垂径定理公开课优秀教案

1、课题24.1.2 直于的直垂直于弦的直径（第一课时） 备 课 时 _11-25间课新授课授 课 教 刘春芳型教学目标教学重点教学难点教具师知识 1. 研究圆的对称性,掌握垂径定理与技 2. 学会运用垂径定理解决一些有关证明、计算和作图问题。能过程 经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理的过程，锻炼学生的思维品质， 与方 学习证明的方法。法情感 在学生通过观察操作变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力， 态度 创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。价值观垂径定理及应用。垂径定理的证明。圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件教学过程问题与情境创你知道赵州桥吗?它是 1300 多年前我国 设隋代建造的石

2、拱桥, 是我国古代人民勤 情劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形 境它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4m, 导拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2m赵 入洲桥主桥拱的半径是多少？怎样求? 新完本节课后就可以解决这个问题了。 课合 1. 圆的对称性作 （探究）不借助任何工具，你能找到圆师生行为两个问题作为问题情 境激发学生学习兴趣， 引导学生进一步的学 习。圆的对称性由学生发现 并总结教师进行板书。备 注 与修改垂 径 定理 的 内交流形纸片的圆心吗?由此你能得到圆的什么特性？教师循序渐进地将一个 个的问题抛出，引导学容 比 较多为探 2. 垂径定理究 （思考如图 ：AB 的一条弦作生一步步地进行

3、思考和 总结，师生一起总结垂考 察 重点一新直径 CD，使 CDAB，垂足 E。径定理并板书。课 时 所知 这个图形是对称图形吗你能发现图中有哪些相等的线段和 弧？请说明理由。你能用一句话概括这些结论吗？垂学生小组讨论，发现垂 径定理的证明方法，并 由学生代表发言。 学生尝试将文字转变为能解决，所 以 此内 容 最少 需 两径定理垂直于弦的直径平分弦并 符号语言，用几何符号课 时 来且平分弦所对的两条弧。你能用几何方法证明这些结论吗？ 你能用符号语言表达这个结论吗？表达定理的逻辑关系。 教师更正并板书。 教师明确定理中的条件 和结论，探究。本 节 课主 要 探讨 垂 径定理。推 论 和更 深

4、入的应用，放 在 下一 节 课进 行 研究。灵活应用提高能力 简单应用设O 的半径为 r，弦 AB 的长为 a 弦心距 OD=d 且 OCAB 于 D，弓形高 为 h，已知r、 a、h 中的任两个可 求其他两个，这种说法对吗？说明理由。从中你可总结出利用垂径定理计算的什 么技巧？ 生活中的应用如图，是赵州桥的几何示意图，若其中 AB 是桥的跨度为 37.4 米,桥拱高 CD 7.2 米,你能求出它所在的C圆的主桥拱半径吗?简单应用由学生独立完 成,教师可让学生自己 进行评判.在典型应用中教师可通 过问题设置,引导学生 联系弦、半径、弦心距 或者拱高等因素，从而 构成直角三角形，利用 勾股定理解

5、决问题。这 也是解决计算问题的主 要方法，教师一定要重 点重申。此题是垂径定理计算题 中另一种题型，主要利 用将垂径定理、勾股定 理、方程的知识进行综 合应用。本 节 课的 应 用是 基 础应用下 节 课中 再 进行 灵 活运 用 和深 入 应用。提示：此中直 角三角形 AOD 中只有 AD 是ADOB教师在提示后让学生进 行小组讨论，然后进行 总结，得出结论，让学小已知量，但可以通过弦心距、半径、拱高的关系来设 未知数，利用勾股定理列出方程。 利用垂径定理进行的几何证明 教材第 82 练习第 2 题。 小结升华生做好笔记，养成良好 的学习习惯。教师提出问题，学生回结 （1） 本节课你学到了哪

