集合的基本关系及运算

1、集合的基本关系及运算编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集.在具体情境中，了解空集和全集的 含义.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.理解在给定集合中一个子集 的补集的含义，会求给定子集的补集.【要点梳理】要点一、集合之间的关系集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset） .记作：A c B（或B M A），当集合A不包含于集合B时，记作A里B，用Venn图表

2、示两个集合间的“包含”关系：A c B（或B m A）要点诠释：（1）“ A是B的子集”的含义是：A的任何一个元素都是B的元素，即由任意的xe A，能推出xeB .（2）当A不是B的子集时，我们记作“ A cB （或B MA）”，读作：“ A不包含于B”（或“ B不包含A ”）.真子集：若集合A c B，存在元素xe B且x史A，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）. 记作：aMb（或B罪A）规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集集合与集合之间的“相等”关系A c B且B c A，则A与B中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作Ac

3、A.要点二、集合的运算并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：AUB 读作：“A 并 B”，即：AUB=x|xe A，或 xeBVenn图表示：要点诠释：“x e A,或 x e B” 包含三种情况：“ x e A, 但x 史 B ”； “ x e B, 但x 史 A 七 “ x e A,且x e B ”.两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现 一次).交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：ACB,读 作：“A交B”，即ACB=x|xe A，且xeB；交集

4、的Venn图表示：要点诠释：并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而 是 ACB = 0 .概念中的“所有”两字的含义是，不仅“ACB中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A 与B的公共元素都属于ACB”.两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集， 通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相 对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，

5、记作：uA;即(A=xlx e U且x史A； 补集的Venn图表示：| U., A ) di-:二点d|CuAK要点诠释：理解补集概念时，应注意补集C A是对给定的集合A和U(A o U)相对而言的一个概念，一个u确定的集合A，对于不同的集合U，补集不同.全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则竖为全集；而当问题扩展 到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集.A表示U为全集时A的补集，如果全集换成其他集合(如R )时，则记号中“U”也必须换成 相应的集合(即).集合基本运算的一些结论A cB o A, A cB o B, A c A=A, A n0 =0, A cB=B

6、c AA o A uB, B o A uB, A u A=A, A D0 =A, A uB=B u A(匕A) u A=U,(A) c A=0若AAB=A,则A o B，反之也成立若AUB=B,则A o B，反之也成立若 xe (APB)，则 xe A 且 xeB若 x e (AUB)，贝，x e A,或 x e B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图 或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】.集合 .集合 A = a I

7、a = 2k, k e N，集合 B =b Ib = 11 (1)n (n2 1),n e N.那么 A,B 间的).B B. A).B B. A C. A = B关系是(A.【答案】B【解析】先用列举法表示集合A、B，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合A是非负偶数集，0( n为非负偶数时)，1 (n + 1)(n - 1)(n为正奇数时).而4D.以上都不对即 A = 0,2,4,6,8,.集合 B 中的元素 b =11 (1) (n2 -1)=8 L 1(n + 1)(n 1) ( n为正奇数时)表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即n = 1,3,5,7,.由 41(n + 1)

8、(n 1)依次得 0,2,6,12,，即 B = 0,2,612,20,.4综上知，A，应选B.【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是 由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化(如用列举法来表示集合)、形象化(用Venn图， 或数形集合表示).举一反三：【变式 1】若集合A = xI x = 2k 1,k e z,B = xI x = 4l 1,l e ,则().A. B B. A C. A = B D. AUB = Z【答案】C例2.写出集合a,b,c的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集为0，只含1个元素的子集为a, b, c,

9、含有2个元素的子集有a, b, a,c, b,c,含有3个元素的子集为a,b,c,即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集. 如果集合增加第4个元素d,则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中， 会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合 共有2n个不同的子集.【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数 相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a 与每个元素搭配有a，b，a，c，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可

10、.同时还要注意两个特殊的 子集：0和它本身.举一反三：【变式1】已知a,bo A , a,b,c,d,3,则这样的集合A有 个.【答案】7个【变式2】同时满足：M。1,2,3,4,5 a e M，则6- a e M的非空集合M有()A. 16 个 B. 15 个 C. 7 个 D. 6 个【答案】C【解析】a = 3 时，6 a = 3 ； a = 1 时，6 a = 5 ； a = 2时，6 a = 4 ； a = 4时，6 a = 2 ； a = 5 时，6 a = 1；非空集合M 可能是：3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5 ，1,2,3,4,5 共 7个.故选C.

11、例 3.集合 A=x|y=x2+1，B=y|y=x2+1，C=(x,y)|y=x2+1，D=y=x2+1是否表示同一集合？【答案】以上四个集合都不相同【解析】集合A=x|y=x2+1的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域入二(-8 , +8)；集合B=y|y=x2+1的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域 B=1, +8)；集合C=(x,y)|y=x2+1的代表元素为点(x，y)，故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的 集合；集合D=y=x2+1是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程

12、y=x2+1.【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是 描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件.举一反三：【变式 1】设集合M = (兀y)l y = 3x + 4，N = (x,y)l y = 3x-2，则Mp|N =()A. 1,1 B. x = 1,y = 1C. (1,1) D. (1,1)【答案】D【解析】排除法：集合M、N都是点集，因此miN只能是点集，而选项A表示二元数集合，选项B 表示二元等式集合，选项C表示区间(1,1)(无穷数集合)或单独的一个点的坐标(不是集合)，因此可 以判断选D

13、.【变式2】设集合M = x l y = 2x +1,x e Z，N = y l y = 2x +1,xe Z，则m与N的关系是（）A. N誓M B. M Wn C. N = M D. NPlM =0【答案】A【解析】集合M表示函数y = 2尤+1,x e Z的定义域，有M = 整数；集合N表示函数y = 2x + 1,x e Z的值域，有N = 奇数，故选A.【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430例2】【变式 3】设 M=x|x=a2+1，ae N+， N=x|x=b2-4b+5，b e N+，则 M 与 N 满足()A. M=N B. MNC. NMD. MHN= 0【答案】B【解

14、析】 当a e N+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b e N+时，元素 x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0,所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即碍N，故选B.【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430例3】例 4 已 知M = x, xy,；x y, N = 0, |x|, y,若m=N， 则(x + y) + (x2 + y2) hf (x 100 + y 100) =.A. 200 B. 200 C. 100D. 0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应

15、侧重考虑集合中元素的互异性.【答案】D【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由Oe 0，|x|，y可知O e x,xy,x-y若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了 M中元素互异性，所以x/0.若x y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏 了 N中元素的互异性，故xy/0若，x-y= 0，则x=y，M， N可写为M=x，x2，0， N=0， | x|， x由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|.|x|=0 或|x|=1若|x|= 0即x=0，以上讨论知不成立若 |x|=1 即 x=1当x=1时，M中元素|x|与x

16、相同，破坏7M中元素互异性，故x/1当 x=-1 时，M=-1， 1， 0， N=0，1， -1符合题意，综上可知，x=y=-1. (x + y) + (x2 + y2) + + (x100 + y100) =-2+2-2+2+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口.因此， 集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点.举一反三：【变式 1】设 a，be R，集合1,a+b,a=0,b,b，则 b-a=()a【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：b1 e 0, ,b,0 e 1,a+b,a，又a 丰 0, a + b=0 a.当

17、b=1 时，a=-1, .0，b,b=0,-1,1a当一=1 时，.b=a 且 a+b=0，.a=b=0(舍)a综上：a=-1, b=1，.b-a=2.类型二、集合的运算例 5.设集合 A =x I x = 3k, k e Z, B = y I y = 3k +1, k e Z，C = z I z 3k + 2,k e Z，D wI w 6k +1,k e Z，求 AQB, AC,C,D.【答案】ApB AAC C 0,B1D D【解析】先将集合A、B、C、D转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.集合A x I x 3k, k e Z 表示3的倍数所组成的集合；集合B x

18、I x 3k +1, k e Z表示除以3余1的整数所组成的集合；集合C x I x 3k + 2,k e Z表示除以3余2的整数所组成的集合；集合D x I x 6k +1, k e Z表示除以6余1的整数所组成的集合；.MB MC C 0 , BV D.【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要 对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元 素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来举一反三：【变式 1】已知集合 M=y|y=x2-4x+3, x e R，

19、N=y|y=-x2-2x+8, x e R，则 MAN 等于()A. 0B. RC. -1，9D. -1，9【答案】D【解析】集合M、N均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M=y|yN-1，N=y|yW9，所 以 MAN=y|-1WyW9，选 D.例 6.设集合 M=3, a，N=x|x2-2x0，x e Z，MAN=1，则MUN 为()A. 1，3，a B. 1，2，3，a C. 1，2，3 D. 1，3【思路点拨】先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题.【答案】D【解析】由 N=x|x2-2x0，x e Z可得：N=x|0 xa.若ACB乂 0，求实数a的取值范围；若AC

20、B乂A,求实数a的取值范围；I TOC o 1-5 h z 若ACB乂 0且ACB乂A,求实数a的取值范围.-24击【思路点拨】(1)画数轴；(2)注意是否包含端点.【答案】(1) a4； (2) aN-2； (3) -2Waa，又 ACB乂 0，如图，a4；画数轴同理可得：aA2；画数轴同理可得：如图，-2Wa4.【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是， 使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.举一反三：【变式1】已知集合P= x| x21) ,M= a.若PUM=P,W a的取值范围是()A. (-8, -1B. 1, +8)C. -1,

21、 1D. (-8, -1 U1, +8)【答案】C【解析】P = x I -1 x 1 又.PUM = P ,.M o P，二-1 a 1 故选C.例 9.设集合 A = I x2 + 4x = 0),B = x I x2 + 2(a + 1)x + a2 -1 = 0,a g r.若AC|B = B，求a的值；若AUB = B，求a的值.【思路点拨】明确 B = B、AUB = B的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式B o A 和A o B,是解决本题的关键.同时，在包含关系式B o A中，不要漏掉B = 0的情况.【答案】(1) a = 1 或 a -1 ； (1) 2.【解析】

22、首先化简集合A，得A = -4,0.(1)由Ap|B = B，则有B o A，可知集合B为0，或为0、-4,或为0,-4.若 B = 0 时， = 4(a +1)2 - 4(a2 -1) 0，解得 a 1.若 0 g B，代入得 a2 -1 = 0 n a = 1或a = -1.当a = 1时，B =IX 2 + 4 X = 0)= 0, 当a = 1时，B =当 a当 a = -1 时，B =I x2 =。= 。o A,也符合题意.若-4 e B，代入得a2 - 8a + 7 = 0，解得a = 7或a = 1.当a = 1时，已讨论，符合题意；当 a = 7 时，B = I x2 +16x

23、 + 48 =。= 12, 4，不符合题意.由，得a = 1或a 4,或a -4【解析】.AQB = B, B o A.当B = 0时，此时方程x2 + ax + a2 -12 =。无解，由A 4,或a 4,或a -4.【变式2】设全集U = R，集合A = xI -1 x 2,B = xI4x + p 4【解析】C A= x I x 2， uB*CuA，.-P 4. .实数p的取值范围是p 4.【巩固练习】1.设U = R，A = x I x 0，B = x I x 1，则 AQC B =()UA. XI 0 X 1 B. XI 0 X 1C. C. x I x 12.已知全集U = R，则

24、正确表示集合M = 1,0,1和N = I x2 + x = 0关系的韦恩（Venn）图是3.若集合 A = 1,1, B = x I mx = 1，且 A D B = A，则 m 的值为()A. 1 B. -1 C. 1 或-1 D. 1 或-1 或04.已知集合A,B满足MB = A，那么下列各式中一定成立的是（A.BB. B呈 AC. AUB = B D. AUB = A5.若全集U = 0,1,2,3 且匕人5.若全集U = 0,1,2,3 且匕人=2，则集合A的真子集共有(3个 B.5 个 C.7 个 D.8 个设集合M = x I x = k + ； k e Z，N = x I x

25、 = k + -1, k e Z，则( 2 44 2M = N B. mMn C. nMm d. N = 0A.6.A.7.用适当的符号填空：m,n） ； （2） m(1) mm,n）；（3）0m, n).8.若集合A = x I x 6,x e N，B = x I x是非质数，C = B，则C的非空子集的个数为.9.若集合 A = x 13 x 7， B = x 12 x 10，则 AUB =11.已知A =10 .设集合 A = x| 3 x 2, B = x2k 1 x 2k +1，且 A o B ,则实数 k 的取值范围11.已知A =y y = x2 + 2x-1,B = y y =

26、 2x +1，则 Ap|B =12.已知集合A = 1,2,B = 1,2,3,4,5 ，若M o B，请写出满足上述条件得集合M .13.已知 A = x| 2 x 5, B = x|m +1 x 2m-1, B o A，求m 的取值范围.14.已知集合 A =x I x2 + px 2 = 0), B = x I x2 x + q = 0),且 A=2,0,1，求实数 p, q 的值值.15设 全 集 U = R ,M = m I方程mx2 x-1 = 0有实数根,15N = n I 方程x2 x + n = 0有实数根，求(M )口 N.【巩固练习】1. 1.设 A=(x, y)| |x+1| + (y-2)2=0, B=-1, 2,则必有()A、BAB、ABC、A=B D、AAB= 02.集合 M=y| y=x2T, xWR, N=x|A、2.集合 M=y| y=x2T, xWR, N=x|A、C、(-气：2 , 1), ( 2 , 1) lc I 1 x J-;3y=3 x2 ，则 MAN 等于()I0 x J3B、D、03 .已知全集U = R，则