2022年高中数学第一讲1.3三个正数的算术-几何平均不等式练习含解析新人教版选修4-5

1、PAGE 4 -三个正数的算术几何平均不等式A级基础巩固一、选择题1若实数x，y满足xy0，且x2y2，则xyx2的最小值是()A1B2C3D解析：xyx2eq f(1,2)xyeq f(1,2)xyx23 eq r(3,f(1,2)xyf(1,2)xyx2)3 eq r(3,f(1,4)（x2y）2)3eq r(3,f(4,4)3，当且仅当eq f(1,2)xyx2，即x1时，等号成立答案：C2若ab0，则aeq f(1,b（ab）)的最小值为()A0 B1 C2 D3解析：因为aeq f(1,b（ab）)(ab)beq f(1,b（ab）)3eq r(3,（ab）bf(1,b（ab）)3，

2、当且仅当a2，b1时取等号，所以aeq f(1,b（ab）)的最小值为3.答案：D3设x，y，zR，且xyz6，则lg xlg xlg z的取值范围是()A(，lg 6 B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)解析：因为lg xlg ylg zlg(xyz)，而xyzeq blc(rc)(avs4alco1(f(xyz,3)eq sup12(3)23，所以lg xlg ylg zlg 233lg 2，当且仅当xyz2时，取等号答案：B4已知x2y3z6，则2x4y8z的最小值为()A3eq r(3,6) B2eq r(2) C12 D 12eq r(3,5)解析：2x4y8z2x22y

3、23z3eq r(3,26)12.当且仅当x2y3z2时等号成立答案：C5若logxy2，则xy的最小值是()A.eq f(3r(3,2),2) B.eq f(2r(3,3),3) C.eq f(3r(3),2) D.eq f(2r(2),3)解析：当logxy2，得x2y，即x2y1，且x0，y0，xyeq f(1,2)xeq f(1,2)xy3 eq r(3,f(1,2)xf(1,2)xy)eq f(3,2)eq r(3,2).当且仅当eq f(1,2)xy时等号成立答案：A二、填空题6已知正数a，b满足ab21，则ab的最小值是_解析：因为a，b是正数，ab21，所以abaeq f(b,

4、2)eq f(b,2)3 eq r(3,f(ab2,4)eq f(3,2)eq r(3,2).故ab的最小值是eq f(3,2)eq r(3,2)，当且仅当eq blc(avs4alco1(ab21，,af(b,2)，)即eq blc(avs4alco1(af(1,2)r(3,2)，,br(3,2)时取到最小值答案：eq f(3r(3,2),2)7函数f(x)x(52x)2eq blc(rc)(avs4alco1(0 xf(5,2)的最大值是_解析：f(x)eq f(1,4)4x(52x)(52x)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4x52x52x,3)eq su

5、p12(3)eq f(250,27)，当且仅当4x52x，即xeq f(5,6)时，等号成立故函数f(x)x(52x)2eq blc(rc)(avs4alco1(0 xf(5,2)的最大值为eq f(250,27).答案：eq f(250,27)8设x，y，z0且x3y4z6，则x2y3z的最大值是_解析：因为6x3y4zeq f(x,2)eq f(x,2)yyy4z6eq r(6,x2y3z)，所以x2y3z1，当且仅当eq f(x,2)y4z，即x2，y1，zeq f(1,4)时，等号成立所以x2y3z取得最大值1.答案：1三、解答题9为锐角，求ysin cos2的最大值解：y2sin2c

6、os2cos2eq f(1,2)2sin2(1sin2)(1sin2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(3)eq f(4,27).当且仅当2sin21sin2，即sin eq f(r(3),3)时取等号所以ymaxeq f(2r(3),9).10已知a，b，c为正数，求证：(abc)(a2b2c2)9abc.证明：因为a，b，c为正数，所以abc3eq r(3,abc)，a2b2c23eq r(3,a2b2c2)所以(abc)(a2b2c2)3eq r(3,abc)3eq r(3,a2b2c2)9eq r(3,abca2b2c2).所以(

7、abc)(a2b2c2)9abc，当且仅当abc时等号成立B级能力提升1若数列an的通项公式是aneq f(n,n3128)，则该数列中的最大项是()A第4项 B第6项C第7项 D第8项解析：aneq f(n,n3128)eq f(1,n2f(128,n)eq f(1,n2f(64,n)f(64,n)因为n2eq f(64,n)eq f(64,n)3 eq r(3,n2f(64,n)f(64,n)48，当且仅当n2eq f(64,n)，即n4时，等号成立，所以aneq f(1,48)，该数列的最大项是第4项答案：A2函数y4sin2xcos x的最大值为_，最小值为_解析：因为y216sin2

8、xsin2xcos2x8(sin2xsin2x2cos2x)8eq blc(rc)(avs4alco1(f(sin2xsin2x2cos2x,3)eq sup12(3)8eq f(8,27)eq f(64,27)，所以y2eq f(64,27)，当且仅当sin2x2cos2x，即tan xeq r(2)时取等号所以ymaxeq f(8,9)eq r(3)，ymineq f(8,9)eq r(3).答案：eq f(8r(3),9)eq f(8r(3),9)3请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥，如图所示试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时解：设OO1为x m，则1x4.由题设可得正六棱锥底面边长为eq r(32（x1）2)eq r(82xx2)，于是底面正六边形的面积为6eq f(r(3),4)(eq r(82xx2)2eq f(3r(3),2)(82xx2)，帐篷的体积为V(x)eq f(3r(3),2)(82xx2)eq blcrc(avs4alco1(f(1,3)（x1）1)eq f(r(3),2)(4x)(x2)(x