、 为“”，现有 算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 9 这 9 个数字表 示的两位数的个数为 )A9 B C16 D18C 根据题意，现有 6 根算筹，可以表示的数字组合为 、5,1、3,3、其中，数字组 1、9,28,6、7 中每组可以表示 个位数，则可以表示 7 个位数；数字组合 3、7 中，每组可以表示 个两位， 则可以表示 22 个位数一共可以表示 16 两位数类型 分步乘法计数原理应用分类加法计数原理每一类中的方法和分步乘法计数原理每一步中的方法有何区别？提示分类加法计数原理每一类中的法可以完成一件事情步法计数原理每一步- 5 / 106 1 2 3 4 1 2 3 4wo

11、rd6 1 2 3 4 1 2 3 4中的方法不能独立完成一件事【例 】 (接教材 例 一种锁有 个号盘个拨号盘上有从 0 到 十个数字， 这 拨号盘可以组成多少个四位数各位上的数字允许重)?思路点拨 根据题意须依次在每个拨号盘上拨号全部拨号完毕后拨出一个四 位数，所以应用分步乘法计数原理解按从左到右的顺序拨号可以分步完成：第一步，有 10 种号方式，所以 m ；第二步，有 10 种号方式，所以 m ；第三步，有 10 种号方式，所以 m ；第四步，有 10 种号方式，所以 m 根据分步乘法计数原理，共可以组成 10 个位数的(变条件)若各位上的数字不允许复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数

12、的？解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有 种拨号式，即 10第二步，有 拨号方式，即 9；第三步，有 拨号方式，即 8；第四步，有 拨号方式，即 7根据分步乘法计数原理，共可以组成N987 个四位数的利用分步乘法计数原理计数时的题流程提醒：分步时要注意不能遗漏步骤，否则就不能完成这件事跟进训练- 6 / 10word已知集合 32，P(，)(a，)示平面上的点，问：(1)P 表示平面上多少个不同的点？(2)P 表示平面上多少个第二象限的点？解 (1)确定平面上的点 P(，b)，可分成两步完成：第一步先确定 的值，共有 6 种方法；第二步确定 值，也有 6 方法根据分步乘法计数原理

13、，得到平面上点的个数为 6(2)确定第二象限的点，可分两步成：第一步确定 ，因为 a0，所以有 方法由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数为 26类型 辨析两个计数原理如何区分一个问题是“分类”还是“分步”？提示 如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任一种方法都可以完成任务，则是分类；而从其中任何一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各 种情况，才完成这件事，则是分【例 】 现 幅不同的国画 幅同的油画， 不同的水彩画(1)从中任选一幅画布置房间，有种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类画布置

14、房间，有几种不同的选法？思路点拨解(1)分为三类：从国画中选，有 种同选法；从油画中选，有 2 种不同的选法； 从水彩画中选，有 7 种同的选法根据分类加法计数原理，共有 5714(种不同的选法(2)分为三步：国画、油画、水彩分别5 种 不同的选法，根据分步乘法计- 7 / 10word数原理，共有 527种)不同的选法(3)分为三类：第一类是一幅选自画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有 10()不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有 35()同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有 14()同的选法所以共有 1035种)不同的选法当题目无从下手，可考虑要完成的这

15、件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后 给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法分类时标准要明到不重不漏时要恰当画出示意图或树状图分更直观、 清楚的展现，便于探索规律混合问题一般是先分类再分步跟进训练一个袋子里有 10X 不的中国移动手机卡，另一个袋子里有 12X 不的中国联通手 机卡(1)某人要从两个袋子中任取一 X 手卡供自己使用，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机得一 X 中移动卡和一 X 中联卡供自己使用一 共有多少种不同的取法？解 (1)第一类：从第一个袋子中一 X 中国移动卡共有 种取法；第二类：从第二个袋子中取一 X 中国联通卡，共有 12 种

16、法根据分类加法计数原理，共有 10 种取法(2)第一步，从第一个袋子中取一 X 中国移动卡，共有 10 种法；第二步，从第二个袋子中取一 X 中联通卡，共有 12 种法根据分乘法计数原理， 共有 1012120 种取法某校开设 类修课 门B 类选修课 ，若要求从两类课程中选一门，则不同的 选法共有( )A3 种 B4 种 C 种D12 种C 选择课程的方法有 2 ：从 类程中选一门有 3 种同方法，从 类课程中选 1 门- 8 / 10word有 4 不同方法有不同选法 4 有 不同款式的上衣和 条不同颜色的长裤一长裤与件上衣配成一套， 则不同的配法种数为 )A7 B D81B从 件衣中任取一件共 4 种法，再从 3 条裤中任选一条共 种选法，由分步 乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共 312()不同配法故选 B某学生去书店，发现 本书，决定至少买其中 1 本则购买方式共( )A1 种B 种C3 种D 种C两类：买 1 本买 2 本，各类购买方式依次有 种1 种，故购买方式共有 2 3 种故选 十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线_过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有 4 种法；第二步确定出口，从剩余 个路口任选一个共 3 种由步乘法计数原理知不同的路线有 312 条一个礼堂有 4 个门，若从任一个门进从任一门出，共有不同走种 分步乘法计数原