常微分方程与动力系统第二章课后题参考答案

1、常微分方程与动力系统第二章习题参考答案1.证明：因为 ）的一个基本解矩阵，由定理t)2.5 知在区间 J 上满足矩阵微分系统,即t)t)t)，.t)(LH)M所以由 确定的线性齐次系统（）必唯一。.t)t)t)At)12.证明：因为，分别是和的解，所以，.t)t)x t)xxA t)xTnakk( )d tk1 tt)dtnankkk1a na aa11 211 1k1k( )d ta aan2k1 因而A t)t)*12 222 dt nkn naa an 2nannkk1n a n akk1 1d)ddtk1k1 kk( ),) ,22k1 dtdtnkn a na k1nkknnk1 n

2、nnnnnnnnnnna a a a a a 0()kmkmkmmijijim1k1m1 k1m1k1m1k1i1 j1i1 j1n所以常数。 ( ( )t t( ( )t tkkk 13.证明：设 为系统的一个基本解矩阵，则由定理 2.11 知x t)x.t)是系统1 2.4知系统x t)x. t)xA t)xTT 满足初始条件的特解为，由题可x(t ) x (t)t)t ) xt,t 0,100000 在 上有界，从而由定理 2.24 知0,知 与t) t)k k (t )01T110 t) k ,t t 和使得,利用常数变易法公式 k (t )010k t) k ,t t 220T120

3、（2.32），可知式的初始条件为因的解满足为.y t)yBt)yy(t ) y00yt) t) t (s)B(s)y(s)dst10所以t) t ) t) (t ) (t) (t) k k ,t t 11T1001 20， 利 用 格 朗 瓦 尔 不 等 式 有t) k k x k k B(s) y(s) ds,t tty1 201 20t0B(s)dst记t设则B(s) dsyt) k k x ek kC k k ek k ( ) B t M01 21 2001 201 2有从而所以系统B(s) ds Bt)dt MC k k e( ) y t C x t t, tk k M1 21 200

4、t00的一切解都在0,上有界。.y t)yBt)y cos sin ett4.解：设以矩阵t为基本解矩阵的线性齐次系统为t)e sint costt.a t)xa t)ya a a ax则即得.( )( )tt 1112.y a t)xa t)y 2122 t a a e t sintet etttt sinta ae sinte sinte tt t tt cos sin t a ecos sintcos sin cos sin tt at atet ett a ettt1112cost a sinta costt acos sin cos t at整理得解1112sintcost a co

5、stsinte sinte cost a e costa e sinttttt21sint a sinta costsint a sinta cost2122得a costsint1.cos t x tttyax22所以齐次系统即为所求。a 1sintcost.y tt)x y t2a sin t25.（1）解：由 .，分离变量得dx解得由sintx xcostcostdtCexx1得t t，解得故原方程组得通解为.y Ce ey Cy CtCt1112 x Cesint（ ， 为不为零的常数）1CCy CtC1212dx dt.xt（解得得.x Cty 1y 1Cxt11xCt解得故原方程组

6、得通解为1y tCtC t xCtxC122y2d(xy)y1 (x y)6. (1) t 可化简为xd(x y) 1t由初等积 (x y)ttC(1)2(1)0C 2x y x分法得1（）又知初值代入（）得1，所t2yCx y C t2212 x t y x以解得tt1x y tx ttd(x y)xu t（2解得（ 为常数）令 x yx y CetCdt11dxdtdudtdudu1则代入得，即两边积分得utut u 1 dtdtu1t1C1（ （）代回ln u1 lntCCu C e32C0300t2131Cx(11) 323xCt11原变量得得( 32131 1 3 3tyCe11tx

7、 C 0 31得解C 0ty 237证明：令（ 为常值向量），那么 ( ) ( )t t s CCt ts C12d t) dt)d t) dts) dts)dXt)， 是sC.Ct) Xt)12dtdtdtdtdtdt ( )d t的 解 ， 所 以 由 以 上 两 式 得，t)sC t ( )1dt1 ( )d t。又因为,所以有 tsC t)X I (0)s C)2dt21。所以根据解的惟一性定理可知，(0) s)CtsC t)sC2因而有。令，代入上式得,t)t) Et)s) t)s)s t因而。 t)t)18.的初值问题可等价于积分方程x(0) x0对上述方程，应用毕卡逐次逼近法，只

