高中数学《基本初等函数的导数》知识点讲解及重点练习

1、5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数学习目标1.能根据定义求函数yc，yx，yx2，yeq f(1,x)，yeq r(x)的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数知识点一几个常用函数的导数原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)x3f(x)3x2f(x)eq f(1,x)f(x)eq f(1,x2)f(x)eq r(x)f(x)eq f(1,2r(x)知识点二基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q，且0)f(x)x1f(x)sin xf(x)cosxf(x)cos xf(x)si

2、nxf(x)ax(a0，且a1)f(x)axlnaf(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)eq f(1,xln a)f(x)ln xf(x)eq f(1,x)1若yeq r(2)，则yeq f(1,2)21.()2若f(x)eq f(1,x3)，则f(x)eq f(3,x4).()3若f(x)5x，则f(x)5xlog5e.()4若ysin 60，则ycos 60.()一、利用导数公式求函数的导数例1求下列函数的导数：(1)yx0；(2)yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x；(3)ylg x；(4)yeq f(x2,r(x)；(5)y2cos2e

3、q f(x,2)1.解(1)y0.(2)yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)xlneq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)xln 3.(3)yeq f(1,xln 10).(4)yeq f(x2,r(x)(5)y2cos2eq f(x,2)1cos x，y(cos x)sin x.反思感悟(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导如yeq f(1,x4)可以写成yx4，yeq r(5,x3)可以写成y等，这样就可

4、以直接使用幂函数的求导公式求导，避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误(3)要特别注意“eq f(1,x)与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y2 020；(2)yeq f(1,r(3,x2)；(3)y4x；(4)ylog3x.解(1)因为y2 020，所以y(2 020)0.(2)因为yeq f(1,r(3,x2)所以y(3)因为y4x，所以y4xln 4.(4)因为ylog3x，所以yeq f(1,xln 3).二、利用导数研究曲线的切线方程例2已知曲线yln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程解

5、yeq f(1,x)，ky|xeeq f(1,e)，切线方程为y1eq f(1,e)(xe)，即xey0.延伸探究求曲线yln x的过点O(0,0)的切线方程解O(0,0)不在曲线yln x上设切点Q(x0，y0)，则切线的斜率keq f(1,x0).又切线的斜率keq f(y00,x00)eq f(ln x0,x0)，eq f(ln x0,x0)eq f(1,x0)，即x0e，Q(e,1)，keq f(1,e)，切线方程为y1eq f(1,e)(xe)，即xey0.反思感悟(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；若已知点不是切点，则

6、应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤跟踪训练2(1)函数yx3在点(2,8)处的切线方程为()Ay12x16 By12x16Cy12x16 Dy12x16答案A解析因为y3x2，当x2时，y12，故切线的斜率为12，切线方程为y12x16.(2)已知曲线yln x的一条切线方程为xyc0，求c的值解设切点为(x0，ln x0)，由yln x得yeq f(1,x).因为曲线yln x在xx0处的切线方程为xyc0，其斜率为1.所以eq f(1,x0)1，即x01，所以切点为(1,0)所以10c0，所以c1.利用导数公式求切点坐标问题典例已知直

7、线l: 2xy40与抛物线yx2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使ABP的面积最大解由于直线l: 2xy40与抛物线yx2相交于A，B两点，|AB|为定值，要使ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的切线斜率为ky2x0，k2x02，x01，y0 1.故可得P(1,1)，与直线l平行的抛物线的切线方程为2xy10.故P(1,1)点即为所求弧上的点，使ABP的面积最大素养提升(1)利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值

8、问题，一般都与函数图象的切线有关解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算(2)结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养1给出下列命题：yln 2，则yeq f(1,2)；yeq f(1,x2)，则y|x3eq f(2,27)；y2x，则y2xln 2；ylog2x，则yeq f(1,xln 2).其中正确命题的个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析对于，y0，故错；对于，yeq f(2,x3)，y|x3eq f(2,27)，故正确；显然，正确2已知f(x)eq r(x)，则f(8)等于()A0 B2eq r(2) C.eq f(r(2

9、),8) D1答案C解析f(x)eq r(x)，得f(x)f(8)3(多选)下列结论正确的是()A若y3，则y0B若yeq f(1,r(x)，则yeq f(1,2)eq r(x)C若yeq r(x)，则yeq f(1,2r(x)D若yx，则y1答案ACD解析只有B是错误的因为y4已知f(x)ln x且f(x0)eq f(1,xoal(2,0)，则x0.答案1解析因为f(x)ln x(x0)，所以f(x)eq f(1,x)，所以f(x0)eq f(1,x0)eq f(1,xoal(2,0)，所以x01.5曲线yeq f(9,x)在点M(3,3)处的切线方程是答案xy60解析yeq f(9,x2)

