2012电磁场与电磁波06-矢量与场论5-亥姆霍兹定理和矢量场分类

1、电磁场与电磁波Electromagnetic Fields and Waves 矢量与场论5谢泽明华南理工大学电子与信息学院射频与无线技术研究所TEL:mail:亥姆霍兹定理与三度运算公式内容散度和旋度的意义亥姆霍兹定理矢量场分类算子的运算规则重要的恒等式矢径的“三度”计算各种场的讨论矢量场的旋度和散度的意义矢量场的旋度是矢量函数；矢量场的散度是标量函数。旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。散度表示场中各点的场量与通量源的关系。矢量场由它的散度和旋度确定（因为源已经确定）矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场(或保守场)。矢量场所在空间里的场量的散度

2、处处等于零，称该场为无散场(或管形场)。旋度表示是 的各个分量沿着与它们相垂直的方向上的变化规律。散度表示是 的场分量沿各自方向上的变化规律。【Helmholtz定理】 对于任意矢量场 ，有证明略。可以得到几点结论：在无界空间，若矢量场有界且正则（场值至少按1/r衰减，且其源密度至少按1/r2衰减），则矢量场由它的散度和旋度唯一确定。在有界空间，矢量场由它的散度、旋度及其边界条件唯一确定。矢量场可以分解为无散场与无旋场组合。 对应旋涡源， 对应通量源，所以Helmholtz定理也告诉我们，矢量场是由其旋涡源和通量源产生的。电磁场的散度和旋度为电磁场的基本方程，使我们研究的重点（麦克斯韦方程组）

3、矢量场的分类在有界空间，矢量场由它的散度、旋度及其边界条件唯一确定。矢量场的分类按照场有无散度、旋度分类：无旋有散场有旋无散场无旋无散场有旋有散场算子的运算规则在直角坐标系下梯度散度旋度可以看出，算子具有矢量与微分算子的双重特性，这是构成算子运算规则的基础。为了便于计算，定义显然下面通过例题说明算子的运算规则。【例】证明证明：应用乘积函数的微分运算规则应用矢量恒等式： （k为常数）有可以应用算子直角坐标公式，验证上式的正确性。但应用运算规则更为简单，而且也说明了算子与坐标无关。运算规则1：运算中，先把有下标c的量看成常数，待运算结束后，再去除下标c。【例】证明证明：应用乘积函数的微分运算规则应

4、用矢量恒等式：于是运算规则2：运算中，常数矢量要始终在算子的左侧，函数矢量要始终在算子的右侧。去掉下标c后得证。几个重要的矢量公式式中： 2为Laplacian算子，在直角坐标系下【例4-5】证明矢径的“三度”计算在电磁理论中，大量遇到矢径 的“三度”计算问题。设 表示源点， 表示场点， 则称为矢径。应用球坐标系，最为简单。矢径的性质泊松方程无旋有散场（位场，有势场）矢量场 在区域V内处处有 则矢量场 称为域内V的无旋有散场。由其中，u为 的标量位函数，是 的标量源函数（散度源或通量源）根据的分布，由泊松方程求出u，继而求出 。 各种场的特点根据斯托克斯定理，无旋场是保守场(即无旋场量的线积分

5、与路径无关，或者该场量沿任意闭路c的环量为0)，也即对任意闭路在矢量分析中，无旋场、梯度场和保守场是等价的。矢量位函数有旋无散场（管形场）矢量场 在区域V内处处有 则矢量场 称为域内的有旋无散场。由在许多场问题中， 是为了由旋度源 求 而引入的辅助计算量，故令 ，则有 称为矢量位 的矢量泊松方程。恒定磁场的矢量磁位与产生磁场的场源电流源之间满足的就是矢量泊松方程。无散场也称为管形场，因为通量在由矢量线形成的同一个矢量管中的所有截面上都是相等的。矢量管S1S2Ss无旋无散场(调和场)矢量场 在区域V内处处有 则矢量场 称为V域内的无旋无散场。无旋无散场只能存在有限的区域V内。它是由分布在区域V以

6、外或V的边界上的某种场源产生的在区域V内的场量。场源对其影响是通过边界条件来体现。在V内，由上式为拉普拉斯方程。在数学上满足拉普拉斯方程的标量函数称为调和函数，故无旋无散场也称为调和场。有旋有散场矢量场 在区域V内处处有 则矢量场 称为V域内的有旋有散场。根据亥姆霍兹定理，有(无旋有散+有旋无散)则【例5-4】已知 解：求它们的源分布，并说明哪一个矢量可以表示为一个标量函数的梯度函数及哪一个矢量可以表示为一个矢量函数的梯度。因为 ，根据 ，则 表示为一个标量函数的梯度函数。 是无旋场，是由通量源( )产生，其源分布为因为 ，根据 ，则 表示为一个矢量函数的旋度函数。 是无散场，是由旋涡源( )产生，其源分布为第五讲总结几个重要电磁场定理 亥姆霍兹定理 ，高斯散度定理， 斯托克斯定理，格林定理矢量场的分类无旋场，无散场5-1 证明矢量Green第二定理第五讲作业5-2 P39 18， 20， 21第五讲 习题讲解【题1】 利用直角坐标系证明 证明：在直角坐标系中，当 时，所以当 时， 变为不定式。以源点 为中心，做半径为R的球面S，球面S所包围的体积为V，从而有(散度定理)又因为球面上 的方向即为 的方向，且R是常数，于是利用函数的性质之一所以有【题2】证明证明：令 为任意常矢量，利