8、需考虑Xt) x (s)x(s)dst0t0,，X(x ) x EX (t) Et) E (s)X (s)ds E (s)dsttX00010t0t01t (s)dst t)( (X t) E t (s)X (s)ds E(s)dsdEt (s)dst(A s d A s d( ) ) ( ) )Et (s)t A s ( ) )2210000000000111t (s)dst )(t )(X t) E t (s)X (s)ds EA s ds d( ) ) ( ) ) A s ds 2dEt (s)ds( ) ) A s ds 2( ) )A s ds 3320t00t0t0t0t0t0t0

9、11由归纳法易知显然X t) E (s)ds ( (s)ds) ( (s)ds)ttt2nnt0t0t0，可得原方程的通解为，其Xt) lim X t)exp( (s)ds)exp( (s)ds)cttntt0t0中 c 为任意的常值列向量。x 9. (1) A的特征值为3-2 =3 的特征向量1满X 1x 2001 x 足代数方程组量 。 同 理1以是 =3 的一个特征向( E)0 x 05 x 0 112010 对 应 的 特 征 向 量 为，故 2Py 1 01 200e3e3e PP A10 e20 e2 1（2）A 的特征方程为，解之，得特征根为0。E A i1 x对 应 于的 特

10、征 向 量1满 足 代 数 方 程 组1iX x 21x i1所以是( E)0 i1 1X 1 i x1 i21 可得对应的一个特征向量为 A的特征值的特征向量 iY i2 121i1 1P* 11 i2组成的矩阵，其逆矩阵，所以P P1i 1iP ii i 2 2 1 i1 i1211 (e e ) ie ie )i i0 e eii ii11 cos1 sin1ei2 212 22e Aii0 e1 12 sin1cos1i ieiieiiiie ie )(e e )i iii2 22 2 211 2 1SI A( )2 ( 2)S（3从而*SS2SI A(SI ) 10S 2(SI )1

11、 0S2 e e222于是eA ( ) 110 e 2 4SS 24(*（4(SI)而S2S2 A( ) 11 S 2( )2S1S21 4于是 (SI ) eA111 310310213 10.1）解：矩阵 A 经过初等A 1210 03 B1 010 变换变为矩阵 B，则矩阵 A 与矩阵 B 有相同的特征值。矩阵 B 为分10CD块矩阵，设,则可知 1 为 B 的一个特征值。下面求B 213的 特 征 值 。 其 特 征 方 程 为D123 ， 1det(DE) 5021112存在一个非奇异的矩阵 P，使得,所以。故P1 Je P1AJ.e edete P e P e e1J 12AJ12

12、3.x y11. (2)解：先求对应的齐次方程组的通解。特征方程为.2x yy 1，特征值为。对应于det(AE)(2)(1)0 2, 12 1122 11 满足代数方程组 uu的特征向量11，所以 2U0U 2 1 u21u 22是对应的一个特征向量。同理可得对应于1的特征向量为 2121x e2tetU CC 12e2tet y12 xe2tet变易法，令将其代入原方程组，得C t)C t) 2e2tety125.2t.C t) t)e C t)e 5costC2t3t解 之 得1， 积 分 得12.2C t)e C t)e 0Ct) 2ttt312212C t) sin 2t2t3531

13、得 原 方 程 组 的 一 个 特 解5C t) sin tt332 2sin cos et t t1255x*e2t( sinte coste )( sinte coste ) 2t2ttt 3333sin 3cos t2e2te t y*t xe2tettt因 此 原 方 程组 的通 解 为即CC sintt2e2tety12 tx Ce2t C ett12Ce C e sintty2tt12. yx（3）解：先求对应的齐次方程组的通解。特征方程为.xy 1。特征值为。对应于的特对应det(AE) 10 , 2iiii1 121 u i11 u征向量1满足代数方程组1是U 0U 1 1iu

