(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第15讲《导数的应用-导数与函数的单调性》（解析版）

1、第15讲 导数的应用导数与函数的单调性思维导图知识梳理函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减题型归纳题型1 证明（判断）函数的单调性【例1-1】（2019春合肥期中）已知函数 SKIPIF 1 0 ，讨论函数 SKIPIF 1 0 的单调性【分析】 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 对 SKIPIF 1 0 与0， SKIPIF 1 0 的大小关系分类讨论，即可得出单调性【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0

2、 对 SKIPIF 1 0 分类讨论： SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 0 上单调递增 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 0 上单调递减 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1

3、 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 0 上单调递减【跟踪训练1-1】（2020春吉林期末）函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A单调递减B单调递增C SKIPIF 1 0 上单调递增， SKIPIF 1 0 上单调递减D SKIPIF 1 0 上单调递减， SKIPIF 1 0 上单调递增【分析】对函数 SKIPIF 1 0 求导数，然后研究导数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上的符号即可【解答】解：因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

4、 恒成立，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是单调增函数故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练1-2】（2019秋南充期末）试证明函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是减函数【分析】在 SKIPIF 1 0 上任取 SKIPIF 1 0 ，通过比较 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的大小判断函数单调性【解答】证明：在 SKIPIF 1 0 上任取 SKIPIF 1 0 ，则： SKIPIF 1 0 ；而 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ；由 SKIPIF 1 0

5、， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是减函数得证【名师指导】讨论函数f(x)单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)，并求方程f(x)0的根；(3)利用f(x)0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性题型2 求函数的单调区间【例2-1】（2020春克什克腾旗校级月考）函数 SKIPIF 1 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【

6、分析】先求出函数的导数，然后利用 SKIPIF 1 0 ，解函数的单调增区间【解答】解：函数的导数为 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，即函数的单调递增区间为 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【例2-2】（2020春和平区校级月考）求函数 SKIPIF 1 0 的单调区间【分析】 SKIPIF 1 0 下面对 SKIPIF 1 0 分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】解： SKIPIF 1 0 下面对 SKIPIF 1 0 分类讨论： SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0

7、在 SKIPIF 1 0 上单调递增 SKIPIF 1 0 时，令 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 可得：函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 0 上单调递增 SKIPIF 1 0 时，令 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 可得：函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递增综上可得： SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增 SKIPIF 1 0 时，函

8、数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 0 上单调递增 SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递增【跟踪训练2-1】（2020春工农区校级期末）函数 SKIPIF 1 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出【解答】解：函数 SKIP

9、IF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，故函数 SKIPIF 1 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练2-2】（2019秋启东市期中）确定函数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的单调区间【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可【解答】解：函数的导数 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ；令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SK

10、IPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 0 ，单调减区间为 SKIPIF 1 0或f(x)0求出单调区间(2)当方程f(x)0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f(x)的符号，从而确定单调区间(3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f(x)结构特征，利用图象与性质确定f(x)的符号，从而确定单调区间题型3 函数单调性的简单应用比较大小或解不等式【例3-1】（2020海东市模拟）已知 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B

11、SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】结合已知可考虑构造函数 SKIPIF 1 0 ，然后对其求导，结合导数可判断单调性，进而可比较大小【解答】解：设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 0 上单调递减由题意可知 SKIPIF 1 0 （e）， SKIPIF 1 0 （3）， SKIPIF 1 0 （5），因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （e） SKIPIF 1 0

12、（3） SKIPIF 1 0 （5），即 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【例3-2】（2020春沈阳期末） SKIPIF 1 0 是定义在 SKIPIF 1 0 上的奇函数，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，则不等式 SKIPIF 1 0 的解集为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

13、D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】构造函数 SKIPIF 1 0 ，易推出 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减；由 SKIPIF 1 0 是定义在 SKIPIF 1 0 上的奇函数，可知 SKIPIF 1 0 为偶函数，从而得 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 0 （3） SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 的情形下，再分 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，讨论 SKIPIF 1 0 与0的关系，从而得解【解答】解：令 SKIPIF 1 0 ，

