因式分解专题复习及讲解很详细

1、爱特教育因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被 广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工 具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅 是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能， 发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.初中数学教材中 主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘 法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、 技巧和应用作进一步的介绍.一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即

2、为因 式分解中常用的公式，例如：(a+b)(a-b) = a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)；(ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(a b)2；(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3a3-b3=(a-b)3+ab+b2).下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；11例.已知a, b, c是AABC的三边，且a 2 + b 2 + c

3、2 = ab + bc + ca ,则AABC的形状是()A.直角三角形 8等腰三角形C等边三角形口等腰直角三角形解：a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca n 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2can (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0 n a = b = c三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式： am + an + bm + bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，

4、后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之间的联系。解：原式二(am + an) + (bm + bn)=a (m + n) + b (m + n)每组之间还有公因式！=(m + n)(a + b)例2、分解因式： 2ax 一 10ay + 5by 一 bx解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。解：原式=解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。解：原式=(2ax -10ay) + (5by - bx)=2 a (x - 5 y) - b (x - 5 y)=(x - 5y)(2a - b)练习：分解因式1、 a 2 - ab + ac - bc解法二：第一、四项为一组；第二、三项为

5、一组。原式二(2ax - bx) + (-10ay + 5by)=x(2a - b) - 5 y (2a - b)=(2a - b)(x - 5y)2、xy - x - y +12222(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式： x 2 - y 2 + ax + ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因 式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=(x2 - y2) + (ax + ay)=(x + y)(x - y) + a(x + y)=(=(x + y)(x - y + a)例4、分解因式：a2 - 2ab + b2 - c2解：原式二(a2 - 2

6、ab + b2) - c2=(a - b)2 - c2=(a - b - c)(a - b + c)练习：分解因式3、x2 - x - 9y2 - 3y综合练习：(1) x 3 + x 2 y - xy 2 - y 3x2 + 6xy + 9y 2 -16a2 + 8a -1a4 - 2a3 + a2 - 9(7)x2 - 2xy - xz + yz + y2(9)y(y - 2) - (m -1)(m +1)4、x2 - y2 - z2 - 2 yz(2)ax2 - bx2 + bx - ax + a - ba 2 - 6ab +12b + 9b 2 - 4a(6) 4a2x - 4a2 y

7、 - b2x + b2 y(8)a2 - 2a + b2 - 2b + 2ab +1(10) (a + c)(a - c) + b(b - 2a)(11)a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) + 2abc(12)a3 + b3 + c3 - 3abc四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式33直接利用公式 2 + (p + q) % + pq = (% + p)(% + q)进行分解。特点：(i)二次项系数是1；(2)常数项是两个数的乘积；(3)一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律例.已知0V a W5,且a为整数，若2%2 + 3

8、% + a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c ,都要求 = b2 - 4ac 0而且是一个完全平方数。于是A = 9 - 8a为完全平方数，a = 1例5、分解因式： % 2 + 5 % + 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2X3=(-2) X (-3)=1 X6=(-1) X (-6)，从中可以发现只有 2X3的分解适合，即2+3=5。-T-2解：%2 + 5% + 6 = %2 + (2 + 3)% + 2 * 313=(% + 2)( % + 3)1X2+1X3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成

9、两个因数的积，且这两个因数 的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：%2 - 7% + 644解：原式=X 2 + (-1) + (-6) X + (-1)(-6)=(X -1)( X - 6)1-6(-1) + (-6) = -7练习 5、分解因式(1) X2 +14x + 24 (2) a2 -15a + 36 (3) x2 + 4x - 5练习 6、分解因式(1) X 2 + x - 2(2) y 2 - 2 y -15(3) x 2 -10 x - 24(二)二次项系数不为1的二次三项式ax 2 + bx + c TOC o 1-5 h z 条件：(1)a = a 1 a 2ac