6、些数学知识？顾本节课所学知识，自升 （2） 在利用垂径定理解决问题时，你 己进行小结，养成梳理华掌握了哪些数学方法？ 知识的习惯。与 （3） 这些方法中你又用到了哪些数学作业思想？作业布置（1）教材 82 页练习第 1 题 88 页第11 题（2）分层作业思考：在直径为 400mm 的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽 320mm，求油的深度 （有几种情况）垂直于弦的径 教学设计初中数 白水县关中 刘春垂直于弦的径 教学设计教学目：3.学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题。过程与法： 通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力 2. 炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生

7、活又用于生活。情感、度与价值观 过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主 义观点及美育教育。教学重： 径定理及应用教学难 垂径定理的理解及其应用学情分： 学生在生活中经常遇到圆方面的图形，对本节课会比较有兴趣并且学过轴 对称图形相关知识。同时九年级的同学仍然是比较好奇、好动、好表现的。但在合作交 流索新知等方面发展的极不均衡学习的主动性极性等方面也有较大的差异。教学用 圆形纸片，多媒体教学过：一、创设情景：你知道赵州桥吗?它是 1300 多年前我国隋代建造的石拱桥 是我国古代 人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,的跨度(弧所对的弦的长) 37.4m, 拱高 (弧的中点到弦的距离

8、)为 7.2m，赵洲桥主桥拱的半径是多少？怎样求学完本节课后就 可以解决这个问题了二、引入新课-揭示课题：1、运用教与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验，把圆形纸片 沿直径对折，观察两部分是否重合，通过实验，引导学生得出结论：圆是轴对称图形经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴圆的对称轴有无数条圆也是中心对称图形（出示教具演示）。2、 再请学们在自己作的圆中作图：(1)任作一条弦 AB；直径 垂直弦 AB 垂足为 M出示教具演示引导学生分析直径 与弦 AB 此时的关系说明直径 CD 垂直于弦 AB ，并设问：垂直于弦的直径它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？三

9、、讲解新课-探求新知（1）实-观察-猜想： 让学生将上述作好的圆沿直径 CD 折，观察重合部分后， 发现有哪些线段相等、弧相等，并得出猜想：在 中，CD 是直径，AB 是弦CD 垂 直 AB M.那么 AM=BM，弧 AC=弧 ，弧 弧 （2）证明：引导学生用“叠合法证明此定理（3）对定理的结构进行分析（4）结合图形用几何语言表述（5）垂径定理的变式四、定理的应用：7676 简单应用例 1：（ 哈尔滨中考）如图，AB 为O 的弦， 的半径为 5，OCAB 于点 ， 交 于点 C，且 CD=1,则弦 AB 长是多少？从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？归纳：求圆中有关线段的长度时,常借助垂

10、径定理转化为直角三角形,半 r、弦半 a/2 弦心距 d,三者构造出一个直角三角形，知道两个量可用勾股定理求出第三个量。生活中的应用例题 2 一千三百年前我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形已知桥拱的跨（弧 所对的弦的长）为 ，拱高（弧的中点到弦的距离）为 米，求桥拱所在圆的半 径长（精确到 0.1 米）五、小结升华（4） 本节课你学到了哪些数学知识？（5） 在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？（6） 这些方法中你又用到了哪些数学思想？六、作业布置（1）教材 82 页练习第 1 题 88 页第 11 题（2）分层作业思考：在直径为 400mm 的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面

11、320mm，求油的深度（有几种 情况）垂径定（一课时教设计兰甲明【教学内容】73 径定理（初三几何课本 P P ）【教学目标】1知识目：通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段。2能力目：通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。B B 3情感目：结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。【教学重点】垂径定理及其应用。【教学难点】垂径定理的证明。【教学方法】探究发现法。【教