14、u i22的 一 个 特 征 向 量 。 此 时 可 得 方 程 组 的 一 个 复 值 解.1costisintx y 的两个实值Y e tsinticost.i xy解 。且 显然它 们线 性无 关。所 以得 齐次 方程组 的通 解为 xcostsintcost，其中 ， 是不为零的常数。用常数变易CC CCsinty1212 xcostsint法 ， 令， 将 其 代 入 原 方 程 组 ， 得C t)C t) y1sint2cost.t)costC t)sint tan t1C t)costC2解 之 得 ：， 积 分 得121.C t)sintC t)cost tantC t)sin

15、ttan t2122Ct)sint1得 原 方 程 组 得 一 个 特 解 为1C t)costcost2 21 x*ttt，因此原方程组得通解为tt) tt t y*xcostsintcosttant x CcostC sinttant ，即12。CC sint2C sintC cost2y12 y12.3x2y2x yx（4）解：先求对应的齐次方程组的通解。易知特征方程为.y3 22 1特征值为。因此，齐次方程det(AE)(1) 0 1212r t rx组有形如1112 后得tee tr r ty2122 r r rr r t2(r r t)111212111221 22 比 较 t 的

16、 同 次 幂 的 系 数 可 得r r r 2(r r t)(r r t)21222211122122，即2r r 2r 0,r r 0,2r 2r r 0,r r 011122112222111222212。令，则，那么相应的特解r r ,r 2r 2rr 1 r 1r r 01222 12112111211222 x1为，令，则，那么相应的特解为e0 1r r 2r11r21 ty11222 xtt1x1tt1。因此，齐次方程组的通解为。eCeC e ttt1yy1 2 x1t用常数变易法，令，将其代入原方程组得C t)eC t)e tty112t13.t)e 2C t)te 0.Ct)t

17、Ctt解 之 得积 分 得2121.C t)e 2C t)te C t)e e tCt)15 ttttt122152t)tC1。 得 非 齐 次 方 程 组 的 一 个 特 解 为32C t)t252 128 x*t t53于是，原方程组的通解为t et eet 2 t2 t 1t1y* 352t t2525txC C tt )e x1t2t。即12CeC eet tty112t135253t ty C C tC t t )e2 22t122. xtx12.解：对于方程组，由 .，分离变量得 dx解x xcostcostdt.xxety得由得得故原方程组得.x Cey xet Cetety C

18、y CtCsint11112 x Cesint通解为（ ， 1CCy CtC12120esint0esint为，则它的基本解矩阵，又xt)C Ct) 111t2 t0 10 10e0，故。C(0) I C101101 10的特征方程。故其特征值为CE) 021得10(mod ) 1 e eiTii12ii数，特征指数。 1 0(mod ) i121213.证明：设 是系统（LHP）的一个基本解矩阵，由定理 2.19 可t)知，存在一个可微的周期为 T 的非奇异矩阵函数,以及一个常值Pt)0矩阵 R，使得，设 J 是矩阵 R 的约当标准型，则存在非t) PtetR0奇 异 常 值 矩 阵 S 使

19、 得, 所 以S J1。根据定理 2.8，且因为 是系t) Pt).e Pt).e PtSe St)tRtSJS1tJ 1100统（LHP）的一个基本解矩阵，所以也是系统（LHP）t) PtSetJ0t)P(tetJ P(t) PtS0个特征指数是 ，则该系统就有形如的解，由 是一个常数，tP(teet故证明了该系统有一个特征指数是 的充分必要条件是该系统有形如的解。e .P(t)t14. 证 明 ： 系 数 矩 阵 的 特 征 方 程 为332 1 1t t t 2 123。则可得特征det(E ) 0232 21 tt1 t2 221 i值 为。 又C ( )exp( (s)ds)1,24