10、1(2) c - c cac(3)b - a c + a cb - a c + a c分解结果： ax2 + bx + c = (a x + c )(a x + c ) 1122例7、分解因式：3x2 -11 x +10分析：1 .-X、.-23-5(-6)+(-5)= -11解：3X2 -11X +10 = (X - 2)(3X - 5)(2) 3X2 - 7X + 2练习7、分解因式：（1） 5 x(2) 3X2 - 7X + 25510 x10 x 2 -17 x + 3 6 y2 +11 y +10(三)二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a2 8ab 128b2分析：将b看成常

11、数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相 乘法进行分解。1 ：X8b1-16b8b+(-16b)= -8b解:a2 8ab 128b2 = a 2 + 8b + (16b)a + 8b 义(16b)=(a + 8b)(a 16 b)练 习8分 解因 式x 2 3 xy + 2 y 2 (2) m 2 6 mn + 8 n 2 (3) a 2 ab 6b 2(四)二次项系数不为1的齐次多项式例10、 x 2 y 2 3 xy + 2把xy看作一个整体1：X： -11-2例10、 x 2 y 2 3 xy + 2把xy看作一个整体1：X： -11-2(-1) + (-2) =X-2y2-3

12、y(-3y) + (-4y)= -7y-3解：原式二(解：原式二(x 2y)(2x 3y)解：原式二(xy 1)(xy 2)(2) a2x2 6ax + 8练习9、分解因式：(1) 15(2) a2x2 6ax + 866综合练习 10、(1) 8 x6 - 7 x 31(2) 12 x 211 町15 y2(x + y)2 3(x + y) 10(4) (a + b)2 4a 4b + 3(5) x2y2 5x2y 6x2(6) m2 4mn + 4n2 3m + 6n + 2(7) x2 + 4xy + 4y2 2x 4y 3 (8) 5(a + b)2 + 23(a2 b2) 10(a

13、b)2(9) 4x2 4xy 6x + 3y + y2 10 (10) 12(x + y)2 +11(x2 y2) + 2(x y)2思考：分解因式： abcx 2 + (a 2 b 2 + c 2) x + abc五、换元法。例 13、分解因式(1) 2005x2 (20052 1)x 2005(2) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + x2解：(1)设2005= a，则原式=ax2 (a2 1)x a=(ax +1)( x a)=(2005 x +1)( x 2005)(2)型如abcd + e的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=(x 2 + 7

14、x + 6)( x 2 + 5 x + 6) + x 2设 x 2 + 5 x + 6 = A，贝 I x 2 + 7 x + 6 = A + 2 x二原式=(A + 2 x) A + x 2=A 2 + 2 Ax + x 2=(A + x )2 = (x 2 + 6 x + 6)277练习13、分解因式(1) (x2 +町+ y2)2 4町(x2 + y2)(X 2 + 3 x + 2)(4 x 2 + 8 x + 3) + 90 (a 2 +1)2 + (a 2 + 5)2 4( a 2 + 3)2例14、分解因式(1) 2 x 4 一 x 3 - 6 x 2 一 x + 2观察：此多项式

15、的特点一是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1, 并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。x x211设 x + = t，贝 I x 2 +=12 - 2解：原式=x2(2x2 - x - 6 + x x211设 x + = t，贝 I x 2 +=12 - 2,.原式=x2 2( 12 2) t 61=x2 Q12 t 10)=x 2(21 5)( + 2 )= x 22、)(2.=x - 2 x + - 5 - x - x + - + 2x 2 (2.=x - 2 x + - 5 - x - x + - + 2=(x

16、 +1)2(2 x 1)( x 2)(2) x4 - 4x3 + x2 + 4x + 1一 .,“41、解：原式=x 2( x2 4 x +1 + + 一) = x2x x 2111-x2设x一一 二 y，贝 1x2 +=y2 + x2原式二x 2( y2 4 y + 3) = x 2( y 1)( y 3)88=X2(X- - - 1)(X - - - 3) = (2 - X -1)(2 - 3X -1)练习 14、(1) 6x4 + 7x3 36x2 一 7x + 6(2) X 4 + 2 X 3 + X 2 + 1 + 2( X + X 2)六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式(1)

