2022年高中数学第三讲复习课练习含解析新人教版选修4-5

1、PAGE 4 -复习课 整合网络构建 警示易错提醒1柯西不等式的易错点在应用柯西不等式时，易忽略等号成立的条件2排序不等式的易错点不等式具有传递性，但并不是任意两个不等式比较大小都可以用传递性来解决的，由am，bm，推出ab是错误的专题一柯西不等式的应用柯西不等式主要有二维形式的柯西不等式(包括向量形式、三角形式)和一般形式的柯西不等式，不仅可以用来证明不等式，还可以用来求参数的取值范围、方程的解等，而应用柯西不等式的关键在于构造两个适当的数组，并且注意等号成立的条件 例1已知|x|1，|y|1，试求xeq r(1y2)yeq r(1x2)的最大值解：由柯西不等式，得xeq r(1y2)yeq

2、 r(1x2)eq r(x2（r(1x2)）2)eq r(y2（r(1y2)）2)1，当且仅当xyeq r(1x2)eq r(1y2)，即x2y21时，等号成立，所以xeq r(1y2)yeq r(1x2)的最大值为1.归纳升华柯西不等式可以用来求最值和证明不等式，应用柯西不等式的关键在于构造两个适当的数组，并且要注意等号成立的条件变式训练若n是不小于2的正整数，求证：eq f(4,7)1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,2n1)eq f(1,2n)eq f(r(2),2).证明：因为1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)eq f(1,2n1

3、)eq f(1,2n)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,3)f(1,2n)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,4)f(1,2n)eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,2n)，所以原不等式等价于eq f(4,7)eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,2n)eq f(r(2),2).由柯西不等式，有：eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n1)f(1,n2)f(1,2n)(n1)(n2)2nn2.因为n是不小于2的正整数，所以等式eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,2n)不成立，

4、于是eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,2n)eq f(n2,（n1）（n2）2n)eq f(2n,3n1)eq f(2,3f(1,n)eq f(2,3f(1,2)eq f(4,7).由柯西不等式，得eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,2n)eq r(（121212）blcrc(avs4alco1(f(1,（n1）2)f(1,（n2）2)f(1,（2n）2)eq r(nf(1,2n)eq f(r(2),2).所以原不等式成立专题二排序不等式的应用应用排序不等式可以比较方便地证明一类不等式，但在应用排序不等式时，要抓住它的本质含义：同向时乘积之和最大，反向时乘

5、积之和最小例2已知a，b，cR，求证eq f(a2b2,2c)eq f(b2c2,2a)eq f(c2a2,2b)abc.证明：设abc0.于是a2b2c2，eq f(1,c)eq f(1,b)eq f(1,a).由排序不等式，得a2eq f(1,a)b2eq f(1,b)c2eq f(1,c)a2eq f(1,b)b2eq f(1,c)c2eq f(1,a)，a2eq f(1,a)b2eq f(1,b)c2eq f(1,c)a2eq f(1,c)b2eq f(1,a)c2eq f(1,b).，得2eq blc(rc)(avs4alco1(a2f(1,a)b2f(1,b)c2f(1,c)a2e

6、q f(1,b)b2eq f(1,c)c2eq f(1,a)a2eq f(1,c)b2eq f(1,a)c2eq f(1,b)，则2(abc)eq f(a2b2,c)eq f(b2c2,a)eq f(c2a2,b)，所以eq f(a2b2,2c)eq f(b2c2,2a)eq f(c2a2,2b)abc成立归纳升华应用排序不等式的关键在于构造两个数组而数组的构造需要考虑条件和结论间的关系，因此需要对式子观察分析，给出适当的数组. 变式训练已知a，b，cR，求证abceq f(a4b4c4,abc).证明：不妨设abc0，则有a2b2c2，abacbc.由排序原理，得a2bcab2cabc2a3

7、cb3ac又a3b3c3，且abc，由排序原理，得a3cab3bc3a4b4c4所以abceq f(a4b4c4,abc).专题三转化与化归思想转化与化归思想是指在解决问题时，将问题通过变换使之化繁为简，化难为易的一种解决问题的思想例3求使lg(xy)lg aeq r(lg2xlg2y)对大于1的任意x与y恒成立的a的取值范围解：因为eq r(lg2xlg2y)0，且x1，y1，所以原不等式等价于lg aeq blc(rc)(avs4alco1(f(lg xlg y,r(lg2xlg2y)eq sdo7(max).令f(x，y)eq f(lg xlg y,r(lg2xlg2y)eq r(f(（

8、lg xlg y）2,lg2xlg2y)eq r(1f(2lg xlg y,lg2xlg2y)(lg x0，lg y0)因为lg2xlg2y2lg xlg y0，所以0eq f(2lg xlg y,lg2xlg2y)1，所以1f(x，y)eq r(2)，即lg aeq r(2)，所以a10eq r(2).归纳升华解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题，通过观察、分析、类比、联想等，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说自己较熟悉的问题)，通过求解新问题，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称为“化归与转化的思想”本讲常见的化归与转化的问题是通过换元或恒等变形把命题的表达形式化为柯西不等式或排序不等式的形式变式训练已知：aneq r(12)eq r(23)eq r(34)eq r(n（n1）)(nN*)，求证：eq f(n（n1）,2)aneq f(n（n2）,2).证明：因为eq r(n（n1）) eq r(n2n)，nN*，所以eq r(n（n1）)n，所以aneq r(12)eq r(23)eq r(n（n1）)123neq f(n（n1）,2).因为eq r(