2022高考理数复习资料讲义：第9章 直线和圆的方程 第4讲

1、PAGE14第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系考纲解读1能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系重点2能够求出圆的切线、弦长、能利用圆系解决相关问题，同时在解题时注意基本运算、等价转化及数形结合思想的运用难点考向预测从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容预测2022年高考将会考查：直线与圆位置关系的判断及应用；直线与圆相交时弦长问题；利用直线与圆位置关系求参数的取值范围问题试题以客观题形式呈现，难度一般不大，属中档题型此外也不要忽略在解答题中出现的可能性1直线与圆的位置关系设直线l：AByC0A2B20，圆：a2yb2r2r0，d为圆心a，b到

2、直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为2圆与圆的位置关系设圆O1：a12yb12reqoal2,1r10，圆O2：a22yb22reqoal2,2r203必记结论当直线与圆相交时，由弦心距圆心到直线的距离，弦长的一半及半径构成一个直角三角形1两圆相交时公共弦的方程设圆C1：2y2D1E1yF10，圆C2：2y2D2E2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即：D1D2E1E2yF1F202两个圆系方程过直线AByC0与圆2y2DEyF0交点的圆系方程：2y2DEyFAByC0R；过圆C1：2y2D1E1yF10和圆C2：2y2D2E2y

3、F20交点的圆系方程：2y2D1E1yF12y2D2E2yF201其中不含圆C2，因此注意检验C2是否满足题意，以防丢解3弦长公式|AB|eqr12|AB|eqr12AB24AB1概念辨析1“2”是“直线y0与圆2y22相切”的必要不充分条件2过圆O：2y2r2上一点0与圆C：2y242y10恒有公共点，则m的取值范围是Aeqr2，eqr2B2eqr2，2eqr2Ceqr21，eqr21D2eqr21,2eqr21答案D解析解法一：由eqblcrcavs4alco1ym0，,2y242y10，消去y整理得222m6m22m10由2m6242m22m14m22m70，解得2eqr21m2eqr2

4、1解法二：圆C的标准方程为22y124圆心坐标为2,1，半径r2由题意得圆心到直线ym0的距离deqf|21m|,r12122，解得2eqr21m2eqr213圆32y329上到直线34y110的距离等于2的点有A1个B2个C3个D4个答案B解析圆32y329的圆心为3,3，半径为3，圆心到直线34y110的距离deqf|334311|,r32422，圆上到直线34y110的距离为2的点有2个故选B判断直线与圆的位置关系的常见方法1几何法：利用d与r的关系2代数法：联立方程之后利用判断见举例说明3点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交如举例说明1解法一上述方法中最常

5、用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题1已知ABC的三边长为a，b，c，满足直线aby2c0与圆2y24相离，则ABC是A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上情况都有可能答案C解析直线aby2c0与圆2y24相离，圆心到直线的距离eqf2c,ra2b22，即c2a2b2故ABC是钝角三角形故选C2直线yeqfr3,3m与圆2y21在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是Aeqr3，2Beqr3，3blcrcavs4alco1fr3,3，f2r3,3Deqblcrcavs4alco11，f2r3,3答案D解析当直线经过点0,1时，直线与圆有两个不同的交点，此时m1；当直线与圆

6、相切时有圆心到直线的距离deqf|m|,r1blcrcavs4alco1fr3,321，解得meqf2r3,3切点在第一象限，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1meqf2r3,3故选D题型eqavs4al二圆与圆的位置关系12022合肥模拟已知圆C1：a2y224与圆C2：b2y221相外切，则ab的最大值为fr6,2Beqf3,2Ceqf9,4D2eqr3答案C解析由圆C1与圆C2相外切，可得eqrab2222213，即ab29，根据基本不等式可知abeqblcrcavs4alco1fab,22eqf9,4，当且仅当ab时等号成立故选C2已知圆C1：2y226y10和C2：2

7、y21012y4501求证：圆C1和圆C2相交；2求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长解1证明：圆C1的圆心C11,3，半径r1eqr11，圆C2的圆心C25,6，半径r24，两圆圆心距d|C1C2|5，r1r2eqr114，|r1r2|4eqr11，|r1r2|d3，所以ab29，即ab3或ab1，所以直线y10与圆a2yb21相离判断圆与圆的位置关系的步骤1确定两圆的圆心坐标和半径长2利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|3比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论1圆心为2,0的圆C与圆2y246y40相外切，则C的方程为A2y2420B2y24

8、20C2y240D2y240答案D解析圆2y246y40的圆心为M2,3，半径r3，|CM|eqr222325，圆C的半径为532，圆C的标准方程为22y24，即2y2402若圆2y24与圆2y22ay60a0的公共弦长为2eqr3，则a_答案1解析两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为yeqf1,a，如图，由已知得|AC|eqr3，|OA|2，|OC|eqf1,a1，a1题型eqavs4al三直线与圆的综合问题角度1直线与圆的相切问题1已知圆C：12y2210，求满足下列条件的圆的切线方程：1与直线l1：y40平行；2与直线l2：2y40垂直；3过切点A4，1解1设切线方程为yb0b4，则

9、eqf|12b|,r2eqr10，b12eqr5，切线方程为y12eqr502设切线方程为2ym0，则eqf|22m|,r5eqr10，m5eqr2，切线方程为2y5eqr203ACeqf21,14eqf1,3，过切点A4，1的切线斜率为3，过切点A4，1的切线方程为y134，即3y110角度2与圆有关的弦长问题22022全国卷已知直线l：my3meqr30与圆2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与轴交于C，D两点若|AB|2eqr3，则|CD|_答案4解析由题意可知直线l过定点3，eqr3，该定点在圆2y212上，不妨设点A3，eqr3，由于|AB|2eqr3，r2eqr3，所以

10、圆心到直线AB的距离为deqr2r32r323，又由点到直线的距离公式可得deqf|3mr3|,rm21，所以eqf|3mr3|,rm213，解得meqfr3,3，所以直线l的斜率meqfr3,3，即直线l的倾斜角为30如图，过点C作CHBD，垂足为H，所以|CH|2eqr3，在RtCHD中，HCD30，所以|CD|eqf2r3,cos3041求过圆上的一点0，y0的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率，若不存在，则结合图形可直接写出切线方程为yy0；若0，则结合图形可直接写出切线方程为0；若存在且0，则由垂直关系知切线的斜率为eqf1,，由点斜式可写出切线方程2求过圆外一点0，y0的圆的切

11、线方程的两种方法几何法当斜率存在时，设为，则切线方程为yy00，即yy000由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为，则切线方程为yy00，即y0y0，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由0，求得，切线方程即可求出3求直线与圆相交时弦长的两种方法1几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆C的半径为r，则|AB|2eqrr2d22代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是A1，y1，B2，y2则|AB|eqr122y1y22eqr12|12|eqr1f1,2|y1y2|直线l的斜率存在1若直线y1与圆2y21相交于，m1在直线y1上，由切线长公式得|26mm128eqr2m127，由mR可得|ineqr73已知在圆M：2y242y0内，过点E1,0的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为A3eqr5B6eqr5C4eqr15D2eqr1