江苏专用2022年版高考数学总复习第二章函数第二节函数的单调性与最值课件

1、第二节函数的单调性与最值学习要求:1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义.1.函数的单调性(1)增函数与减函数的定义:必备知识整合 增函数减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,且DI,如果对任意x1,x2D当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就称y=f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2),那么就称y=f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义:若函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调

2、性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.提醒(1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“”连接.(3)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然NM.2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M结论M为函数y=f(x)的最大值M为函数y=f(x)的最小值知识拓展1.单调性定义的等价形式设任意的x1,x2a,b,x1x2.

3、(1)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或 0,则f(x)在闭区间a,b上是增函数.(2)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或 0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k0)与y=-f(x),y=在公共定义域内的单调性相反.(4)函数y=x+(a0)的增区间为(-,-和,+),减区间为(-,0)和(0,).1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)若定义在R上的函数f(x)满足f(-1)f(3),则函数f(x)在R上为增函数.()(2)若函数y=f(x)在1,+)上是增函数,则函数f(x)的单调递增区间是1,+).()(3)函数y=的单调递减区间是(-,0)(0,+)

4、.()(4)所有的单调函数都有最值.()(5)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点处取到.()2.(新教材人教A版必修第一册P79T3改编)下列函数中,在区间(0,+)上单调递减的是()A.y=-xB.y=x2-xC.y=ln x-xD.y=ex 3.(新教材人教A版必修第一册P85T1改编)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=lof(x)的单调递增区间为()A.(-,-3,0,3 B.-3,0,3,+)CC.(-,-5),0,1)D.(-1,0,(5,+)4.(新教材人教A版必修第一册P81例5改编)函数y=在区间2,3上的最大值是2.5.函数f(x)=的单调增区间为(-,-

5、1).考点一确定函数的单调性(区间)关键能力突破角度一确定不含参函数的单调性(区间)典例1(1)(2020湖北荆州高三期末)设maxa,b=则函数f(x)=maxx2-x,1-x2的单调递增区间为()A.-1,0,B.(-,-1,C.,0,1D.,1,+)D(2)(2020黑龙江大庆高三模拟)函数f(x)=的单调增区间是()A.(-,-3)B.2,+)C.0,2)D.-3,2B解析(1)由x2-x=1-x2得2x2-x-1=0,解得x=1或x=-,当x1或x-时,f(x)=maxx2-x,1-x2=x2-x,此时函数f(x)的单调递增区间为1,+);当-x0,且f(x)在(1,+)上单调递减,

6、求a的取值范围.解析(1)f(x)=a=a,任取x1,x2(-1,1),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=a-a=,因为-1x1x20,x1-10,x2-10时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增.(2)证明:任取x1,x2(-,-2),且x10,x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在(-,-2)上单调递增.任取x1,x2(1,+),且x10,x2-x10,所以要使f(x1)-f(x2)0恒成立,只

7、需(x1-a)(x2-a)0恒成立,所以a1.综上所述,0a1.名师点评1.求函数的单调区间时,应先求函数的定义域,在定义域内求单调区间,单调区间不能用集合或不等式表示,且图象不连续的单调区间要用“和”或“,”连接.2.(1)函数单调性的判断方法:定义法;图象法;利用已知函数的单调性;导数法.(2)函数y=f g(x)的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.判断并证明函数f(x)=ax2+(其中1a3)在x1,2上的单调性.解析函数f(x)在1,2上单调递增.证明如下:任取x1,x21,2,且x1x2,则f(x2)-f(x1)=a+-a-=

8、(x2-x1),由1x10,2x1+x24,1x1x24,-1-.因为1a3,所以2a(x1+x2)0,从而f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),故当a(1,3)时,f(x)在1,2上单调递增.考点二函数单调性的应用角度一利用单调性比较大小典例3(2020河南郑州模拟)已知函数f(x)=若a=50.01,b=log32,c=log30.9,则有()A.f(b)f(a)f(c)B.f(c)f(a)f(b)C.f(a)f(c)f(b)D.f(a)f(b)f(c)D解析当x0时,f(x)=ex-e-x单调递增,且f(0)=0;当x0时,f(x)=-x2单调递增,且f(0)=0,所以函数f

9、(x)在R上单调递增,因为a=50.011,0b=log321,c=log30.9bc,所以f(a)f(b)f(c).角度二利用单调性解不等式典例4(2020山东聊城三模)已知函数f(x)=若f(a2-3)f(-2a),则实数a的取值范围是()A.(-,1B.(-,-31,+)C.(-,13,+)D.-3,1D解析当x0时,f(x)=3e-x单调递减;当x0时,f(x)=-4x+3单调递减.又3e0=-40+3=3,所以函数y=f(x)在R上连续,则函数y=f(x)在R上单调递减.作出函数y=f(x)的图象如图所示.由f(a2-3)f(-2a)可得a2-3-2a,即a2+2a-30,解得-3a

10、1.故实数a的取值范围是-3,1.角度三利用函数的单调性求参数的取值范围典例5(2020广西柳州实验中学高三开学考试)已知函数f(x)=满足对任意x1x2且x1,x2(0,+),都有 0成立,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.(1,+)B解析因为函数f(x)对任意x1x2且x1,x2(0,+),都有 0成立,所以函数f(x)在定义域内单调递减,所以所以0 x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)abB.cbaC.acbD.bacD解析由于函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到的图象关于y轴对称,故函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=f=f.当x2x11时,f(x2)

11、-f(x1)(x2-x1)ac.2.如果函数f(x)=在区间(-2,+)上是增函数,那么a的取值范围是1,+).解析f(x)=a-,函数f(x)在区间(-2,+)上是增函数,即故a1.考点三求函数的最值(值域)典例6(1)(2020安徽六安一中高三月考)若函数f(x)=,则f(x)的值域为()A.(-,3B.(2,3)C.(2,3D.3,+)(2)已知函数f(x)=则ff(-3)=0,f(x)的最小值是2-3.C解析(1)f(x)=2+,且x2+110122+3,f(x)的值域为(2,3,故选C.(2)f(-3)=lg(-3)2+1=lg 10=1,ff(-3)=f(1)=0.当x1时,f(x)=x+-32-3,当且仅当x=时,取等号,此时f(x)min=2-30;当x1时,f(x)=lg(x2+1)lg 1=0,当且仅当x=0时,取等号,此时f(x)min=0.函数f(x)的最小值为2-3.名师点评求函数最值的五种常用方法:(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法:先求