17、 X3 - 3X2 + 4解法2添项。原式= x 解法2添项。原式= x 3 - 3 x 2 - 4 x + 4 x + 4=x(X 2 - 3X - 4) + (4x + 4)=x ( x +1)( x - 4) + 4( x +1)=(X +1)(X2 - 4x + 4)=(X + 1)(X - 2)2原式=X3 + 1 - 3X2 + 3=(X + 1)(X2 - X +1) - 3(X + 1)(X -1)=(x +1)(x2 - x +1 - 3x + 3)=(X +1)(X2 - 4x + 4)=(X + 1)(X - 2)2X9 + X6 + X3 - 3解：原式二(X 9 -1

18、) + (X6 - 1) + (X 3 -1)=(X3 - 1)(X6 + X3 + 1) + (X3 - 1)(X3 + 1) + (X3 - 1)=(X 3 - 1)( X 6 + X 3 + 1 + X 3 + 1 + 1)=(X - 1)(X2 + X + 1)(X6 + 2X3 + 3)练习15、分解因式(1) x 3 - 9 x + 8(2) (X + 1)4 + (X2 - (1) x 3 - 9 x + 899%4 7%2 +1(4) x4 + x2 + 2ax +1 - a2(5) x4 + y4 + (x + y)4(6) 2 a 2 b 2 + 2 a 2 c 2 + 2

19、 b 2 c 2 一 a 4 一 b 4 一 c 4七、待定系数法。例 16、分解因式 x2 + xy - 6 y2 + x +13 y - 6分析：原式的前3项x2 + xy - 6y 2可以分为(x + 3y)(x - 2y),则原多项式必定可分为(x + 3 y + m)(x 一 2 y + n)解：设x 2+ xy - 6 y 2 + x +13 y - 6 = (x + 3 y + m)(x - 2 y + n),/ (x + 3y + m)(x - 2y + n) = x2 + xy - 6y 2 + (m + n)x + (3n - 2m)y 一 mn x2 + xy - 6 y

20、 2 + x +13 y - 6 = x2 + xy - 6y 2 + (m + n)x + (3n - 2m) y - mnm + n = 1rm 二 一2对比左右两边相同项的系数可得3n - 2m = 13 ,解得I n = 3mn = -6I二原式二(x + 3y - 2)(x 一 2y + 3)例17、(1)当m为何值时，多项式x2 - y2 + mx + 5y - 6能分解因式，并分解此多项式。(2)如果 x 3 + ax 2+ bx + 8有两个因式为x+1和x+2，求a+b的值。(1)分析：前两项可以分解为(x + y)(x - y),故此多项式分解的形式必为(x + y + a

21、)(x - y + b)1010解：设X2一 y 2 + mx + 5y 6 = (x + y + a)(x 一 y + b)贝I x 2 - y 2 + mx + 5 y - 6 = x 2 - y 2 + (a + b) x + (b - a) y + aba = 一2a a = 一2a = 2b = 3 或b = 一3m = 1 m = -1比较对应的系数可得：b-a = 5，解得:ab 二 一6，当m = 1时，原多项式可以分解；当 m = 1 时，原式=(x + y 一 2)(x 一 y + 3)；当 m = -1 时，原式=(x + y + 2)(x 一 y 一 3)(2)分析：

22、x 3+ax 2 + bx + 8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如 x + c 的一次二项式。解：设 x 3 + ax 2 + bx + 8 = (x +1)( x + 2)( x + c)贝 x 3 + ax 2 + bx + 8 = x 3+(3 + c) x 2 + (2 + 3 c) x + 2 ca = 3 + ca = 7/. b = 2 + 3c 解得 0(x2 - 4)(x2 - 10 x + 21) + 100的值一定是非负数.因式分解中的转化思想例：分解因式：(a + 2b + c)3 - (a + b)3 - (b + c)3分析：本题若