12、具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。【教学设计】一、实导入，激疑趣1实例：同学们都学过中国石拱桥这篇课文（初二语文第三第一课茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥 （如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵 县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存 最好的巨大石拱桥，距今已有 1400 多年历史，被 誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。2导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图 ），它的跨度（弧所对的弦长）为米， 拱高（弧的中点到弦 AB 的距离，也叫弓高）为 7.2 米。请问：桥拱的半径（即 AB

13、在圆的半径）是多少？通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图 ）二、尝诱导，发现理1复习过渡：如图 2(a)弦 AB O 成几部分？各部分的名称是什么？如图 2(b)将弦 AB 变成直径，O 被分成的两部分各叫什么？在图 2(b)，若将 沿直径 AB 折，两部分是否重合？CCA(a)BA A O B A BD AD D(b) (b) (c)B（图 2） （图 ） BD BD2实验验证：让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电 脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。 3运动变换

14、：如图 3(a)AB、CD O 的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等弧？ 如图 3(b)当 AB 时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？如图 ，当 AB 向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相 等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？4提出猜想：根据以上的研究和图 3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想（板书） BDCD是圆O的直径 BCCDAB,垂足为 5验证猜想教师用电脑课件演示图 3(c)中沿直径 CD 对折这条特殊直径两侧的 图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为垂直于弦的直径。三、引探究，证明理1引导证明：猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。

15、证明“”，可通过连结 、OB 实现，利用等腰三角形性质证明。 证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。 2归纳定理：根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3巩固定理：在下列图形（如图 ）中， O 的弦，CD 是O 的弦，它们是否适用 于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。CAC OE EA B A BD D CD 是 AB 中点O BA BAB 于 AB 于 （图 4）向学生强调：定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。四、例示范，变式习1运用

16、定理进行计算。例 如图 ，在 中，若弦 AB 的长为 8cm，圆心 到 AB 的距离为 ，求 的半径。分析：因为已知“圆心 O AB 的距为 ”，所以要作 辅助线 AB；因为要求半径，所以还要连结 。A B解：（略）学生口述，教师板书。 （图 ）变式一在图 5 ，若O 半径为 10cm，OE=6cm，则 。思考一：若圆的半径为 ，一条弦长为 a，圆心到弦的距离为 d， 则 R、a、d 三者之间的关系式是 。AEOB变式二如图 6在 中，半径 OC，垂足为 E，若 ，则 的半径=。 （图 6）思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法） 2运用定理进行证明例 2已知：如图 7，在以

17、 为圆心的两个同心圆中，O大圆的弦 AB 交小圆于 、D 两点。A C D 求证：ACBD。 （图 ） 分析：证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？（证明OBD 或证明OADOBC）此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理） 证法一：连结 OAOB、OD，用“三角形全等”证明。证法二：过点 O 作 OEAB 于 ，用“垂径定理”证明。（详见课本 例 2） 注 1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。注 2：辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也常用辅助线。 思考：在图 7 ，若 AC=2，AB=10，圆环的面积是 。变式一若将图 7 中的大圆

18、隐去，还需什么条件，才能保证 AC=BD？变式二若将图 7 中的小圆隐去，还需什么条件，才能保证 AC=BD？变式三将图 7 变成图 8（三个同心圆），你可以 A D B 证明哪些线段相等？ （图 ）O E A A B D 787O E A A B D 787例 3（选讲）如图 9，ABC 中， AC，BC 6 2 ，以 C 为圆心、CA 长为半径画弧，交C斜边 AB D，求 的长。（答案：）A 略解：过点 C 作 AB ，先用勾股定理求得 （图 ）AB=9，再用面积法求得 2 ，最后用勾股定理求得 AE=1，由垂径定理得 AD=2。五、师小结，纳入统1定理的三种基本图形如图 1011。a2计算中三个量的关系如图 13 2 2 ) 2 。23证明中常用的辅助线过圆心作弦的垂线段。AOE A B R B D（图 10 （图 11） （图 12） （图 ）六、达检测，反馈果B1（课 P 练习第 1 题）如图 14在 的半径为 弦 A