14、则 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减， SKIPIF 1 0 是定义在 SKIPIF 1 0 上的奇函数， SKIPIF 1 0 ，即函数 SKIPIF 1 0 为偶函数， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （3） SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时，若 SKIPIF 1 0 ，则 S

15、KIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 不等式 SKIPIF 1 0 的解集为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-1】（2020春海淀区校级期末）对于定义在 SKIPIF 1 0 上可导的任意函数 SKIPIF 1 0 ，若满足 SKIPIF 1 0 ，则必有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 （a）B SKIPIF 1 0 （a）C SKIPIF 1 0 （a）D SKIPIF 1 0 （a）【分析】根据已知题意，解 SKIPIF 1 0 ；然后

16、根据 SKIPIF 1 0 的符号判断 SKIPIF 1 0 的单调性，继而确定最大值，得到 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 （a）的关系即可【解答】解：根据题意，对于 SKIPIF 1 0 上可导的任意函数 SKIPIF 1 0 ，若满足 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 ，即当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 为减函数，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 ，即当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 为增函数，综上， SKI

17、PIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 取最大值 SKIPIF 1 0 （a）， SKIPIF 1 0 （a）；故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-2】（2020春南充期末）已知函数 SKIPIF 1 0 的导函数为 SKIPIF 1 0 ，若对任意的 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，则不等式 SKIPIF 1 0 的解集为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D S

18、KIPIF 1 0 【分析】令 SKIPIF 1 0 ，再研究函数 SKIPIF 1 0 的单调性来转化不等式进行求解【解答】解：令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 递增，而 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，不等式 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 （2），则 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-3】（2020春玉林期末）已知函数 SKIPIF 1 0 的定义域为 SKI

19、PIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，则不等式 SKIPIF 1 0 的解集为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】构造函数 SKIPIF 1 0 ，求导后可判断出 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减原不等式可化为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，于是 SKIPIF 1 0 ，解之即可【解答】解：令函数 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

20、 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 可化为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 不等式的解集为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0”，需构造函数g(x)x2f(x)，求导后得x0时，g(x)0，即函数g(x)在(0，)上为增函数，从而问题得以解决题型4 函数单调性的简单应用根据函数单调性求参数【例4-1】（2020春利通区校级期末）若

21、函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上为增函数，则 SKIPIF 1 0 的取值范围为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】求出函数的导数，问题转化为 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 恒成立，求出 SKIPIF 1 0 的范围即可【解答】解： SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1

22、0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 递增，则 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 恒成立，则 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【例4-2】（2020春五华区校级期末）已知函数 SKIPIF 1 0 ，若存在 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

23、1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】求导得 SKIPIF 1 0 ，定义域为 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，于是有 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 易推出 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上的单调性，然后求出 SKIPIF 1 0 的最小值即可得解【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKI

24、PIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递减；当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递增 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【例4-3】（2020春肥城市期中）若函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 单调递增，则 SKIPIF 1 0 的取值范围是 ；若函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 内不单调，则 SKIPIF 1 0 的取

25、值范围是 【分析】求出导函数 SKIPIF 1 0 ，由导函数在 SKIPIF 1 0 内大于等于0恒成立求解 SKIPIF 1 0 的取值范围；由函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 不是单调函数，得函数在区间上有极值，即导函数在区间 SKIPIF 1 0 内有解，由此求得 SKIPIF 1 0 的取值范围【解答】解：由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，由函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 单调递增，得 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上恒成立， SKI

26、PIF 1 0 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 内不单调， SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 有解并且解的两侧，导函数的符号相反，由 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 而 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递增 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 ， SKI

27、PIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 【跟踪训练4-1】（2020春烟台期末）若函数 SKIPIF 1 0 在其定义域上不单调，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】求出函数的导数，得到 SKIPIF 1 0 有变号零点，结合二次函数的性质可求【解答】解： SKIPIF 1 0 ，若函数 SKIPIF 1 0 在其定义域上不单调，则 SKIPIF 1 0 有变号零点，故 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练4-2】（2020春潍坊期末）若函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上是减函数，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 【分析】求出函数的导数，问题转化为 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 恒成立，求出 SKIPIF 1 0 的范围即可【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKI