《概率论与数理统计》讲义

1、概率论与数理统计讲义 第一章 随事件和概率第一节 基本念1、排列组合初步（）列组合式)!(!n m n m -= 从 m 个中挑出 n 个进行排列的可能数。 )!(!n m n m C n m -=从 个人中挑出 个进行组的可能数。例 1：方程 xx x C C C 76510711=-的是 4 B 3 C 2 D 1例 1 个伍参加了甲 联两之间进行循环赛两场问共的场次是多少？ (2)加原理（两种方法均能完成此事某件事由两种方法来完成第一方法可由 m 种法完成第种方法可由 种方法来完 成，则这件事可由 种法来完成。(3)乘原理（两个步骤分别不能完成这件事 n某件事由两个步骤来完成第一步骤可由

2、 m 种法完成第个步骤可由 种方法来完 成，则这件事可由 m n 种方法来完成。例 13：从 5 位同和 位同学中选出 4 位加个座谈会，要求与会成员中既有男 同学又有女同学，有几种不同的选法？例 14 张同排连号的电影票，分给 3 名生和 3 名生，如欲男女相间而坐，则不同的 分法数为多少？例 1：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A120 种 B 种 种 D180 种(4)一常见排列特排列相彼隔开顺一定和不可分辨例 1：会上有 5 个同的唱歌节目和 3 个同的舞蹈节目，：分别按以下要求各可 排出几种不同的节目单？3 个舞蹈节

3、目排在一起；3 个舞蹈节目彼此隔开；3 个舞蹈节目先后顺序一定。例 14 幅大小不同的画，要求两幅最大的排在起，问有多少种排法？例 1： 辆排成 1 排1 辆色1 辆蓝色， 辆色，且 辆红车不可分辨，问有多少种排法？重排列和非重复排列（有序）例 15 封不同的信，有 个箱可供投递，共有多少种投信的方法？对事件例 1：人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例 1： 人取 5 人有 3 个能都取，有多少种取法？例 1：有 4 对人，组成一个 3 人组，不能从任意一对中取 2 个，问有多少种可能性？ 顺序问题例 3 白， 黑，先后取 球放回2 白的种数？（有序） 例 3 白， 2 黑，先

4、后取 球不放回2 白的种数？（有序） 例 ： 白， 黑，任取 2 球， 白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（）机试验随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行每次试验的可能结果不止一个在行一次 试验之前却不能断言它出现哪个结果称这种试验为随机试验验可能结果称为随机 事件。例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出点“5”和出现偶数点都 是随机事件电话接线员在上午 时 10 时到的电话呼唤次泊松分布一目标 发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为 米0.5 米 1 米到 3 米之间都是随机事件（正 态分布在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下

5、性质： （） 每行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；（） 任事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示，例如 n （离散本 事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由 中部分点（基本事件 组的集合。通常用大写字母 A B C 表示事件，它们是 的子集。如果某个 是件 的组成部分，即这个 在事件 A 中现，记为 果在一次试 验中所出现的 有 A 则称在这次验中事件 发生。如果 不事件 A 的组成部分，就记为 A 一次试验中，所出现的 有 A 则称 此次试验 没发生。 为然事件?为可能事件。（）件关与运算关：如果事件 的组成

6、部分也是事件 B 的组成部分 生必有事件 发 A?如果同时有 B，B?，称事件 A 与件 B 等价，或称 等 ：。A、B 中至少有一个发生的事件： ，或者 A+B。属于 而属 B 的分所构成的事件，称为 A 与 的差，记为 ，可表示 A-AB 或 者 A，它表示 发生而 不生的事件。A、B 同时发生A ，者 。 ，则表示 与 不能同时发生，称事件 A 与事件 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 称事件 A 的事件，或称 的立事件记为 A它表示 不生的事件。互斥未必 对立。运：结合率：A(BC)=(AB)C A分配率： 德摩根率：=11i AABABA=，ABA=例 1：一口袋中装有五只乒

7、乓球，其中三只是白色的，两只是红色。现从袋中取球两 次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空。 A 表示取到的两只球是色 的事件， 表示取到的两只球是红色的事件，试用 、 表下列事件：（）只球是色相同的事件 C，（）只球是色不同的事件 D，（）只球中少有一只白球的事件 。例 1：币有正反两面，连续抛三次，若 表示第 i 次面朝上，用A 表示下列事件：（）两次正朝上，第三次正面朝下的事件 C ，（）少有一正面朝上的事件 D ，（）两次正朝上的事件 。3、概率的定义和性质（）率的公化定义设 为本空间A 为件，对每一个事件 A 都有一个实数 ，若满足下列三个条件： 1 0P(A)，2 P()

8、 3 对两两互不相容的事件 1A 2A ，有=? ?11)(i i A P常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为件 的率。（）典概型等可能概型）1 n 21,=， 2 nP n 1)()()(21= 。 设任一事件 A ，是由 m 组成的，则有 P(A)=)()()(21m =)()()(21m P P P +n m =基本事件总数所包含的基本事件数 = 例 18集 A 中 100 个B 中 50 个并满足 A 中 元素与 B 中元素关系 a+b=10 的 20 对问任意分别从 A 和 中抽取一个，抽到满足 a+b=10 的 a,b 的率。例 1： 双同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概

9、率为多少？ 例 ： 在共有 10 个位的小会议室内机地坐上 6 名会者，则指定的 个位被坐满的概率是 A B 131C D 111 例 1： 白球， 黑，先后取 2 球，放回2 白概率？（有序） 例 ： 白 球， 黑球，先后取 2 球不放回2 白概率？（有序） 例 1： 白， 黑球，任 取 球，2 白概率？（无序）注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）（）法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) 时P(A+B)=P(A)+P(B)例 1： 01，9 这个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： A 三数字中含

10、0 或者不含 5”。（）法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 ?A 时当 A= 时，P(B P(B)例 1： P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3， 和 P(A 例 26对于任意两个互 不相容的事件 与 ， 以下式中只有一个不正确是 P(A-B)=P(A) (B) +P(A P(A P(A )-P(B) (D)P(A -B)=P(A) A -P(A （）件概率乘法公式定义 设 A 、 是个事件，且 P(A)0则)()(A AB P 为件 A 发条件下，事件 B 发的条件概率，记=)/(A ()(A AB P 。 条概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如

11、 P( 乘法公式： B P AB =更一般地，对事件 A ， ， n ， P(A 1A 2A n-1)0，有21(A A P A )|()|()(213121A A A P P A P =21|(A A A P n 。例 1乙两班共有 70 名学中女同学 名甲班有 30 名学女生 15 名， 问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。例 1： 把匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的率？ 第次打开；第次打开；第次打开。（）概公式设事件 B B B ,21 满1n B B B ,21 两两互不相),2,1(0)(n i B i ，2 n B 1=?则有)|()()|()()|

12、()()(2211n n B A P B P B A P B P P += 。此公式即为全概率公式。例 1播种小麦时所用的种子中二等种子占 三种子占 1.5四种子占 1，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗 颗以上麦粒的概 率分别为 0.5，求种子所结的穗有 50 颗上麦粒的概率。例 1：甲盒内有红球 只黑球 2 只白球 2 只；乙盒内有红球 只黑球 3 只；丙盒 内有黑球 2 只白球 只。从这三盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是： A B 0.5C D 0.375E 0.225例 31 个40 个球60 个球，不放回先后取 2 次第 2 次取出白球的概率？ 第

13、 20 次取出白球的概率？（）叶斯公设事件 1B ， ， B 及 A 满1 ，2B ， B 两两互不相容)(Bi P ， ， ，2n B 1=?，0)(A P ，则 jj i B P B B 1)/()()/()()/(，n 。此公式即为贝叶斯公式。 B P ，（ 2n 常叫先验概率 i 2n 常称为后验概率。 如果我们把 当观察的结果， 1B n B 理解“原因，贝叶斯公式反映 了因果的率规律，并作出“由朔的推断。例 1：定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设 表示被检验者的确患有肝癌的事件 表示 诊断出被检验者患有肝癌的事件，已知 95.0)/(=C A ，98.0)/(=C 004.0)(=C P

14、现一人被检验法诊断为患有肝癌此人的确患有肝 癌的概率|(A C 。5、事件的独立性和伯努利试验（）个事件独立性设事件 、 满)()()(B P P AB = ，称事件 A 、 是相互独立的（这个性质不是想当 然成立的若事件 、 相独立，且 P ，有)()()()()()()|(B P P AB B 所以这与我们所理解的独立性是一致的。若事件 、 相独立，则可到 A 与 B A 与 、 与 B 也相互独立明） 由定义，我们可知必然事件 和可能事与任何事件都相互独立明）同时，与任何事件都互斥。（）个事件独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 、 、 相独立。对于 个事件类似。两两互互互斥。两两独互独立？例 1：)/()/(A B B ，明事件 A B 相独立。 例 1： ， ， 相互 独立的充分条件：（） ， ， 两两独立 （） 与 独例 35：，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为 ，乙射中 的概率为 0.8，求目标没有被中的概率。（）努利试定义 我们了 n 次试验，且满足 每试验只有两种可能结果A 发或 A 不生； 次验是重复进行的，即 A 发的概率每次均一样； 每试验是独立的，即每次试验 A 发与否与其他次试验 A