23、直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c1717的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设a+b=A, b+c=B, a+2b+c=A+B原式=(A + B)3 A3 B3=A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 A3 B3=3A2B + 3AB2=3AB(A + B)=3(a + b)(b + c)(a + 2b + c)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨例 1.在 A ABC 中，三边 a,b,c 满足 a2 一 16b2 - c2 + 6ab + 10bc = 0求证：a + c = 2b证明：a2 - 16b2 - c2 +

24、6ab + 10bc = 0a2 + 6ab + 9b2 - c2 + 10bc 一 25b2 = 0即(a + 3b)2 一 (c 一 5b)2 = 0(a + 8b 一 c)(a 一 2b + c) = 0 c/. a + 8b c,即a + 8b 一 c 0于是有a - 2b + c = 0!Pa + c = 2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不 能丢分。1818例2.已知：x + - = 2,则x3 + = xx3解： x3 += (x +)(x2 1 +)x3xx=(x + -)(x + 1)2 2 1 x x=2 X 1 =2说明：利用x2 + 1- =

25、 (x + 1)2 2等式化繁为易。 x2x题型展示.若X为任意整数，求证：(7-x)(3-x)(4-x2)的值不大于100。解：(7 x )(3 x )(4 x 2) 100=(x 7)(x + 2)(x 3)(x 2) 100=(x2 5x 14)(x2 5x + 6) 100=(x2 5x) 8(x2 5x) + 16=(x2 5x 4)2 0(7 x)(3 x)(4 x2) a.c =+ ab)()=()()；当m=时，X2 + 2(m3)x + 25是完全平方式.二、选择题：.下列各式的因式分解结果中，正确的是a2b+ 7ab b = b(az + 7a)3x2y 3xy 6y=3y

26、(x 2)(x + 1)8xyz 6x2y2 = 2xyz(43xy)-2a2+4ab 6ac=-2a(a +2b 3c).多项式m(n 2)mz(2 n)分解因式等于A. (n - 2)(m+mz)B. (n 2)(mm2)3232D. m(n 2)(mC. m(n 2)(m+1)D. m(n 2)(m-1)-1).在下列等式中，属于因式分解的是a(x y)+b(m+n)=ax + bm ay + bna2 2ab + bz + 1 = (a b)z + 14a2+9b2= ( 2a+3b)(2a + 3b)X2 7x 8=x(x 7)8.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是A. a? +

27、 b2B. a? + b2C. a2 b2D. 一 ( a2) +b25.若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，那么m的值是3333A.-12B.24C. 12D.12.把多项式an+4 an+1分解得an(a4a)an-1 (ag 1)an+1 (a 1)(a2 a + 1)D. an+1 (a 1)(az + a + 1).若 a2 + a= 1,则 a4+2a3 3a24a+ 3 的值为 TOC o 1-5 h z A. 8B. 7C. 10D. 12.已知X2 + y2 + 2x 6y + 10=0,那么x, y的值分别为3434B. x=1A.x=1,y=3 y二3B. x=1

28、C. x=1, y=3D. x=1,y二3.把(m2 + 3m)48(mz + 3m)2 + 16 分解因式得A. (m+1)4(m+2)2B. (m1)2 (m2) 2 (m2 + 3m2)C. (m+4)2(m1)2D. (m+1)2 (m+2) 2 (m2 + 3m2)2.把x2 7x 60分解因式，得A. (x10)(x + 6)B. (x+5)(x 12)C. (x + 3)(x 20)D. (x5)(x+ 12)11.把3x2 2xy 8y2分解因式，得3535A. (3x+4)(x 2)B. (3x4)(x + 2)C. (3x+4y)(x 2y)D. (3x4y)(x + 2y