20、03300 coss 0，( 1 cos ) s ds 22223430(1 cos sin )s s ds sin cos sds 224 cossin 求 C 的 特 征 方 程 为eC( )e 4 sincos4ecosesin44，故得 C 2e cose 0det(EC)242e4sinecos44的特征值为。故此系统的特征乘数为 。4 ee1215.1）设 是系统（LNP）的以 T 为周期的周期解，则显然( )t必须有。反之，设 是(LNP)的解，且下证 ( ) ( ) Tt ( ) T( )t()d tT是以 T 为周期的函数。由以及并且 tTtT f tT)(dtd tT)(可

21、得tT) t)ftT) ft) ttT f(t)dttT)|，由初值问题（1）的解得存在惟一性知 t)(0) ( ) Tt0。( ) (t tT)2）设 是以，为列向量的 阶方阵，则用常nt)(t)(t)(t)(n)(1)(2)数 变 易 法 可 求 得 (LNP) 的 任 一 解 为即( )( ) t ( ) ) ) t tf dt110由 1 是以 T为周期的解得充要f d( )( t( ) ) ) t ( )ttt10T条件是，因此亦即由 f d( ) ) ) ( ) TT( T10下述方程确定其中 是 阶单位矩(E T T) )f)ET1nnn0 的充要条件是即矩阵没有( ) 0T)E

22、Tn等于1 的特征根。dx dxdy dydt d16. 解: 作变换，令，则，t，那么，原方程组 e tdt dt2x y21 变为 d，其特征方程为det(AE)(1)0，212x y d特征值为。 0, 1122 1u u 相应于的特征向量1应满足1即0 2，令1， 0u u1u 1 2 1 u1u 2221x 则，那么相应于的特解为 01。u 22 2y 1 1u u 相应于的特征向量1应满足1即，令1， 10u u1u 2 2 2 u2 u 2221 x则，那么相应于的特解为。u 11 1 12y 11x 所以方程组得通解为代回原变量得方程组得通解cc y12211 xc c t1x

23、 为即12 为非零常数）,cc tc c 212c c ty1 2 y1212c 2c它们的朗斯基行列式为1c c t1。在 时等Wt)cc t Ct,C 0 Wt) t 01 222于 ，但当 时，这不与定理 2.7 矛盾，因为在计算过程中t 0 Wt)0t0，所以在是都不等于零。Wt) tJ17.证明： 充分性：由式（2.88）成立，则可知零解是一直稳定的。不 失 一 般 性 ， 令， 则 对，于是零解是全局指数有 1x t t ,t 000 xt) t)t ) x t)t ) . x Me (tt011)0000稳定的。必要性：设系统（）的零解对是全局指数稳定的。则由x 0 t 0定义

24、1.12 知道，有，使得对任何，存在,使得当M( )000时，对于一切有于x 0t t It) t)t ) x M( ). x ex (tt )1000001是 有即 证 式(tt )t)t ) M(x e0. M()e 1(tt )(tt )0000 x0（2.88）成立。18.证明：系统的满足初始条件的特解为.x Ax(x )x(t ) xn00，由于它的零解是渐进稳定的，由定义1.4 可知，对x(t)(t) (t )x100， 存 在使时 对 一 切t t有。 0, ) 0tx000，同时使得当时t0 xt) t) t )x ( ) 0( ) lim ( ) 0 x ttx01000t.

25、利 用 常 数 变 易 法 可 得 系 统的 解 为x ACt) x。对于上述 ，当x时，对xt)t) t )x t (sC(s)x(s)dst11000t0. x A C t x一切t t，从而可知系统t) C(s)dsrtt ) ( )tx00t0的一切在上有界，即它的零解对是稳定的。对于上述( ,)t 0当时( ) 0t ( )x0t00而t) t) t )x t) t )x C(s)ds (t) (t )x 1r(tt )tx1110000000t0由迫敛性知。所以系统lim t) t )x 1rtt ) lim x(t) 01000tt的零解对t是渐近稳定的。.x ACt) x019. .满足初始条件的特解为。x Axx(