10、，y|x31，过点(3,3)的斜率为1的切线方程为y3(x3)，即xy60.1知识清单：(1)常用函数的导数(2)基本初等函数的导数公式(3)切线方程2方法归纳：方程思想、待定系数法3常见误区：不化简成基本初等函数.1下列求导运算正确的是()A(cos x)sin x B(x3)x3ln xC(ex)xex1 D(ln x)eq f(1,xln 10)答案A2下列各式中正确的个数是()(x7)7x6；(x1)x2；(eq r(5,x2) (cos 2)sin 2.A2 B3 C4 D5答案A解析(x1)x2；(cos 2)0.错误，故选A.3已知函数f(x)x(Q，且0)，若f(1)4，则的值

11、等于()A4 B4 C5 D5答案A解析f(x)x1，f(1)(1)14，a4.4若函数f(x)cos x，则feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)的值为()A0 B1 C1 D2答案A解析f(x)sin x，所以feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)sin eq f(,4)cos eq f(,4)0.5(多选)已知曲线yx3在点P处的切线斜率为k，则当k3时的P点坐标为()A(1,1) B(1，1)C(1,1) D(1，1)答案BC解析y3x2，因为k3

12、，所以3x23，所以x1，则P点坐标为(1，1)或(1,1)6已知cf(x)cf(x)，其中c为常数若f(x)ln 5log5x，则曲线f(x)在点A(1,0)处的切线方程为答案xy10解析由已知得f(x)ln 5 eq f(1,xln 5)eq f(1,x)，所以f(1)1，在A点处的切线方程为xy10.7若曲线yeq r(x)在点P(a，eq r(a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是答案4解析因为yeq f(1,2r(x)，所以切线方程为yeq r(a)eq f(1,2r(a)(xa)，令x0，得yeq f(r(a),2)，令y0，得xa，由题意知eq f(1,2)

13、eq f(r(a),2)a2，所以a4.8设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线yeq f(1,x)(x0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为答案(1,1)解析设f(x)ex，则f(x)ex，所以f(0)1.设g(x)eq f(1,x)(x0)，则g(x)eq f(1,x2).由题意可得g(xP)1，解得xP1.所以P(1,1)9点P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离解如图，当曲线yex在点P(x0，y0)处的切线与直线yx平行时，点P到直线yx的距离最近则曲线yex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y(ex)ex，所以1，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)

14、利用点到直线的距离公式得最小距离为eq f(r(2),2).10已知抛物线yx2，求过点eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，2)且与抛物线相切的直线方程解设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为y2keq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，因为y2x，所以k2x0，又点(x0，xeq oal(2,0)在切线上，所以xeq oal(2,0)22x0eq blc(rc)(avs4alco1(x0f(1,2)，所以x01或x02，则k2或k4，所以直线方程为y22eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)或y24e

15、q blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，即2xy10或4xy40.11已知函数f(x)x3在某点处的切线的斜率等于1，则这样的切线有()A1条 B2条C多于2条 D不能确定答案B解析yf(x)3x2，设切点为(x0，xeq oal(3,0)，由3xeq oal(2,0)1，得x0eq f(r(3),3)，即在点eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)，f(r(3),9)和点eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)，f(r(3),9)处均有斜率为1的切线，故有2条12若曲线yx1(Q且0)在点(1,2)处的切线经过原点，则.答案2解析yx1

16、，所以y|x1，所以切线方程为y2(x1)，即yx2，该直线过点(0,0)，所以2.13已知f(x)cos x，g(x)x，则关于x的不等式f(x)g(x)0的解集为答案eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(,2)2k，kZ)解析f(x)sin x，g(x)1，由f(x)g(x)0，得sin x10，即sin x1，则sin x1，解得xeq f(,2)2k，kZ，其解集为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(,2)2k，kZ).14设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1

17、(x)fn(x)，nN，则f2 020(x).答案sin x解析由已知得，f1(x)cos x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 020(x)f4(x)sin x.15函数yx2(x0)的图象在点(ak，aeq oal(2,k)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN*，若a116，则a1a3a5的值是答案21解析y2x，yx2(x0)的图象在点(ak，aeq oal(2,k)处的切线方程为yaeq oal(2,k)2ak(xak)又该切线与x轴的交点坐标为(ak1,0)，ak1eq f(1,2)ak，即数