29、)12.把az + 8ab 33b2分解因式，得A. (a+11)(a 3)B. (a 11b)(a 3b)C. (a+11b)(a 3b)D. (a 11b)(a + 3b)13.把x4 3x2 + 2分解因式，得A.(x22)(x21)B.(x2 2)(x + 1)(x 1)C. (x2 + 2)(xz + 1)D. (x2 + 2)(x + 1)(x 1)363614.多项式X2 ax bx + ab可分解因式为 TOC o 1-5 h z A. (x + a)(x + b)B. (x a)(x + b)C. (x a)(x b)D. (x+ a)(x + b).一个关于x的二次三项式，

30、其x2项的系数是1,常数项 是一12,且能分解因式，这样的二次三项式是x2 11x 12 或 x2 + 11x 12x2 x 12 或 x2 + x12x2 4x 12 或 x2+4x 12D.以上都可以. 下列各式 x3 x2 x + 1, x2 + y xy x, x2 2x y2 + 1, (x2 + 3x)2(2x + 1)2中，不含有(x 1)因式的有3737A. 1个B.2个C.3个D. 4个.把9 X2 + 12xy 36y2分解因式为(x - 6y + 3)(x - 6x 3) (x 6y + 3)(x - 6y 3) (x 6y + 3)(x + 6y - 3) (x 6y

31、+ 3)(x 6y+ 3).下列因式分解错误的是a2 bc + ac ab=(a b)(a + c)ab 5a +3b 15=(b5)(a + 3)x2 + 3xy 2x 6y=(x + 3y)(x 2)3838X2 6xy 1+9y2=(x + 3y + 1)(x + 3y 1).已知a2X22x + b2是完全平方式，且a, b都不为零， 则a与b的关系为 TOC o 1-5 h z A.互为倒数或互为负倒数B.互为相反数C.相等的数D.任意有理数.对x4+4进行因式分解，所得的正确结论是A.不能分解因式B,有因式x2 + 2x + 2C. (xy + 2)(xy 8)D. (xy 2)(

32、xy 8)21.把ad + 2a2b2 + b4 a2b2分解因式为3939A. (a2 + bz + ab)2B. (a2 + bz + ab)(a2+ b2 - ab)C. (a2 - bz + ab)(a2 b2 ab)D. (a2 + b2 一ab)222.(3x 1)(x + 2y)是下列哪个多项式的分解结果A. 3x2 + 6xy x 2yB. 3x2-6xy+ x 2yC. x + 2y + 3xz + 6xyD. x + 2y3x26xy64a8 b2因式分解为A. (64a4 b)(a4+b)B. (16a2b)(4az + b)C. (8a4b)(8a4+b)D. (8a2

33、b)(8a4+b)9(x y)z + 12(x2 y2)+4(x + y)2 因式分解为4040A. (5x y) 2B. (5x + y)2C. (3x 2y)(3x + 2y)D. (5x 2y)2(2y 3x)2 2(3x 2y)+1 因式分解为A. (3x 2y 1) 2B. (3x + 2y + 1) 2C. (3x 2y+1)2D. (2y 3x 1) 2把(a + b)24(a2 bz) +4(a b) 2 分解因式为A. (3a b) 2B. (3b + a) 2C. (3b a) 2D. (3a + b) 2把 az(b + c)2 2ab(a c)(b + c) +b2 (a c)2 分解因式 为4141A. c(a + b)2B. c(a b) A. c(a + b)2C. C2(a + b)2D. C2 (a b)28.若 4xy4x2 y2 k 有个因式为(12x + y),则 k 的 值为A. 0B.1C.-1D.429.分解因式3a2x4b2y 3b2x+4a2y,正确的是A. (az + b2)(3x+4y)B. (a b)(a + b)(3x+4y)C. (a2 + bz)(3x4y)D. (a b)(a + b)(3x4y)30.分解因式2a2+4ab +2b2 8C2,正确的是4242A.2(a + b 2c)B. 2(a+ b +