高中数学《数列复习课》知识点讲解及重点练习

1、章末复习课 一、等差(比)数列的基本运算1数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小2通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养例1在等比数列an中，已知a12，a416.(1)求数列an的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.解(1)设数列an的公比为q，由已知得162q3，解得q2，an22n12n，nN*.(2)由(1)得a38，a532，则b38，b532.设数列bn的公差为d，则有eq blcrc

2、(avs4alco1(b12d8，,b14d32，)解得eq blcrc (avs4alco1(b116，,d12，)所以bn1612(n1)12n28，nN*.所以数列bn的前n项和Sneq f(n1612n28,2)6n222n，nN*.反思感悟跟踪训练1已知等差数列an的公差d1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)在(1)的条件下，若a10，求Sn.解(1)因为数列an的公差d1，且1，a1，a3成等比数列，所以aeq oal(2,1)1(a12)，即aeq oal(2,1)a120，解得a11或a12.(2)因为a10，所以a12，所以Sn2neq f(n

3、n1,2)eq f(n2,2)eq f(3n,2)，nN*.二、等差、等比数列的判定1判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列2通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养例2已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bneq f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求数列an的通项公式解(1)由条件可得an1eq f(2n1,n)an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.从

4、而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列理由如下：由条件可得eq f(an1,n1)eq f(2an,n)，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得eq f(an,n)2n1，所以ann2n1，nN*.反思感悟判断和证明数列是等差(比)数列的方法(1)定义法：对于n1的任意自然数，验证an1aneq blc(rc)(avs4alco1(或f(an1,an)为与正整数n无关的常数(2)中项公式法：若2anan1an1(nN*，n2)，则an为等差数列. 若aeq oal(2,n)an1an1(nN*，n2且an0)，则an为等比

5、数列(3)通项公式法：anknb(k，b是常数)an是等差数列；ancqn(c，q为非零常数)an是等比数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数，nN*)an是等差数列；SnAqnA(A，q为常数，且A0，q0，q1，nN*)an是公比不为1的等比数列跟踪训练2已知数列an满足a1eq f(1,5)，且当n1，nN*时，有eq f(an1,an)eq f(2an11,12an).(1)求证：数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)为等差数列；(2)试问a1a2是否是数列an中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由(1)证明当n2时，由eq f(an1,an)

6、eq f(2an11,12an)得an1an4an1an，两边同除以an1an，得eq f(1,an)eq f(1,an1)4.所以数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是首项eq f(1,a1)5，公差d4的等差数列(2)解由(1)得eq f(1,an)eq f(1,a1)(n1)d4n1，所以aneq f(1,4n1)，所以a1a2eq f(1,5)eq f(1,9)eq f(1,45)，假设a1a2是数列an中的第t项，则ateq f(1,4t1)eq f(1,45)，解得t11N*，所以a1a2是数列an中的第11项三、等差、等比数列的性质及应用1等差、等比数列的性质

7、主要涉及数列的单调性、最值及其前n项和的性质，利用性质求数列中某一项等试题充分体现“小”“巧”“活”的特点，题型多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档2借助等差、等比数列的性质及应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养例3(1)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示数列an的前n项和，则使得Sn取得最大值的n是()A21 B20 C19 D18答案B解析由a1a3a5105得，3a3105，a335.同理可得a433，da4a32，ana4(n4)(2)412n.由eq blcrc (avs4alco1(an0，,an10，)得n20.使Sn取得最大值的n是20

8、.(2)记等比数列an的前n项积为Tn(nN*)，已知am1am12am0，且T2m1128，则m_.答案4解析因为an为等比数列，所以am1am1aeq oal(2,m)，又由am1am12am0(am0)，从而am2.由等比数列的性质可知前(2m1)项积T2m1aeq oal(2m1,m)，则22m1128，故m4.反思感悟等差数列等比数列若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地，若mn2p，则aman2ap若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地，若mn2p，则amanaeq oal(2,p)am，amk，am2k，仍是等差数列，公差为kdam，a

9、mk，am2k，仍是等比数列，公比为qk若an，bn是两个项数相同的等差数列，则panqbn仍是等差数列若an，bn是两个项数相同的等比数列，则panqbn仍是等比数列Sm，S2mSm，S3mS2m，是等差数列Sm，S2mSm，S3mS2m，是等比数列(q1或q1且m为奇数)若数列an的项数为2n，则S偶S奇nd，eq f(S奇,S偶)eq f(an,an1)若数列an的项数为2n，则eq f(S偶,S奇)q若数列an的项数为2n1，则S奇S偶an1，eq f(S奇,S偶)eq f(n1,n)若数列an的项数为2n1，则eq f(S奇a1,S偶)q跟踪训练3(1)等差数列an的前16项和为64

10、0，前16项中偶数项和与奇数项和之比为119，则公差d，eq f(a9,a8)的值分别是()A8，eq f(10,9) B9，eq f(10,9) C9，eq f(11,9) D8，eq f(11,9)答案D解析设S奇a1a3a15，S偶a2a4a16，则有S偶S奇(a2a1)(a4a3)(a16a15)8d，eq f(S偶,S奇)eq f(f(8a2a16,2),f(8a1a15,2)eq f(a9,a8).由eq blcrc (avs4alco1(S奇S偶640，,S偶S奇119，)解得S奇288，S偶352.因此deq f(S偶S奇,8)eq f(64,8)8，eq f(a9,a8)eq

11、 f(S偶,S奇)eq f(11,9).(2)在等差数列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，则该数列的前13项和为()A13 B26C52 D156答案B解析3(a3a5)2(a7a10a13)24，6a46a1024，a4a104，S13eq f(13a1a13,2)eq f(13a4a10,2)eq f(134,2)26.四、数列求和1数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题形式出现，难度中等2通过数列求和，培养数学运算、逻辑推理等核心素养例4已知数列an是n次多项

12、式f(x)a1xa2x2anxn的系数，且f(1)eq f(nn1,2).(1)求数列an的通项公式；(2)求feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，并说明feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2.解(1)设f(1)a1a2anSneq f(nn1,2)，则anSnSn1eq f(nn1,2)eq f(n1n,2)n，n2，当n1时，a11，S11成立所以ann(nN*)(2)由(1)知f(x)x2x2nxn，所以feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(1,2)2eq f(1,22)3eq f(1,23)neq f(1,2n)，eq f(1,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(1,22)2eq f(1,23)3eq f(1,24)(n1)eq f(1,2n)neq f(1,2n1)，由得eq f(1,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,22)eq f(1,2n)neq f(1,2n1)1eq f(1,2n)eq f(n,2n1)，所以feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2eq f(1,2n1)eq f(n,2n)0，求